数学模型2012-2013B试卷及答案

广州大学 学年第 学期
课程 数学模型 考试B 卷答案
一、 填空题（每小题 分，共计 分）
．“光盘的数据容量” 模型中，光盘环形区域内圆半径为1R 外圆半径为2R 信道间距为 ，则恒定角速度 光盘的信道总长度为： d
R R R L 1
21
2-=π 。

“商人怎样安全过河”模型中，允许状态集合
，状态转移律的公式是 ： k k
k k d s s )1(1-+=+ 。

．“人口指数增长模型”的人口数为 ，其微分方程为
rx dt
dx
= 。

“人口阻滞增长”模型是在假设 人口增长率是人口数量的减函数 得到的。

．“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 。

．“传染病模型”中 模型把人群分为 二 类，分别是 已感染者 病人 和未感染者 健康人 。

接触数σ μλ/ 。

二、（ 分）某企业每年需要某零部件 件，不能停工待料。

现知每批定货费 元，存储费每月每件 元。

求最佳订货周期和定货量。

并计算每月的平均费用。

解：因为3,15004000124800021
===÷=c ，c
r （ 分）
故订货周期为5.04000
31500
2221=⨯⨯==
r c c T （月）约 天 （ 分） 订货量为 （件）。

（ 分） 每月的平均费用 60004000*3*1500*2221===r c c C （元） （ 分）
三、（ 分）学校共有 名学生， 人住在 宿舍， 人住在 宿舍， 人住在 宿舍。

学生们要组织一个 人的委员会，试用惯例的方法和 值方法分配各宿舍的委员数。

解：按惯例法：因为
32.6101000
632
33.1101000133
35.2101000235
=⨯=⨯=⨯ 宿舍得 个委员， 宿舍得 个委员， 宿舍得 个委员，由于小数点后最大是 ，故剩下的一个委员给 宿舍，即分配名额为 、 、 。

（ 分）
按 值方法：因为 9510
)
16(66325.8844)
11(11339204
)
12(22352
2
2
=+⨯==+⨯==+⨯=C B A Q Q Q
由于C Q 最大，故剩下的一个委员给 宿舍，即分配名额为 、 、 。

（ 分）
四、（ 分）细菌的增长率与总数的成正比。

如果培养的细菌总数在于 小时内由 增长到 ，那么，第 小时后细菌总数是多少？
解：设 时刻的细菌数为 依题意得：
400)24(,100)0(,===x x kx dt
dx
其中 为比例常数， （ 分） 解此微分方程得：kt
ce x = （ 分）
把初值代入可得： 244100)(,244
ln t
t x k ⨯== （ 分） 2524100)16(3
2≈⨯=x （ 分）
五、（ 分）某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 立方米，重量不超过 百斤 试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润 （用图解法求解）
解 设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x 2x 所获利润为z .则问题的数学模型可表示为： 211020 m ax x x z +=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+≤+0,135224
452
12121x x x x x x st （ 分）
用图解法求解
可行域为：由直线
2445:211=+x x l ，1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成。

直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动 易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值 由⎩⎨
⎧=+=+13
52244521
21x x x x 解得 ⎩⎨
⎧==1
42
1x x
90110420max =⨯+⨯=z （ 分）
六、（ 分）已知本厂牙膏销售价格与其它厂家平均销售价格如下表：
解：线性回归模型 关于数据点对),(i i x y 的参数计算公式为：
-
-=-
=-
-
-=---=
=∑∑x b y a x x
x x
y l
l n
i i
n
i i
i
xx
xy
y b ^^12
1
^
,)()
)(( （ 分）
经计算得：4696.2,31915.0^
^
==a b
即所求的回归方程为x y 31915.04696.2+= （ 分）
七、（ 分）报童以每份报纸的购进价为 元，售出价为 元，退回价为
元，报纸需求量服从均匀分布，其密度函数 ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥=其它
900900
1
)(r r p ，报童每天应购
进多少份报纸才能使平均收入最高？
解：设售价为 购进价为 退回价为 购入 份报纸 需
求量为 需求量的分布密度⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥=其它
900900
1
)(r r p ，则有 （ 分）
收入⎰⎰
∞
-+----=n
n
dr r np b a dr r p r n c b r b a n G 0
)()()()])(()[()(
0)()()()(0=-+--=⎰⎰∞
n
n dr r p b a dr r p c b dn dG
可得 c
a b
a dr r p n
--=
⎰0
)( （ 分） 把具体数值代入可算得： 份报纸 （ 分）
八、（ 分）雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。

解：设v ρ μ g 的关系为(f v ρ μ g ) 其量纲表达式为
v ，
ρ ， μ （ ）
， g 其中 ， ， 是基本量纲
（ 分）
量纲矩阵为
)
()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组 ，即 （ 分）
⎪⎩⎪
⎨⎧==+=+0
2y -y - y -0
y y 0y y -3y -y 431
324321 的基本解为 （ 分） 由量纲i P 定理 得 g v μρπ1
3
--= 3
ρ
μλg
v =∴，其中λ是无量纲常数 （ 分）。