江苏省高级中学高三数学第一轮复习学案：几何概型及互斥事件及其发生的概率

几何概型、互斥事件及其发生的概率
【教学目标】
1．了解几何概型的基本特点；会进行简单的几何概型的运算；
2．了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件；
3．了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率计算．
一、知识梳理
1．几何概型定义：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为．
2．几何概型特点：
①无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；
②等可能性：在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的．
3．几何概型的概率计算：
在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A) = ．
4．求几何概型的概率的一般步骤：
①适当选择观察角度(必要时可以辅之图形)；②把基本事件转化为与之对应的区域；
③把随机事件A转化为与之对应的区域；④利用概率公式计算．
5．古典概型与几何概型的区别：
古典概型和几何概型中基本事件发生的可能性都是的，但古典概型要求基本事件有个，几何概型要求基本事件有个，它的特点是试验结果在一个区域内分布，所以随机事件发生的概率与随机事件所在的区域的形状、位置无关，只与该区域的有关．
6．若有A，B两个事件，当事件A发生时B就不发生，当事件B发生时事件A就不发生，也即事件A，B不可能．我们把这种不可能同时发生的两个事件叫做事件(也称为不相容事件)．
两个可同时发生或同时不发生的事件不是互斥事件．互斥事件是对两个事件而言的．
7．两个互斥事件一个发生，则称这两个事件为事件．事件A的事件记做A￣．
8．“A + B”的意义：
设A，B是两个事件，则A + B表示在同一试验中，A或B中发生．我们把事件A + B称为事件A与B的和．
9．概率的加法公式：
如果A与B互斥，那么P(A + B) = ．特殊地：P(A) + P(A￣) = P( ) = ．如果A1，A2，…A n两两互斥，则此它们是彼此互斥，此时有：
P(A1 + A2 + …+ A n) = P(A1 ) +P( A2 ) + …+ P( A n) ．
10．互斥事件与对立事件的关系：
互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的．互斥事件是发生的两个事件，而对立事件是其中的互斥事件．因此，对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
二、基础训练
1．在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4 的和大于10 的概率是．
2．在面积为S的△ABC的内部任取一点P，则△PAB的面积大于1
3S的概率是．
3．已知O是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心，若在正方体内随机地取点，则点落在四棱锥O-ABCD内的概率是．
4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为。

5．在地上画正方形线框，其边长为一枚硬币直径的2倍，向正方形掷硬币，硬币完全落在正方形外的不计，则硬币完全落在正方形内的概率为。

6．一动点P在腰长为2的等腰直角三角形ABC的斜边AB上匀速往复运动，则动点到顶点C 的距离不小于3的概率是．
7．给出下列命题：①如果事件A，B互斥，那么A￣+ B￣是必然事件；②如果事件A，B 互斥，那么A￣与B￣一定不互斥；③事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大；④互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件．则其中正确的命题是．
8．一个均匀的正方形玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6 ，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示的是向上的一面出现奇数点，事件B表示的是向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不少于4，则A与B是
事件，B与C是事件．
9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为
0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查1件抽得抽得正品的概率为．10．掷一枚骰子，设A为“出现2点”，B为“出现奇数点”，则P(A + B) = ．
11．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成n3(n ≥3)个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中至少有一面涂有颜色的概率是．
12．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判评分的概率是．
三、例题选讲
例1．设A是圆周上的一个定点，在圆周上等可能地任取一点P与A联结．
⑴求长超过半径的3倍的概率；⑵弦AP到圆心的距离小于半径的一半的概率．
例2．两人相约7时至8时在某地会面，先到者等候另一人20min，这时若另一人还未到，先到者可先离去，试求两人能会面的概率．
例3．有A，B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A，B袋中各取两个球交换，求A袋中仍装有4个白球的概率．
例4．由数字1，2，3任意组成n位数，试求n位数中至多出现两个不同数字的概率．
2。

例5．已知函数R
,
=,
2
)
(2
-
+
b
a
ax
x
f∈
x
b
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程0
f有两个不等实根的概率；
x
(=
)
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程0
x
f没有
(=
)实根的概率。

例6．同时抛出两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．
第2课时几何概型、互斥事件及其发生的概率课后作业
1．在相距6m的木杆之间系有一根绳子，并在绳上挂一盏灯，则灯与两端都大于2m的概率是．
2．在闭区间[-1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是
3．一枚半径为1的硬币随机地落在边长为3的正方形所在的平面内，且硬币一定落在正方形内或与正方形有公共点，则硬币与正方形没有公共点的概率是 ．
4．在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交AB ︵于P ，则同时满足∠AOP ≥45°且
∠BOP >75°的概率是 ．
5．已知矩形ABCD 中，AB = 4，AD = 6，在长方形ABCD 内任意取一点P ，使∠APB > π2的概
率是 ．
6．已知地铁每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到站后能立即上车的概率是 ．
7．某人睡午觉醒来，发觉手表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为 。

8．有20个零件，其中有16个是一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是 ．
9．从标有1001到8000的7000张卡片中随意抽出1张，则其数字恰好是3或7的倍数的
概率为 ．
10．抛掷一个均匀的骰子，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面
的数不超过3”，则=+)B A (P ．
11．从5双不同号码的鞋子中任取4只，则4只鞋子中至少能配成一双的概率 ．
12．已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28.若红球有21个，则黑球有
13．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r < a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率。