河南省鲁山县2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题 文

高二年级上学期第一次月考试题（文科数学）
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分） 1．不等式
1
11
x ≥--的解集为（ ） A. (](),01,-∞⋃+∞ B. [)0,+∞ C. [)()0,11,⋃+∞ D. ()[
),01,-∞⋃+∞ 2．已知命题()000:0,,ln 1p x x x ∃∈+∞=- ，则命题p 的真假及p ⌝依次为( ) A. 真； ()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠- B. 真； ()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- C. 假； ()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- D. 假； ()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-
3.各项为正的等比数列{}n a 中,4a 与14a
的等比中项为则27211log log a a +的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．方程
22
142x y m m
+=+-表示椭圆的必要不充分条件是（ ） A. m ∈（﹣1，2） B. m ∈（﹣4，2） C. m ∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2） D. m ∈（﹣1，+∞）
5．实数,x y 满足10
30270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =-的最小值是（ ）
A ．-3
B ．-4
C ．6
D ．-6
6.已知圆O ：42
2
=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段1PP （1P 在y 轴上），M 在直线1PP 上且P P 112=，则动点M 的轨迹方程是( )
A.4x 2
+16y 2
=1 B.16x 2
+4y 2
=1 C.42x +16y =1 D.162x +4
2
y =1
7．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15，与灯塔S 相距20nmile ，随后货轮按北偏西30的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A. 20
mi /n le h
B. 20
mi /n le h
C. 20
mi /n le h
D. 20
mi /n le h 8．已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则
b
a
的取值范围是（ ） A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1( 9．设直线(
))
*1nx n y n N ++=
∈与两坐标轴围成的三角形面积为n a ，则
122017a a a ++
+=（ ）
A.
20172018 B. 20162017 C. 20152016 D. 20172016
10．已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ）
A. ()
+∞
B. )
⎡+∞⎣
C. ()3,+∞
D. [
)3,+∞
11．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
745
3
n n A n B n +=+，则使得n
n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
12．设f （x ）是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有f （﹣x ）+f （x ）=0恒成立，如果实数m ，n 满足不等式f （m 2
﹣6m+21）+f （n 2
﹣8n ）＜0，那么m 2
+n 2
的取值范围是（ ） A ．（9，49） B ．（13，49） C ．（9，25） D ．（3，7）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二.填空题(本大题共有4个小题，每小题5分，共20分) 13．已知焦点在y 轴上的椭圆1422=+y mx 的离心率为
2
2
，则实数m 等于__________． 14．已知x >0， y >0，且21
+=1x y
，若2x+2y>m +2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__________．
15．关于x
221x cos x k +=+在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，内有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．
16．对于数列{}n a ，定义11222n n
n a a a H n
-++
+=
为{}n a 的“优值”，现在已知某数列
{}n a 的“优值”12n n H +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n 恒成
立，则实数k 的最大值为_____．
三、解答题（本大题共6题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()cos 2cos b C a c B =-． （1）求角B 的大小；
（2）若不等式2
10x -+<的解集是{|}x a x c <<，求ABC ∆的周长．
18．（本小题12分）
已知命题p ：方程17
622=+--m y m x 表示椭圆，命题q ：0122,2
≤-++∈∃m mx mx R x ，. （1）若命题p 为真，求实数m 的取值范围；
（2）若q p ∨为真，q ⌝为真，求实数m 的取值范围.
19．（本小题12分）
在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点，
32,cos ,ADB 273
AE B π=
=∠=． （1）求sin BAD ∠；
（2）求AD 及DC 的长．
20．（本小题12分）
已知函数()2
22
sin cos 1
22cos sin 22
x x f x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭=-，函数(
)y f x =在()0,+∞上的零点按从小到大的顺序构成数列{}()
N x n a n ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()
()
2
3
4132n
n a b n
n π
=
--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
21．（本小题12分）
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．
（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
22.（本小题12分）
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 满足，2(1)n n n S a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列21{
}(2)n a +的前n 项和为n A ，求证：对任意正整数n ，都有1
2
n
A <成立； （3）数列{}n b 满足1
()2
n n n b a =，它的前n 项和为n T ，若存在正整数n ，使得不等式
11(2)22
n n n n n
T λ---<+
-成立，求实数λ的取值范围．
鲁山一高高二年级上学期第一次月考试题（文科数学）
命题人：李浩 审题人：孟繁星 2017.9.23
第I 卷（选择题 共60分）
二、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分） 1．不等式
1
11
x ≥--的解集为（ ） A. (](),01,-∞⋃+∞ B. [)0,+∞ C. [)()0,11,⋃+∞ D. ()[
),01,-∞⋃+∞ 2．已知命题()000:0,,ln 1p x x x ∃∈+∞=- ，则命题p 的真假及p ⌝依次为( ) A. 真； ()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠- B. 真； ()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- C. 假； ()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- D. 假； ()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-
3.各项为正的等比数列{}n a 中,4a 与14a
的等比中项为则27211log log a a +的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．方程
22
142x y m m
+=+-表示椭圆的必要不充分条件是（ ） A. m ∈（﹣1，2） B. m ∈（﹣4，2） C. m ∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2） D. m ∈（﹣1，+∞）
5．实数,x y 满足10
30270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =-的最小值是（ ）
A ．-3
B ．-4
C ．6
D ．-6
6.已知圆O ：42
2
=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段1PP （1P 在y 轴上），M 在直线1PP 上且P P 112=，则动点M 的轨迹方程是( )
A.4x 2
+16y 2
=1 B.16x 2
+4y 2
=1 C.42x +16y =1 D.162x +4
2
y =1
7．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15，与灯塔S 相距
20nmile ，随后货轮按北偏西30的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方
向，则货轮的速度为（ ）
A. 20
mi /n le h
B. 20
mi /n le h
C. 20
mi /n le h
D. 20
mi /n le h 8．已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则
b
a
的取值范围是（ ） A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1( 9．设直线(
))
*1nx n y n N ++=
∈与两坐标轴围成的三角形面积为n a ，则
122017a a a ++
+=（ ）
A.
20172018 B. 20162017 C. 20152016 D. 20172016
10．已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ）
A. ()
+∞
B. )
⎡+∞⎣
C. ()3,+∞
D. [
)3,+∞
11．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
745
3
n n A n B n +=+，则使得n
n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
12．设f （x ）是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有f （﹣x ）+f （x ）=0恒成立，如果实数m ，n 满足不等式f （m 2
﹣6m+21）+f （n 2
﹣8n ）＜0，那么m 2
+n 2
的取值范围是（ ） A ．（9，49） B ．（13，49） C ．（9，25） D ．（3，7）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二.填空题(本大题共有4个小题，每小题5分，共20分) 13．已知焦点在y 轴上的椭圆1422=+y mx 的离心率为
2
2
，则实数m 等于__________． 14．已知x >0， y >0，且21
+=1x y
，若2x+2y>m +2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__________．
15．关于x
221x cos x k +=+在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，内有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．
16．对于数列{}n a ，定义11222n n
n a a a H n
-++
+=
为{}n a 的“优值”，现在已知某数列
{}n a 的“优值”12n n H +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n 恒成
立，则实数k 的最大值为_____．
三、解答题（本大题共6题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()cos 2cos b C a c B =-． （1）求角B 的大小；
（2）若不等式2
10x -+<的解集是{|}x a x c <<，求ABC ∆的周长．
20．（本小题12分）
已知命题p ：方程17
622=+--m y m x 表示椭圆，命题q ：0122,2
≤-++∈∃m mx mx R x ，. （1）若命题p 为真，求实数m 的取值范围；
（2）若q p ∨为真，q ⌝为真，求实数m 的取值范围.
21．（本小题12分）
在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点，
32,cos ,ADB 273
AE B π=
=∠=． （1）求sin BAD ∠；
（2）求AD 及DC 的长．
22．（本小题12分）
已知函数()2
22
sin cos 1
22cos sin 22
x x f x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭=-，函数(
)y f x =在()0,+∞上的零点按从小到大的顺序构成数列{}()
N x n a n ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()
()
2
3
4132n
n a b n
n π
=
--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
23．（本小题12分）
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．
（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
22.（本小题12分）
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 满足，2(1)n n n S a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列21{
}(2)n a +的前n 项和为n A ，求证：对任意正整数n ，都有1
2
n
A <成立； （3）数列{}n b 满足1
()2
n n n b a =，它的前n 项和为n T ，若存在正整数n ，使得不等式
11(2)22
n n n n n
T λ---<+
-成立，求实数λ的取值范围．
参考答案
1．A2．B3．B4.B5．B6．D7．【答案】B 【解析】由题意153045NMS ∠=︒+︒=︒，
4560105SNM ∠=︒+︒=︒，由正弦定理得
sin105sin30MS MN
=
︒︒
，所
以20s i n 12s i n 10MN ︒==︒，
速度为
10
20
/1
2
nmile h =，
故选B ． 8．【答案】A 由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a A
b B
=，又因为B A 2=，所以
sin sin 22cos sin sin a A B B b B B ===，又因为锐角三角形，所以2(0,)2
A B π=∈且(2)3(0,)2
A B B πππ-+=-∈，所以6
4
B ππ<<，
所以2cos B ∈，所以
b
a 的取值范围是
)3,2(，故选A ．
9．【答案】A 【解析】分别令x =0和y =0,得到直线nx +(n +1)y
n ∈N ∗)与两坐标轴的交点：
(
n
,0),(0, 1n +)，则S n =12
⋅n
⋅1n +=()11n n +=1n −1
1
n +然后分别代入1，2，…，
2017，
则有S 1+S 2+S 3+…+S 2017=1−12+
12−13+13−14+…+12017−12018=1−12018=2017
2018
.故答案为： 2017
2018
. 10．【答案】C 试题分析：
()()0,a b f a f b <<=， 01,a b ∴<<<所以
()()l g ,l g b f a a l g a f b l g b ==-==，所以由()()f a f b =得
lg lg a b -=，即
()l g l g l g 0a b a b +=
=，所以
1ab =， 1b a =，令()2
2h a a b a a
=+=+，因为函数()h a 在区间()0,1上是减函数，故()()13h a h >=，故选C 。

考点：对数函数性质，函数单调性与最值。

11．【答案】D 试题分析：由等差数列的中项可知，2
21
211
21--++=n n n n b b a a b a ，然后上下再同时乘以
1
2-n ，得到()()1
12
7112171197223814312451271212++=+++=++=++=+-+-==--n n n n n n n n n B A b a n n n n ，如果是正数，那么11,5,3,2,1=n ，所以共5个
12．【答案】A 解：∵对于任意的x 都有f （﹣x ）+f （x ）=0恒成立，
∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∵f （m 2﹣6m+21）+f （n 2
﹣8n ）＜0，
∴f （m 2﹣6m+21）＜﹣f （n 2﹣8n ）=f （﹣n 2
+8n ），∵f （x ）是定义在R 上的增函数， ∴m 2﹣6m+21＜﹣n 2+8n ，∴（m ﹣3）2+（n ﹣4）2＜4∵（m ﹣3）2+（n ﹣4）2
=4的圆心坐标为：
（3，4），半径为2，∴（m ﹣3）2+（n ﹣4）2
=4内的点到原点距离的取值范围为（5﹣2，5+2），即（3，7）， ∵m 2+n 2 表示（m ﹣3）2+（n ﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，∴m 2+n 2
的取值范围是（9，49）．故选：A ． 13．【解析】焦点在轴时，
，即
，所以等于8，
14.解：因
()()214,224448
y x
F x y x y x y x y x y ⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，即
()m
i n ,8F x y =，故228042m m m +-<⇒-<<，应填答案()4,2-
15.
13sin2cos212cos212sin 2126k x x x x x π⎫⎛
⎫=+-=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
∴
72,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
，
1sin 2126x π⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭剟 .22sin 2116x π⎛
⎫∴-+- ⎪⎝
⎭剟 ,即k ∈[0,1）
16．【答案】712,35⎡⎤
⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由题可知
1112222n n n a a a n -++++=，∴1112222n n n a a a n -+++
+=⋅①，212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅②，由①-②
得：1
12
2(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅，则22n a n =+，所以(2)2n a kn k n -=-⋅+，令
(2)2n b k n =-⋅+，
5n S S ≤，560,0b b ∴≥≤，解得：
712
35
k ≤≤
，所以k 的取值范
围是712
[,
]35
. 17.（1）由()cos 2cos b C a c B =-得, ()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-
即sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，得()sin 2sin cos B C A B += 即sin 2sin cos A A B =， 得1
cos 2
B =
， 又，于是3
B π
=
（2）依题意a 、c
是方程2
10x -+=的两根
a c ∴+=
， 1ac =
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()2
3a c ac =+-63=-3=
b ∴= ∴求ABC ∆
18.（Ⅰ）∵命题为真，
当
时，
，∴
，故
；当
时，
，符合
题意； 当
时，
恒成立.综上，. （Ⅱ）若为真，则
，即
.∵若
为真，为真，∴真假，
∴，解得.
19.（1）在ABD ∆中，因
为()cos 0,7
B B π=
∈，所
以sin B =，
即
sin 7
B =
所以
()s i n s i n B A D
B A D B
∠=∠+∠，
即11
2
73
21
s i n
77
2
1
4
BAD ⎛⎫
∠=-+
=
⎪⎝
⎭
（2）由正弦定理
sin sin AD BD
B BAD
=
∠，得12sin 14
BD AD BAD ⨯
===∠ 依题意得
23
AC AE ==，在
A C D
∆中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD CD ADC =+-∠，
即29422cos 3
DC CD π
=+-⨯⨯，所以2250DC DC --=，
解得1DC =+去）
20.（Ⅰ）()2
22sin cos 122cos sin 22
x x f x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=- sin tan cos x x x ==，
由tan x =0x >得3
x k π
π=+
()N k ∈，数列{}n a 是首项13
a π
=
，公差d π=的等
差数列， 所以()213
3
n a n n π
π
ππ=
+-=-
． （Ⅱ）()
()
2
3
4132n
n a b n
n π
=
-- ()()
1
2121n n =
-+ 11122121n n ⎛⎫
=
- ⎪-+⎝⎭
，
11111
1[123352121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎤=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎦ 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
． 21.解：（1）由题意，每小时的燃料费用为2
0.5(050)x x <≤，从甲地到乙地所用的时间为
300x 小时，则从甲地到乙地的运输成本2300300
0.5800(050)y x x x x
=⨯+⨯<≤， 故所求的函数为23003000.5800y x x x =⨯
+⨯ 1600
150(050)x x x ⎛
⎫=+<≤ ⎪⎝⎭
．
（2）由（1）得1600150y x x ⎛
⎫
=+≥ ⎪⎝
⎭
15012000⨯=， 当且仅当1600
x x
=
，即40x =时取等号． 故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．
22.（1）22n n n S a a =+，当2n ≥时，2
1112n n n S a a ---=+，
两式相减得：22
112n n n n n a a a a a --=-+-，所以11()(1)0n n n n a a a a --+--=．
因为数列{}n a 为正项数列，故10n n a a -+≠，也即11n n a a --=，
所以数列{}n a 为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为n a n =，*
n N ∈．
（2）
12342222
2
111113456(2)n n A a a a a a n =+++++=
+++++
+
1111111111()()()()()2334455612n n <-+-+-+-++-++ 111222n =-<+，所以对任意正整数n ，都有12
n A <成立． （3）易知2n n n b =，则23111111
123(1)22222
n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，①
2311111111
12(2)(1)222222
n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⨯+-⨯+⨯，② ①-②可得： 211111112
1222222
n n n n n T n +++=+++-⨯=-．
故222n n n T +=-，所以不等式112
(2)222
n n n λ---<--成立，
若n 为偶数，则1122222n n n λ---<--，所以21111
2()122
n n λ-->-⨯++．
设111(0,]22n t -=∈，则22
21(1)y t t t =-++=-在1(0,]2单调递减，
故当12t =时，min 14y =，所以1
4
λ>；
若n 为奇数，则1122222n n n λ--<--，所以21111
2()122
n n λ--<⨯--．
设11(0,1]2
n t -=∈，则22
21(1)y t t t =--=--在(0,1]单调递增，
故当1t =时，max 0y =，所以0λ<．综上所述，λ的取值范围0λ<或1
4
λ>．。