微积分方法建模12传染病模型--数学建模案例分析

§12 传染病模型
建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。

为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数N 不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。

模型（一）（SI 模型） 模型假设
1、人群分为健康者和病人，在时刻t 这两类人中所占比例分别为)(t s 和)(t i ，即
1)()(=+t i t s 。

2、平均每个病人每天有效接触人数是常数λ，即每个病人平均每天使)(t s λ个健康者受感染变为病人，λ称为日接触率。

模型建立与求解
据假设，在时刻t ，每个病人每天可使)(t s λ个健康者变成病人，病人数为)(t Ni ，故每天共有)()(t i t Ns λ个健康者被感染，即
Nsi dt
di
N
λ= 又由假设1和设0=t 时的比例0i ，则得到模型
⎪⎩⎪⎨⎧=-=0
)0()
1(i i i i dt di
λ （1）
（1）的解为
t
e i t i λ--+=
)11
(11)(0
（2）
)(t i dt
di
2
1
0i m dt
di )(
m t t 21i
模型解释1、当21=
i 时，dt
di 达最大值，这个时刻为)11ln(01
-=-i t m λ，即高潮到来时刻，λ越
大，则m t 越小。

2、当∞→t 时1→i ，这即所有的人都被感染，主要是由于没有考虑病人可以治愈，
只有健康者变成病人，病人不会再变成健康者的缘故。

模型（二）（SIS 模型） 在模型（一）中补充假设
3、病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率。

模型修正为
⎪⎩⎪⎨⎧=--=0
)0()1(i i i
i i dt di
μλ （t 时刻每天有μNi 病人转变成健康者） （3）
（3）的解为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+≠--+-=----μλλμ
λμλλμλλ
μλ101)(0)1(])1([)(i t e i t i t （4）
可以由（3）计算出使dt di 达最大的高潮期m t 。

（dt di 最大值m dt di )(在λ
μ
λ2-=i 时达到）。

记μ
λ
=
a ，可知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=∞1
111)(a a a
i
)(t i
0i )(t i 1<a
a
1
1-
1=a
0i 0 t 0 t
)1(>a )1(≤a
模型解释 可知a （a 刻画出该地区医疗条件的卫生水平）为一个阈值，当0≤a 时，0)(→t i ，当1>a 时，)(t i 增减性取决于0i 的大小，但其极限a
1
1-
，且a 愈大，它也愈大。

模型（三）（SIR 模型） 模型假设
1、人群分为健康者，病人和移出者（病愈免疫者），三类人在时刻t 在总人数N 中占比例分别为)(t s ，)(t i ，)(t r 即1)()()(=++t r t i t s
2、病人日接触率为λ，日治愈率μ，传染期间接触数μ
λ
σ= 模型建立与求解
)(t i 随t 变化规律仍同模型（二），对)(t r 应有 Ni dt dr N μ= ，且0=++dt
dr dt di dt ds 于是得到模型
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(s s i i si
dt
ds
i si dt di
λμλ （5） 从（5）中消去dt ，并注意到σ的意义，可得
⎪⎩⎪⎨⎧=-==0
0|1
1i i s ds di s s σ （6）
求出（6）的解为 0
00ln
1
)(s s
s i s i σ
+
-+= （7） 从（5）中无法得到)(t s 和)(t i 的解析解，转到i s -相平面上讨论解的性质。

{}1,0,0|),(≤+≥≥=i s i s i s D
i
s σ1
1
O 1
可根据（5），（7）及上图分析)(),(),(t r t i t s 的变化情况： 1、无论00,i s 如何，0=∞i ，即病人终将消失。

2、最终未被感染的健康者比例∞s 是方程 0ln
1
00=+-+∞
∞s s s i s σ
（8） 在)1
,0(σ
内的单根。

3、若σ
1
0>s ，则当σ
1
=
s 时，)(t i 达到最大值)ln 1(1
000s i s i m σσ
+-
+=，)(t i 先增后减
至0。

4、若σ
1
0≤s ，则∞→→s t s t i )(,0)(。

模型解释 1、
σ1是一个阈值，当σ10>s 时传染病会蔓延，σ
1
0≤s 时就不会蔓延。

2、μ
λ
σ=
表明λ愈小，μ愈大，σ也愈小，从而愈有利。

注：重要参数σ可由（8）中令00=i （通常开始时0i 很小）得到估计值
∞
∞
--=
s s s s 00ln ln σ（其中∞s s ,0可由实验得出估计）
模型应用
1、被传染比例的估计
∞-=s s x 0
由,1,000≈≈s i 由（8），)1
(20)1ln(1
000σ
σσ
-≈⇒≈-
+
s s x s x x 当该地区的卫生和医疗水平不变时，σ就不变，这个比例也不变。

2、群体免疫和预防 由于当σ
1
0≤s 时不会蔓延，故降低0s 也是种手段。

由0001,0r s i -=≈，于是σ
1
0≤
s 可表
示为σ
1
10-
≥r ，即通过群体免疫使初始时刻的移出者比例σ
1
10-
≥r ，就可制止传染病蔓延，
但实际上难度很大，因为σ越大，0r 就要越大（如5=σ，则8.00≥r ，即有%80以上人接受免
疫），而且这些人在人群中均匀分布。