宜都市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

宜都市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．
11
a b
< C ．22a b > D ．33a b > 3． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8
D ．10
4． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()2
2
210x y -++= B ．()()2
2
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
5． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．2
6． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
7． 已知点A （0，1），B （﹣2，3）C （﹣1，2），D （1，5），则向量在
方向上的投影为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
8． 下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；
④{}0∅⊆,正确的有（ ）个
A.个
B.个
C.个
D.个 9． 函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A ．2sin(2)3
y x π
=+
B ．22sin(2)3y x π=+
C ．2sin()23x y π=-
D ．2sin(2)3
y x π=-
10．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]
A ．10
B ．51
C ．20
D ．30
11．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．P 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2
的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．a+b ﹣c
二、填空题
13．若6
()mx y +展开式中3
3
x y 的系数为160-，则m =__________．
【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．
14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
15．如果实数,x y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 ． 16．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .
17()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．
三、解答题
18．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．
19．已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，长轴在x 轴上，离心率为，且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）椭圆C 的标准方程．
（Ⅱ）已知P 、Q 是椭圆C 上的两点，若OP ⊥OQ ，求证：为定值．
（Ⅲ）当为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP ⊥OQ 是否成立？并说明理由．
20．（本小题满分12分）
设p ：实数满足不等式39a ≤，：函数()()32331
932
a f x x x x -=+
+无极值点. （1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数的取值范围；
（2）已知“p q ∧”为真命题，并记为，且：2112022a m a m m ⎛⎫⎛
⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，若是t ⌝的必要不充分
条件，求正整数m 的值．
21．（本小题满分12分）
已知圆M 与圆N ：2
22)35()35(r y x =++-关于直线x y =对称，且点)3
5,31(-D 在圆M 上.
（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；
（2）设P 为圆M 上任意一点，)35,1(-A ，)3
5,1(B ，B A P 、、三点不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交
AB 于G . 求证：PBG ∆与APG ∆的面积之比为定值.
22．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 均为正方形，CF ⊥平面ABCD ，
BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==．
（1）求证：平面AGH ⊥平面EFG ； （2）求二面角D FG E --的大小的余弦值．
23．（本题满分15分）
如图AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；
（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
24．（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2
ABC π
∠=
，AD =33AB DC ==．
（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）若PA PD ==PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．
A
B
C
D
P
宜都市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长， 设正方体的棱长为：2a ，所以内切球的半径为：a ；外接球的直径为2a ，半径为：
a ，
所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：
故选C
2． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：不等式的恒等变换. 3． 【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p
2＝2，
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x y ＝±
x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.
4． 【答案】B 【解析】
考
点：圆的方程.1111] 5． 【答案】A
【解析】
试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A ．
考点：几何体的结构特征． 6． 【答案】C 【解析】解：∵﹣2＜0 ∴f （﹣2）=0
∴f （f （﹣2））=f （0） ∵0=0
∴f （0）=2即f （f （﹣2））=f （0）=2 ∵2＞0
∴f （2）=22
=4
即f{f[（﹣2）]}=f （f （0））=f （2）=4 故选C ．
7． 【答案】D
【解析】解：∵；
∴
在
方向上的投影为
==
．
故选D ．
【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．
8． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：{}{},,a b b a ⊆和{}0∅⊆是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 9． 【答案】B 【解析】
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．
10．【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为5030
1500
=，故选D. 考点：系统抽样
11．【答案】C
【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
由以上各视图的描述可知其俯视图符合C 选项． 故选：C ．
【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．
12．【答案】A 【解析】解：如图设切点分别为M ，N ，Q ， 则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与Q 横坐标相同．
由双曲线的定义，PF 1﹣PF 2=2a ． 由圆的切线性质PF 1﹣PF 2=F I M ﹣F 2N=F 1Q ﹣F 2Q=2a ，
∵F 1Q+F 2Q=F 1F 2=2c ，
∴F 2Q=c ﹣a ，OQ=a ，Q 横坐标为a ． 故选A ．
【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．
二、填空题
13．【答案】2-
【解析】由题意，得33
6160C m =-，即3
8m =-，所以2m =-．
14．【答案】 ．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，
8个三棱锥的体积为：
=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
15．【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把y
x
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题. 16．【答案】1 【解析】
试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，
需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是2
12121c c
b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直
121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.1
17．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
试题分析：
作出函数y =
()23y k x =-+的图象，
如图所示，
函数y =的图象是一个半圆，直线()23y k x =-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0-时，303
224
k -=
=+，当直线()23y k x =-+
2=，解得512k =，所以实数的取值范围是53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
.111]
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.
三、解答题
18．【答案】
【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A ，
由正弦定理得
，则，
∴
，得
cosA=
，
由余弦定理得，
cosA=
=
，
∴=，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=，
又0＜A＜π，∴sinA==，
∴△ABC的面积S===．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
19．【答案】
【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．
∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．
∴，2a=4，解得a=2，c=1．
∴b2=a2﹣c2=3．
∴椭圆C的标准方程为．
（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x （k≠0），P（x，y）．
联立，化为，
∴|OP|2=x2+y2=，同理可得|OQ|2=，
∴=+=为定值．
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
因此=为定值．
（III）当=定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．
证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则===，满足条件．
当直线OP或OQ的斜率都存在时，
设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．
联立，化为，
∴|OP|2=x2+y2=，
同理可得|OQ|2=，
∴=+=．
化为（kk′）2=1，
∴kk′=±1．
∴OP⊥OQ或kk′=1．
因此OP⊥OQ不一定成立．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．【答案】（1）{}
125
a a a
<<≤
或；（2）1
m=.
【解析】
（1）∵“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴p 与只有一个命题是真命题． 若p 为真命题，为假命题，则2
115a a a a ≤⎧⇒<⎨<>⎩
或．………………………………5分
若为真命题，p 为假命题，则2
2515a a a >⎧⇒<≤⎨
≤≤⎩
．……………………………………6分 于是，实数的取值范围为{}
125a a a <<≤或．……………………………………7分
考点： 1、不等式；2、函数的极值点；3、命题的真假；4、充要条件. 21．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2. 【解析】
试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，
DM r =,然后根据圆心距MN 与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和
BP 的距离相等，所以两个三角形的面积比值PA
PB
S S APG PBG =
∆∆,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求PB 和PA ,最后得到其比值.
试题解析：（1） ∵圆N 的圆心)3
5,35(-N 关于直线x y =的对称点为)3
5
,35(-M ， ∴9
16)3
4(||2
2
2
=
-==MD r ， ∴圆M 的方程为9
16
)35()35(22=
-++y x .
∵3
8
23210)310()310(||22=>=+=r MN ，∴圆M 与圆N 相离.
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
∵GH∈平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．……………………………5分
23．【答案】（1）详见解析；（2.
DE AC，…………2分【解析】（1）∵D，E分别为VA，VC的中点，∴//
，…………4分
∵AB为圆O的直径，∴AC BC
又∵VC ⊥圆O ，∴VC AC ⊥，…………6分 ∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又∵VC
BC C =，∴DE VBC ⊥面；…………7分
（2）设点E 平面BCD 的距离为d ，由D BCE E BCD V V --=得11
33
BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯
，解得
d =12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ
，∵8BC =，
BE =
sin d BE θ=
=.…………15分 24．【答案】
【解析】解： （Ⅰ）当1
3PE PB =
时，//CE 平面PAD . 设F 为PA 上一点，且1
3PF PA =，连结EF 、DF 、EC ，
那么//EF AB ,1
3EF AB =.
∵//DC AB ，1
3
DC AB =，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ．
又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分）
（Ⅱ）设O 、G 分别为AD 、BC 的中点，连结OP 、OG 、PG ，
∵PB PC =，∴PG BC ⊥，易知OG BC ⊥，∴BC ⊥平面POG ，∴BC OP ⊥． 又∵PA PD =，∴OP AD ⊥，∴OP ⊥平面ABCD ． （8分）
建立空间直角坐标系O xyz -（如图），其中x 轴//BC ，y 轴//AB ，则有(1,1,0)A -,(1,2,0)B ,
(1,2,0)C -
．由(6)(2PO ==-=知(0,0,2)P ． （9分）
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,2,2)PB =-,(2,0,0)CB =u r
则00
n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即22020x y z x +-=⎧⎨=⎩，取(0,1,1)n =.
设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，(1,1,2)AP =-u u u r ，则||3
sin |cos ,|2
||||AP n AP n AP n θ⋅=<>==
⋅， ∴3
π
θ=，∴直线PB 与平面PAD 所成角为3π. （13分）。