圆周运动模型中临界问题和功与能(学生版)--2024年高考物理二轮热点模型

圆周运动模型中临界问题和功与能
目录
1．圆周运动的三种临界情况
2．常见的圆周运动及临界条件
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
1．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：F f=F max。

(2)接触面分离临界：F N=0。

(3)绳恰好绷紧：F T=0；绳恰好断裂：F T达到绳子可承受的最大拉力。

2．常见的圆周运动及临界条件
(1)水平面内的圆周运动
水平面内动力学方程临界情况示例水平转盘上的物体
F f=mω2r恰好发生滑动
圆锥摆模型
mg tanθ=mrω2恰好离开接触面
(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动
轻绳模型
最高点：F T+mg=m v2
r
恰好通过最高点，绳的拉力
恰好为0
轻杆模型
最高点：mg±F=m v2
r
恰好通过最高点，杆对小球
的力等于小球的重力
带电小球在叠加场中的圆周运动
等效法关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置
恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动
倾斜转盘上的物体
最高点：mg sin θ±F f =mω2r 最低点F f -mg sin θ=mω2r
恰好通过最低点3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点记为
C ，与原点等高的位置记为B 。

圆周的半径为R
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由mg =m v 2
R
可得v =gR ①
对应C 点的速度有机械能守恒
mg2R =12mv 2C −1
2
mv 2A 得v C =5gR ②当小球在C 点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O 点等高的D 位置则由机械能守恒
mgR =1
2mv 2c 得v c =2gR ③小结：(1).当v c >5gR 时小球能通过最高点A 小球在A 点受轨道向内的支持力由牛顿第二定律F A +mg =m v 2
A R
④
(2).当v c =5gR 时小球恰能通过最高点A 小球在A 点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律mg =m v 2
A R。

⑤
(3).当2gR <v c <5gR 时小球不能通过最高点A 小球在A 点，上升至DA 圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v 越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA 段射重力与半径方向的夹角为θ则mg cos θ=m v 2R 、cos θ=
h R
(4).当0<v c ≤2gR 时小球不能通过最高点A 上升至CD 圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。

上升的最高点为C 永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A 点静止释放的小球到达最低点C ：由机械能守恒mg2R =12
mv 2C 在C 点由牛顿运动定律：F N −mg =m v 2C R
得F N =5mg ⑥
(2)从与O 等高的D 点(四分之一圆弧)处静止释放到达最低点C ：由机械能守恒mgR =12
mv 2C 在C 点由牛顿运动定律：F N −mg =m v 2C R
得F N =3mg ⑦
(3)从A 点以初速度v A =gR 释放小球到达最低点
由机械能守恒mg2R =
12mv 2C -12
mv 2A 在C 点由牛顿运动定律：F N −mg =m v 2
C
R 得F N =6mg ⑧
1(2023上·安徽·高三校联考期中)“旋转秋千”
是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。

若将“旋转
秋千”简化为如图乙所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m =80kg ，圆盘的半径为R =2.5m ，绳长L =2R ，圆盘以恒定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为h =22.5m ，重力加速度g 取10m/s 2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。

忽略空气阻力的影响，求：
(1)手机滑落瞬间的速度大小；(2)手机落地点距离中心转轴的距离。

2(2023上·黑龙江佳木斯·高三校联考期中)如图，
在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在A 点相切，BC 为圆弧轨道的直径，O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，sin α=3
5
，一质量
为m 的小球沿水平轨道向右运动，经A 点沿圆弧轨道通过C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。

重力加速度大小为g 。

(提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力)求：
(1)水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小；(2)小球到达A 点时动量的大小；
3(2023·北京市海淀区一模)如图所示，
轻杆的一端固定在通过O 点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O 点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A 点为最高点，C 点为最低点，B 点与O 点等高，下列说法正确的是(
)
A.小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B.小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向
C.从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变
D.从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功
【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。

2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是F N=0或F T=0。

3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。

4(2023·全国·高三专题练习)如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中()
A.可以到达半圆轨道最高点D
B.经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N
C.不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m
D.可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
1(2023·山东潍坊·统考模拟预测)如图所示，质量为m的小物块开始静止在一半径为R的球壳内，它和球心O的连线与竖直方向的夹角为30°。

现让球壳随转台绕转轴OO'一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g，则()
A.静止时物块受到的摩擦力大小为3
2
mg
B.若转台的角速度为
3g
3R，小物块不受摩擦力作用
C.若转台的角速度为g
R，小物块受到的摩擦力沿球面向下
D.若转台的角速度为2
3g
3R，小物块受到的摩擦力沿球面向下
2(2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习)如图所示，长度为l的轻绳一端固定在O点，另一端系着一个质量为m的小球，当小球在最低点时，获得一个水平向右的初速度v0=2gl，重力加速度为g，不计空气阻力。

在此后的运动过程中，下列说法正确的是()
A.小球恰好能到达竖直面内的最高点
B.当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg
C.轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为2
3
D.初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg
3(2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习)如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有()
A.小球通过最高点的最小速度为g(R+r)
B.小球通过最高点的最小速度为零
C.小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力
4(2023上·山东德州·高三统考期中)如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。

现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。

当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时()
A.若圆环光滑，则角速度ω=g
R tan θB.若圆环光滑，则角速度ω=
g tan θR
C.若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A 点，则角速度ω可能等ω=μg R
D.若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A 点，则角速度ω可能等于ω=
g μR
5(2023上·重庆梁平·高三统考阶段练习)如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。

其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R 的磁性圆轨道竖直固定，质量为m 的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A 、B 两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g ，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是(
)
A.铁球可能做匀速圆周运动
B.铁球绕轨道转动时机械能不守恒
C.铁球在A 点的速度一定大于或等于gR
D.要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg
6(多选)(2024·四川成都·校考一模)如图所示，
倾角为30°的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为4m 的滑块，通过轻绳绕过光滑的滑轮与质量为m 的带正电的小球(可视为质点)相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与斜面平行。

小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为30°。

斜面
体和滑块始终静止，滑块与斜面的动摩擦因数为3
2
，小球与小孔之间的绳长为L ，重力加速度为g ，下列说
法正确的是()
A.斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg
B.若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小
C.若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为1
2π5g L
D.若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大
7(多选)．(2023上·陕西咸阳·高三统考期中)如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，m A=4kg，m B=1kg，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为r A=0.1m，r B=0.2m，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为μ=0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，g=10m/s2，以下说法正确的是()
A.B的摩擦力先达到最大
B.当ω=25rad/s时，绳子出现张力
C.当ω=30rad/s时，A、B两物体出现相对滑动
D.当ω=52rad/s时，A、B两物体出现相对滑动
8(多选)(2024·湖南株洲·统考一模)如图，质量为m的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g，P、Q为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车()
A.在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B.通过P、Q两点时对轨道的压力大小之和为2mv2
R
C.由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv2
D.由最低点到最高点电动机做功为2kπmv2+2mgR
9(多选)(2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示。

已知X星球的半径为R0，引力常
量为G ，不考虑星球自转，则下列说法正确的是()
A.X 星球的第一宇宙速度v 1=b
B.X 星球的密度ρ=
3b
4πGR 0
C.X 星球的质量M =
bR 20
GR
D.环绕X 星球的轨道离星球表面高度为R 0的卫星周期T =4π
2RR 0
b
10(多选)(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)如图所示，
在竖直平面内固定有半径为R 的光滑圆弧轨道ABC ，其圆心为O ，B 点在O 的正上方，A 、C 点关于OB 对称，∠AOB =α。

可看成质点的物块自A 点以初速度v 0沿着轨道切线方向向上运动，并且能沿轨道运动到B 点。

已知重力加速度为g ，sin37°=0.6，下列说法正确的有(
)
A.若α=37°，则物块在A 点初速度可能为25gR
B.若α=37°，则物块在A 点初速度可能为45gR
C.若α=53°，则物块在A 点初速度可能为35gR
D.若α=53°，则物块在A 点初速度可能为
45
gR 11(多选)(2023上·湖南·高三校联考期中)如图所示，
半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B 点，半圆轨道的圆心为O ，半径为R ，C 为其最高点。

BD 段为双轨道，D 点以上只有内轨道，D 点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，一小球从水平面上的A 点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C 点。

不计一切摩擦。

则(
)
A.小球到达C点时速度为0
B.小球到达C点后做平抛运动落在地面上
C.小球在A点的初速度为5gR
D.若小球到达D点时对内外轨道均无弹力，则sinθ=2
3
12(多选)(2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)如图，固定在竖直面内的光滑
轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。

小球从A点以初速度v0上轨道，能沿轨道运动恰
好到达C点，下列说法正确的是()
A.小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B.小球A从到C的过程中，重力的功率先增大后减小
C.小球的初速度v0=2gR
D.若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
13(2023上·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习)生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工
厂生产流水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2秒在A处无初
速放一个物品到传送带上，物品(可视为质点)运动到B处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径R= 2.0m的圆运动(与转盘无相对滑动)，到C处被取走装箱，已知A、B的距离L=6.4m，物品与传送带间的动摩擦因数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O相距为R处的线速度均为v=2.0m/s，取g=
10m/s2，问：
(1)物品从A处运动到B处的时间t多大？
(2)若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大？
14(2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习)如图所示，
质量为m 的茶杯(视为质点)放在水平餐桌的转盘上，茶杯到转轴的距离为r ，转盘匀速转动，每秒钟转n 周，茶杯与转盘保持相对静止。

求：(1)茶杯所受的摩擦力大小f ；
(2)每转半周茶杯的动量变化量大小Δp 。

15(2024·四川自贡·统考一模)如图，
在竖直平面内，固定有半径R 1=1m 和半径R 2=0.3m 的光滑圆形轨道，他们轨道弧长分别占圆周的14和3
4
，圆轨道与水平轨道分别相切于B 点和D 点，且平滑连接。

某时
刻，让质量为m 1=0.1kg ，不带电的绝缘小滑块P 从A 点静止释放，经圆轨道滑至B 点，从B 点进入水平轨道，与静止在C 点的带电小滑块Q 发生弹性碰撞，滑块Q 的质量为m 2=0.1kg ，电荷量为q =+1C 。

整个过程中滑块Q 的电荷量始终保持不变，滑块P 、Q 均可视为质点，与水平轨道BC 间的动摩擦因数均为μ=0.1，BC 间距x =2m ，CD 段光滑。

滑块Q 从D 点进入光滑轨道DMN 时，此时加入水平向右范围足够大的匀强电场，场强大小E =3N/C 。

已知重力加速度g =10m/s 2。

求：
(1)小滑块P 刚到1
4
滑道最低点B 时对圆轨道的压力；
(2)小滑块P 与小滑块Q 碰撞后Q 的速度大小为多少？
(3)通过计算判断当Q 进入光滑绝缘半圆轨道DMN 后是否会脱离轨道？若不会，则求经过N 点的速度大小；若会，试求Q 离开半圆轨道时的速度大小为多少？(计算结果可用根式表示)
16(2023上·内蒙古呼和浩特·高三呼和浩特市回民中学校考阶段练习)如图所示，
质量为m 的小球通过长度为R 的轻绳悬挂于固定点O ，现将其拉到某一高处A 点(让OA 绷直)并由静止释放，当小球摆动到O 点正下方B 点时，绳恰好断掉，之后小球恰好垂直落到斜面CD 上，已知斜面倾角为θ=30o ，OBC 三点
在同一竖直线上，绳能承受的最大拉力为7
5
mg ，不计空气阻力，重力加速度为g 。

求：
(1)小球到达B 点时的速度v B 及释放点距离B 点的高度h ；(2)小球落到CD 上的位置与C 的距离s
17(2023上·江西·高三校联考阶段练习)有一款弹球游戏的装置如图所示。

平台离地面的高为R，一
半径为R、下端有一小缺口的竖直光滑圆轨道固定在平台上，圆轨道的最低点与平台边缘重合。

地面上的弹射装置将质量为m的小球A以一定的速度斜射出，到最高点恰好射入平台，与放在圆轨道最低点的半径等大的小球B相撞。

已知小球A与B碰撞前的速度大小v0=22gR，其中g为重力加速度。

忽略空气阻力、小球的大小以及弹射装置的高度。

(1)求弹射装置与平台边缘的水平距离s；
(2)若在B上附着橡皮泥，球和泥总质量为m，两球碰撞后共同运动，求碰撞过程中损失的机械能E；
(3)若小球B的质量为m x，A、B的碰撞为弹性碰撞，碰撞后立即撤去球A，将小缺口补上，变成完整的圆轨
道，要使球B被碰后始终沿圆道运动，求m x的范围。

18(2023上·辽宁丹东·高三统考期中)粗糙水平地面AB与半径R=0.2m的光滑半圆轨道BCD平滑连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心。

质量m=0.1kg的小物块在2.5N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。

在运动到半圆轨道上的B点时撤去恒力F。

(小物块与水平地面间的动摩擦因数μ=0.5，g=10m/s2)求：
(1)若x AB=0.5m，小物块运动到半圆轨道上的B点时，轨道对它的支持力的大小；
(2)若小物块恰好能运动到半圆轨道上的D点，则AB间的距离x AB多大。

19(2023上·陕西西安·高三校考期中)如图所示，水平粗糙轨道OB与处于竖直平面内的半圆形光滑轨道BC平滑连接，半圆的直径与地面垂直，半圆形光滑轨道半径R=0.5m。

一质量m=1kg的小物块(可
视为质点)将弹簧压缩至A点后由静止释放，小物块恰好通过C点，并落回至A点，小物块与地面间的动摩
擦因数μ=0.1，重力加速度g=10m/s2。

(1)求A、B两点间的距离；
(2)求弹簧被压缩至A点时的弹性势能；
(3)若改变半圆形光滑轨道的半径，小物块从C点飞出后做平抛运动的水平距离也将改变，则R为多少时，水平距离有最大值？最大值为多少？
20(2023上·四川绵阳·高三统考阶段练习)如图所示，不可伸长、长为L的轻质细绳一端固定在P点，另一端系一质量为m的小球。

现将小球拉至细绳沿水平方向绷紧的状态后，由静止释放，小球在竖直平面内运动，经过某位置Q点，已知P、Q连线与水平面的夹角为θ。

不计空气阻力，重力加速度大小为g。

求：
(1)求小球在位置Q点时细绳对小球拉力T的大小；
(2)若小球在位置Q点时小球竖直分速度最大，求sinθ的值。

21(2023上·陕西商洛·高三校联考期中)一竖直平面内半径为R的光滑圆轨道如图所示，一质量为m 的小球(可视为质点)在大小恒定、方向始终指向圆心的外力的作用下，在圆轨道外侧沿着轨道做圆周运动，当小球通过最低点B时，小球的速度大小v B=5gR(g为重力加速度大小)，轨道对小球的弹力大小为2mg，求：
(1)外力的大小；
(2)小球运动到最高点时所受的弹力大小。

22(2023·四川德阳·统考一模)为助力2025年全运会，2023年11月25日-26日，粤港澳大湾区滑板公开赛在广州大学城体育中心滑板场顺利举办，为大湾区市民群众带来了一场精彩纷呈的极限运动盛会。

如图所示为一质量m=50kg的运动员，从离水平地面高h=7m的斜坡上静止滑下，滑过一段水平距离后无碰撞进入半径为R=5m、圆心角为θ=53°的圆弧轨道BC，从C点冲出轨道后，在空中做出各种优美动作后落于水平地面的D点。

已知圆弧轨道的B点切线水平，运动员在运动过程中不计一切摩擦，同时将其视为质点，重力加速度大小为10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：
(1)运动员运动到B点时，地面对运动员的支持力大小；
(2)运动员从C点离开轨道至落地的过程，在空中运动的时间。

( 1.04≈1)。