因素模型与套利定价理论

Ri =αi +i RM +eI
勇于开始，才能找到成功的路
●Ri=ri-rf是股票超过无风险收益的超额收益，αI是当市场超额收益 率为零时的期望收益，I是股票i对宏观因素的敏感程度， RM=rM–rf是市场收益超过无风险收益的超额部分，iRM合在一 起的含义是影响股票超额收益的宏观因素，也称作系统因素；eI 是影响股票超额收益的公司特有因素，也称作非系统因素。
❖ 作为一种回报率产生过程，因子模型具有以 下几个特点。
第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经 济因素。
第二，在构造因子模型中，我们假设两个证券的回报率相 关——一起运动——仅仅是因为它们对因子运动的共同反应 导致的。
第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所 独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关，也与因子 的运动无关。
现价$ 10
10 10
10
预期收益%标准差%
25.0
29.58
20.0 33.91
32.5
48.15
22.5
8.58
套利组合
中值
Portfolio
A,B,C
25.83
D 22.25
标准差
6.40 8.58
相关性 0.94
可以看出,由A,B,C三种证券(等权重)构成的组合在所有环境下都比D的表 现好.所以,任何投资者,无论是否厌恶风险,只需对D做空头,然后再购买 等权重的组合,就可以从中获得好处.
因素模型与套利定价理 论
2021/7/17
因素模型
❖ 定义1：因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回 报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。
❖ 由于在实际中，证券的回报率往往不只受市场指标变动的 影响，所以，在估计证券的期望回报率、方差以及协方差 的准确度方面，多因子模型比市场模型更有效。
充分分散化的资产组合（2）
如果资产组合不是等权重的，结论仍然成立。 假定有一由1000只股票构成的资产组合。我们令第一只股票的头寸为
w%，令第二只股票的头寸为2w%，第三只为3w%，……，第一 千只股票的头寸为1000w%。 有w+2w+…+1000w=1，求解w，有500500w=1，w=0.0002%。 那么，1000w=0.2%。 这就是说，在这个非等权重的资产组合中权重最大的一只股票的头寸 只占全部资产的0.2%，即占全部资产的1%的0.2。我们的结论是， 只要资产组合是充分分散化的，无论是不是等权重的，非系统风 险都会被分散掉。
Rit =αi+iMRMt+iSMBSMBt+iHMLHMLt+eit ●陈、罗尔和罗斯的5因素模型提出的影响股勇于开始票，才能找到成功的路 收益的5因素为
行业生产增长率IP；预期的通货膨胀率EI；非预期的通货膨 胀率UI；长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG和长 期政府债券对短期国库券的超额收益GB： Rit=αi+iIPIPt+iEIEIt+iUIUIt+iCGCGt+iGBGBt+eit 第一简单，第二，选择最重要的因素。
勇于开始，才能找到成功的路
●现在需要的估算量为：n个期望超额收益E(RI)的估计，n个公司i的估计， n个公司特有方差2(ei)的估计和1个宏观经济因素的方差2M的估计。现 在的估算量是3n+1。
●再看上海、深圳1400种股票的例子，现在只需要估算4201种（原来是多 少）。
单指数模型的几何表达
❖ 单指数模型可以表达为一条截距为αi，斜率为I的斜线。坐标系 的横轴为市场超额收益，纵轴为股票i的超额收益。实际中，这条 斜线要利用具体数据回归得出，称作证券特征线。
假如卖空D300万美元,然后用于购买A,B,C各100万股,结果如下:
套利行为与收益:计算
Stock 美元投资(万元)
收益(万元)
A
100
25.0
B
100
20.0
C
100
32.5
D
-300
-67.5
___________________________________
资产组合 0
10
结果是:D价格下跌的同时A,B,C的价格上涨,或者只有D的价格下跌或只有 A,B,C的价格上涨,这样套利机会就被消除了.
勇于开始，才能找到成功的路
技术、通信技术是最典型的例子）、生产成本和劳动力价格的变化等这 些带有全局性或宏观性的因素会对几乎所有的公司都产生影响，而且影 响的方向是一样的，尽管程度不完全一样，因此，夏普考虑，既然这些 因素的影响差不多，是否可以将存在于公司外部的影响公司股价的因素 都看成是一个因素，
等权重资产组合方差的分解（2）
单指数模型与CAPM模型的关系
●按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的协方差公式为 Cov(Ri，RM)=Cov(iRM+ei，RM)
=iCov(RM，RM)+ Cov(ei，RM) =iσ2M
勇于开始，才能找到成功的路
●上零 R式M，所)=且以0由。成于可立公推，司导是特出因有为的由非于系αI统是风常险数独，立它于与系所统有风变险量，的因斜此方C差o都v(是ei， I= Cov(Ri，RM)/σ2M
(6.2)
这里，式中的bP是n种股票的bi的加权平均值，
有bP=Σ wibI；式中的eP是n种股票与F无关的ei的加权平均值，有eP
=ΣwIei。这一投资组合的方差分为系统的和非系统的两部分，有
2P = b2P2F+2(eP)
(6.3)
rp=E( rp)+ bpF
(6.4)
套利举例
Stock A B C D
单指数模型的提出
●αI是当市场超额收益率为零时的期望收益，它的值通常很小，也很 稳定，一定时期可以看成是一个常量。
● eI是影响股票超额收益的公司特有因素，是非系统因素，是不确定 的，其期望值为零。
● 真正影响股票期望收益的是iRM，要估计的只有股票收益对市场收 益敏感程度I。
● 由于Ri是股票超过无风险收益的超额收益，投资者对其的要求与无 风险收益的水平有关。
单指数模型的意义
●减少了估算工作量。股票i的收益率的方差为：
σ2I=2iσ2M （RM ）+σ2(ei)
●非系统风险独立于系统风险，因此RM和ei的协方差为0。ei是每个公司特 有的，它们之间不相关。而两个股票超额收益率Ri与Rj的协方差，都与 市场因素RM有关，所以，Ri与Rj的协方差为
Cov(RI，Rj)=Cov(iRM，jRM) =ijσ2M
●定义2Pσ2M为系统风险部分，其大小取决于资产组合的贝塔值和市 场风险水平，不会随资产组合中的股票数量的增加而变化。
●定义σ2(eP)为非系统风险部分，由于这些ei是独立的，都具有零期 望值，所以随着资产组合中的股票数量越来越多，勇于开始，才能找到成功的路 非系统风险越 来越小。
●这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合的方差将接近于系统 方差。
套利罗斯于1976年提出，这一理 论的结论与CAPM模型一样，也表明证券的风险与收益 之间存在着线性关系，证券的风险最大，其收益则越高。 但是，套利定价理论的假定与推导过程与CAPM模型很 不同，罗斯并没有假定投资者都是厌恶风险的，也没有 假定投资者是根据均值-方差的原则行事的。他认为， 期望收益与风险之所以存在正比例关系，是因为在市场 中已没有套利的机会。
●等权重资产组合的超额收益可以表示为 RP =∑wiRi =1/n∑Ri=1/n∑(αi +iRM +eI) =1/n∑αi+(1/n∑i)RM +1/n∑ei
●由合于的P方=差1/为n∑I；αP=1/n∑αi，是一个常数；eP =1/n∑eI，因此资产组 σ2P=2Pσ2M +σ2(eP)
等权重资产组合方差的分解
值为零的取期望的单指数模型。
单指数模型举例——清华同方（1）
❖ 假定有反映中国股市整体情况的中证300指数，有无风险利率存在。估 算期为1年，计算出每月同方公司的平均收益水平和中国股市月平均收益 水平（虚拟数据），结果如下。
勇于开始，才能找到成功的路
单指数模型举例——清华同方（2）
同方股票的超额收益与市场超额收益的关系有下式： RTFt=αTF+TFRMt+eTFt
单指数模型与CAPM模型的关系（2）
●在推导CAPM模型中，也有i= Cov(Ri，RM)/σ2M成立， 即单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。 ●因边此取，期C望AP，M有模型是单指数模型的一个特例，对Ri=αi+iRM+ei两
E(ri)–rf=αi+i[E(M)–rf]。 与CAPM模型相比较，可见，CAPM模型是所有股票阿尔法的期望
❖ 因子模型在证券组合管理中的应用
在证券组合选择过程中，减少估计量和计算量 刻画证券组合对因子的敏感度
单因素模型(单指数模型）的提出
●在确定有效组合时估算中计算量最大的部分是协方差的计算
●经验表明，股票收益之间的协方差一般是正的，因为相同的经济因素影响 着许多公司的命运，可将公司外部的因素看成是一个经济周期的变化、 市场利率水平的波动、通货膨胀的影响、影响全局的技术创新（计算机
勇于开始，才能找到成功的路
单指数模型和风险分散
●单指数模型可证明：随着资产组合中股票数量的增加，非系统风险逐步下 降，而系统风险并不变化。
●假+定一iRM个+等e权i 重的资产组合有n只股票，每只股票的超额收益为：Ri =αi ●整个资产组合的超额收益为：RP=αP+PRM+eP
勇于开始，才能找到成功的路
❖一般来说，下面的几种因素会对整个经济产生普 遍的影响。
1．GDP的增长率 2．短期国库券的利率水平 3． 长短期国债的收益率之差 4. 公司债与国债的收益率之差 5. 通货膨胀率 6. 石油价格 7. 技术进步
多因素模型
●实际上影响股票收益的因素还不止两个。
●法马与弗伦奇的3因素模型提出的影响股价的三个因素是公司 的规模、帐面价值/市值比和股票指数：
微观因素
除此之外，影响公司股价的就都是公司内部特有因素， 譬如公司的战略、公司的市场营销策略、公司的内部 管理等因素。由于这些因素对每个公司的影响是不确 定的，即有的公司出现这样的问题时其他公司不一定 会出现一样的问题。因此，从总体上说，这类因素对 公司股价的影响的期望值是零。
●内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零，即随 着投资的分散化，这类因素的影响是逐渐减少的。
单指数模型的局限性
●这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统风险与 非系统风险两部分，这与真实世界的不确定性来源是 有距离的。
勇于开始，才能找到成功的路
●它没有考虑行业事件，而行业事件是影响行业内许多公 司，但又不会影响整个宏观经济的一些事件。
多因素模型
（1）多因素模型的提出 ●系统风险包括多种因素 ●不同的因素对不同的股票的影响力是不同的
(6.1)
我们假定，系统因素测度的是与宏观经济有关的新信息，它具有零期 望值。非系统因素eI也具有零期望值。
三、充分分散化的资产组合
资产组合充分分散，非系统风险会完全分散掉。
假定有一由n种股票按权重组成的资产组合，每一股票的权重为wi， 因此有Σwi =1，则该资产组合的收益率为
rP=E(rP)+bPF+eP
❖ 传统理论是所有人调整，这里是少数人调整。
二、套利定价理论的假定前提
①股票的收益率取决于系统因素和非系统因素； ②市场中存在大量的不同资产，是完全竞争的； ③市场中允许卖空，卖空所得款项归卖空者所有； ④投资者偏向获利较多的投资策略。 罗斯的分析是从单因素模型开始的，即有：
r=E(ri)+biF+eI
将这12组数据带入上式进行回归，得到结果如下：
勇于开始，才能找到成功的路
单指数模型举例——清华同方（3）
勇于开始，才能找到成功的路
截距为-0.11%，斜率为0.36，残值的方差反映了同方公司特有因素 对同方股票收益的影响程度，表中的R2表示的是rI与rM之间的 相关性的平方，它是总方差上的系统方差，它告诉我们公司股价 小量波动是由市场波动造成的。
单因素模型
夏普提出单因素模型：ri =E(ri) +mi +eI 可将宏观因素定义为F，将股票i对宏观经济事件的敏感度
为I，有： ri =E(ri) +i F +eI
单指数模型的提出
●宏观因素不确定，且各宏观因素的权重无法确定
●夏普用一个股票指数代替单因素模型中的宏观影响因素，有单指数 模型：股票收益公式为
（2）两因素分析模型 勇于开始，才能找到成功的路
假定两个系统风险是经济周期（GDP）和利率（IR）的不确定性。 单指数模型扩展成了两因素模型： Rt =α+GDPGDPt+IRIRt +et
（3）例如：假定经济中有两个公司，一个是由政府定价的天燃气供 应公司，一个是五星级酒店。前者对GDP较不敏感，但是对利率 很敏感；后者对GDP很敏感，对利率较不敏感。这时只有两因素 模型才可能较好地作出恰当的分析，单指数模型会显得较无力。