小波分析及其应用wavelet introduction
小波分析及其应用
小波分析及其应用小波分析是一种将信号分解成不同频率的方法，它具有时频局域性等优点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理、生物医学工程等领域。
本文将从小波分析的概念、算法及其应用等方面进行详细介绍。
小波分析最早由法国数学家莫尔。
尼斯特雷（Morlet）于20世纪80年代初提出。
它可以将原始信号分解成不同频率的小波基函数，通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩来适配信号的不同频率成分。
与传统的傅里叶变换相比，小波分析可以提供更精确的时频信息，适用于非平稳信号的分析。
小波分析的算法主要有两种：连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
连续小波变换是将信号与连续的小波基函数进行卷积得到小波系数，然后通过小波系数的时频表示来分析信号。
离散小波变换则是通过对信号进行多级滤波和下采样得到不同频率的小波系数，然后通过小波系数的分解和重构来还原信号。
小波分析的应用非常广泛。
在信号处理领域，小波分析可用于信号的去噪、特征提取和模式分析等。
例如，在语音信号处理中，小波分析可以提取出语音信号的共振峰位置和共振器参数，从而实现语音识别和语音合成。
在图像处理领域，小波分析可用于图像的边缘检测、纹理分析和压缩等。
例如，在图像压缩中，小波变换可以将图像的低频和高频信息分开编码，从而实现更高的图像压缩比。
在模式识别领域，小波分析可以用于图案识别和模式分类。
例如，在人脸识别中，小波分析可以对人脸图像的尺度和方向进行多尺度和多方向的分析，从而提取出不同特征，进而实现人脸的识别。
在生物医学工程领域，小波分析可用于心电信号的分析和疾病检测等。
例如，在心电信号的分析中，小波分析可以提取出心电信号的不同频率成分，从而实现对心脏疾病的检测和分析。
总之，小波分析是一种重要的信号分析方法，具有时频局域性和多分辨率分析的特点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理和生物医学工程等领域。
通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩，可以实现对信号不同频率成分的分解和分析，并提取出信号的时频特征，从而实现对信号的处理和分析。
傅里叶变换及小波分析
傅里叶变换及小波分析傅里叶变换 (Fourier transform) 和小波分析 (wavelet analysis) 是信号处理中经常使用的两种数学工具。
它们都可以用于将一个时间域的信号转换为频域的表示，从而帮助分析信号的频谱特性和频域处理。
傅里叶变换是一种将一个信号或者函数表示为基本频率成分的叠加形式的方法。
它基于一个假设，即任何一个周期信号可以看作是一系列正弦和余弦函数的加权和。
傅里叶变换将一个定义在时间域中的信号分解为一系列复数频率分量，每个频率分量都表示了信号中特定频率的振幅和相位信息。
这种频域的表示使得我们可以分析信号的频谱特性，包括频率成分的强度和相互之间的关系。
小波分析则是一种将信号分解为一系列多尺度基函数的方法。
与傅里叶变换只考虑特定频率的正弦和余弦函数不同，小波分析使用的基函数包含了时间和频率的局部化特性。
在小波分析中，一组称为小波基函数的窄带信号被用来分析信号。
这些小波基函数具有在时间和频域上局部化的特性，这意味着它们能够捕捉信号中短时的频率变化。
因此，小波分析可以提供更丰富的频谱信息，包括信号的时间定位和频率局部化特性。
傅里叶变换和小波分析在信号处理中有着广泛的应用。
傅里叶变换广泛应用于频域滤波、频谱分析和谱估计等领域。
通过将信号从时间域转换到频域，我们可以分析信号的频率成分和频谱特性，从而实现滤波和频谱修复等处理。
小波分析则广泛应用于信号压缩、边缘检测和图像处理等领域。
小波分析具有时间和频率局部化的特性，因此在一些需要考虑信号中的短时频率变化的应用中具有优势。
除此之外，傅里叶变换和小波分析也可以相互补充。
在一些情况下，我们可以使用傅里叶变换来获取信号的大致频谱特性，然后使用小波分析来进行进一步的细节和局部化分析。
例如，在音频信号的处理中，可以使用傅里叶变换来了解音频信号的整体频谱，然后使用小波分析来定位和分析特定频率范围内的细节和局部化特征。
总之，傅里叶变换和小波分析是信号处理中常用的数学工具。
论述小波分析及其在信号处理中的应用
论述小波分析及其在信号处理中的应用小波分析是一种数学工具，用于在时域和频域中对信号进行分析。
它可以将信号分解成具有不同频率和时间尺度的小波函数，从而更好地捕捉信号的局部特征和变化。
小波分析在信号处理中有广泛的应用，以下是一些主要的应用领域：1. 信号压缩：小波分析可以提供一种有效的信号压缩方法。
通过对信号进行小波变换并根据重要性剪切或量化小波系数，可以实现高效的信号压缩，同时保留主要的信号特征。
2. 图像处理：小波分析在图像处理中有重要的应用。
通过对图像进行小波变换，可以将其分解成具有不同频率和时间尺度的小波系数，从而实现图像的去噪、边缘检测、纹理分析等。
3. 语音和音频处理：小波分析可以用于语音和音频信号的分析和处理。
通过小波变换，可以提取音频信号的频谱特征，实现音频的降噪、特征提取、语音识别等。
4. 生物医学信号处理：小波分析在生物医学信号处理中有广泛的应用。
例如，通过小波分析可以对脑电图（EEG）和心电图（ECG）等生物医学信号进行时频分析，以实现对心脑信号特征的提取和异常检测。
5. 数据压缩：小波分析在数据压缩中也有应用。
通过对数据进行小波变换，并且根据小波系数的重要性进行压缩，可以实现对大量数据的高效存储和传输。
6. 模式识别：小波分析可以用于模式识别和分类问题。
通过对数据进行小波变换，可以提取重要的特征并进行模式匹配和分类，用于图像识别、人脸识别等应用。
综上所述，小波分析在信号处理中有广泛的应用，可以用于信号压缩、图像处理、语音和音频处理、生物医学信号处理、数据压缩和模式识别等领域。
它提供了一种强大的工具，用于捕捉信号的局部特征和变化，从而推动了许多相关学科的发展。
waveletintroduction
小波分析及其应用Wavelet Analysis andIt’s Applications同济大学计算机系宣国荣2003年6月10日星期二研究生讲座：小波分析及其应用1、小波的特点和发展2、小波分析在一维信号处理中的应用3 、小波分析在图象分析中的应用图象特征抽取图象压缩数据隐藏和图象水印1、小波的特点和发展“小波分析”是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。
例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。
从平稳的波形发现突变的尖峰。
小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。
小波的时间和频率特性时间A时间B运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。
•时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。
顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。
•频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。
小波的成就小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。
从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。
小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。
在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。
多分辨度分析（MRA）•1988年Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。
•当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。
例如：参考：M. Vetterli,”Wavelets andSubbandCoding “, Prentice Hall PTR,1995p.11小波的3 个特点•小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。
有利于分析确定时间发生的现象。
（傅里叶变换只具有频率分析的性质）•小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）•小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。
小波分析及应用
小波分析及其应用（学习总结）一、 初步认识小波小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，是小的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
与Fourier 变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。
小波变换被人们称为“数学显微镜”。
从数学的角度来看，小波实际上是在特定空间内按照称之为小波的基函数（通常具有鲜明的物理意义）对数学表达式的展开与逼近。
作为一种快速高效、高精度的近似方法，小波理论构成调和分析领域中Fourier 分析的重要发展。
与Fourier 变换由三角基函数构成相比，小波基函数大多具有快速衰减、充分光滑、能量集中在一个局部区域的函数()x ψ经过伸缩与平移得到的函数集合，其中b 起到平移的作用，而a 为伸缩因子（a 作为一种尺度在变化时产生多分辨特性）。
因此，从信号处理的角度来看，作为一种新的时频分析工具，小波克服了Fourier 分析方法表示信息时能够清晰的揭示出信号的频率特性而不能反映时间域上的局部信息的缺陷，而局部性质的描述无论是在理论上还是在实际应用方面都十分重要。
当利用小波实施视频分析时，由于同时具有时间和频率的局部特性以及多分辨分析特性，使得对非平稳信号的处理变得相对容易。
二、 第一代小波由L 2(R)空间的正交分解和变换相关知识，对于给定信号f(t)，关键是选择合适的标准正交基g i (t)，使得f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能得到我们需要的函数表示。
常用的变换有：(1) K-L 变换 (2) Walsh 变换 (3) Fourier 变换 (4) 小波变换如图1所示是信号f(t)的Fourier 变换示意图。
小波分析与应用
小波分析与应用小波分析是一种数学工具，用于研究信号和数据的频率特性和时域特性。
它的发展源于20世纪70年代，随着数字信号处理和数据分析的普及，小波分析也逐渐得到广泛的应用。
本文将探讨小波分析的基本原理、算法和应用领域。
一、小波分析的基本原理小波分析是一种时频分析方法，它可以将信号分解为不同频率的成分，并且可以根据需要在时域和频域之间进行转换。
小波分析与傅里叶分析相比，不仅可以提供信号的频率信息，还可以提供信号的时域信息，因此在研究非平稳信号和脉冲信号方面具有很大的优势。
小波分析的基本原理是将信号与一组小波函数进行相关计算，通过对小波函数的不同尺度和平移进行变换，可以得到信号在不同频率下的时域表示。
小波分析中使用的小波函数可以是多种形式，常用的有Morlet小波、Daubechies小波和Haar 小波等，每种小波函数有不同的频率特性和时域特性，可根据信号的特点选择合适的小波函数。
二、小波分析的算法小波分析的算法主要包括离散小波变换(DWT)和连续小波变换(CWT)两种。
离散小波变换是指将信号离散化后进行小波分解的过程。
首先，将信号进行一系列的低通滤波和高通滤波操作，得到两个低频和高频信号序列。
然后，将低频信号继续进行低通和高通滤波，得到更低频的信号序列和更高频的信号序列。
这个过程可以一直进行下去，直到得到满足要求的分解层数。
最后，将分解得到的低频和高频序列进行逆变换，得到重构后的信号。
连续小波变换是指将信号连续地与小波函数进行相关计算，得到信号的时频表示。
连续小波变换具有尺度不变性和平移不变性的特点，可以对不同尺度和平移位置下的信号成分进行分析。
然而，连续小波变换计算复杂度高，在实际应用中往往采用离散小波变换进行计算。
三、小波分析的应用领域小波分析因其在时频分析和信号处理中的优势，得到了广泛的应用。
以下是小波分析在不同领域的应用示例：1. 信号处理：小波分析可以用于去噪、压缩和特征提取等信号处理任务。
《小波分析及应用》课件
在本PPT课件中，我们将介绍小波分析及其广泛的应用。了解小波基础和小波 应用的重要概念。
小波分析及应用
1
第一部分：小波基础
了解小波变换的基本概念和时频表示方法，以及常用的基本小波函数。
2
第二部分：小波应用
探索小波在信号去噪、信号压缩和信号分析中的实际应用。
小波变换简介
信号压缩
1 压缩感知理论
基于信号的稀疏性，通过稀疏表示和重建算法实现信号的高效压缩。
2 小波稀疏表示
利用小波变换将信号转换为稀疏系数，实现信号的高效压缩和重建。
3 小波压缩算法
使用小波变换、阈值处理和反变换等技术实现信号的无损和有损压缩。
信号分析
1
小波能量谱分析
通过小波变换将信号分解为不同频带的能量谱，分析信号的频域特性。
2
小波分析在图像处理中的应用
利用小波变换处理图像，实现图像去噪、边缘检测等图像处理任务。
3
小波变换与神经网络结合应用
将小波变换与神经网络相结合，实现信号和图像的深度学习分析与处理。
Daubechies小波是一类紧支小波 函数，适用于信号分析和压缩。
Symlet小波
Symlet小波是对称小波函数系列， 适用于信号平滑和噪声去除。
小波分解算法
1
基于滤波器组的小波分解
通过一系列滤波器和下采样将信号分解为多个频带的近似和细节系数。
2
快速小波变换(FWT)
使用基于迭代的算法，快速计算信号的小波变换。
定义
小波是一种数学函数，用于描述信号在不同时间和频率上的变化。
时频表示
小波变换将信号分解为时域和频域信息，揭示了信号的局部特征。
小波分析及应用
姓名：彭超学号：200710702012小波分析及应用1介绍Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程，即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。
此外，傅立叶分析无法解决信号奇异性的位置。
20世纪80年代初由法国油气工程师Morlet提出的小波分析[1](waveletAnalysis，又称子波分析)能成功地解决这些问题。
因此小波分析是Fourier分析发展史上的一个里程碑。
小波分析一面世，立刻成为国际研究热点。
目前小波分析在信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别、地震勘探、大气科学以及许多非线性科学领域内取得了大量的研究成果。
小波分析之所以广泛得到应用在于:它具有时域和频域同时具有良好的局部性质;能将信号(时间序列)分解成交织在一起的多尺度成分，从而能够不断地聚集到所研究对象的任意微小细节;同时具有数学上严格意义的突变点诊断能力。
2 小波分析的形成及发展小波分析[1,2,3〕是一调和分析方法，是Fourier分析发展史上的一个里程碑式的进展，被人们誉为数学“显微镜”。
小波分析理论及其方法的形成和应用在科学技术界引起一场轩然大波并成蔓延之势。
小波理论形成经历了三个阶段:(1)Fourier变换(FT)阶段在信号分析中，我们对信号的基本刻化，往往采取时域和频域两种基本形式。
时域分析无法得到关于信号变化的更多信息(如采样、周期等)。
(2)短时Fourier变换(SFT)阶段1946年Gabor提出SFT。
SFT能实现信号时频局部化分析，但窗函数一选定，其窗口的大小和形状固定不变，其分辨率是有限的。
由于频率与周期成反比，高频信号需要窄的时间窗，低频信号需要宽的时间窗，即变换的窗口大小应随频率而变。
SFT解决不了这个问题。
(3)小波分析阶段在继承SFT的基础上，Morlct提出了小波变换法(WT)。
wT可研究信号在各个时刻或各空间位置在不同尺度上的演变情况，实现了时频局部化分析。
小波变换简介及其应用领域
小波变换简介及其应用领域引言：小波变换（Wavelet Transform）是一种用于信号分析和处理的数学工具，它在各个领域都有着广泛的应用。
本文将简要介绍小波变换的原理和基本概念，并探讨其在图像处理、音频处理和压缩等领域的应用。
一、小波变换的原理和基本概念小波变换是一种时频分析方法，它通过将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数来描述信号的特征。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时域和频域局部性，能够更好地捕捉信号的瞬态特征。
小波变换的基本概念包括尺度和平移，其中尺度表示小波基函数的频率特性，平移表示小波基函数在时间轴上的位置。
通过不同尺度和平移的组合，可以得到一系列小波基函数，它们可以用来分析和表示信号的不同频率成分。
二、小波变换在图像处理中的应用小波变换在图像处理领域有着广泛的应用。
通过对图像进行小波变换，可以将图像分解成不同频率的子带图像，从而实现图像的多尺度分析。
这种分解可以用于图像去噪、边缘检测、纹理分析等任务。
另外，小波变换还可以用于图像压缩。
传统的JPEG压缩算法使用离散余弦变换（DCT）来对图像进行频域压缩，但是在压缩比较高的情况下，会出现压缩失真。
而小波变换可以提供更好的时频局部性，能够更好地保留图像的细节信息，从而实现更高质量的图像压缩。
三、小波变换在音频处理中的应用小波变换在音频处理中也有着重要的应用。
通过对音频信号进行小波变换，可以实现音频的时频分析和特征提取。
这对于音频信号的识别、分类和音频效果处理等任务非常有用。
此外，小波变换还可以用于音频的压缩编码。
与图像压缩类似，小波变换可以提供更好的时频局部性，能够更好地保留音频的细节信息，从而实现更高质量的音频压缩。
四、小波变换在其他领域的应用除了图像处理和音频处理，小波变换还在许多其他领域有着广泛的应用。
例如，在生物医学领域，小波变换可以用于心电图信号的分析和诊断；在金融领域，小波变换可以用于股票价格的预测和分析；在通信领域，小波变换可以用于信号的调制和解调等。
小波分析及其应用
小波分析及其应用小波分析是一种时间-频率分析方法，是对时域信号在时间和频率上的特征进行分析的一种数学工具。
它不仅具有频域分析方法的优点，如傅立叶变换，可以提供信号的频率成分，而且还能提供信号的时间信息，即信号的局部特征。
小波分析在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
小波分析的基本原理是通过对信号进行分解和重构，将信号转化为不同尺度和频率的小波基函数的叠加，然后通过分析小波系数的大小和位置，得到信号的频率和局部时间信息。
在信号处理领域，小波分析常用于信号压缩、去噪和特征提取。
由于小波函数具有时频局部化特性，可以更准确地描述信号的局部特征，所以在信号压缩方面有很好的应用。
小波压缩将信号分解为不同频率分量，然后根据各个频率分量的重要程度进行压缩，以达到减小数据量的目的。
在信号去噪方面，小波分析可以通过滤除小波系数的低能量分量来抑制信号中的噪声。
此外，小波变换还可应用于语音识别和图像处理中的特征提取，提取信号的频率特征和时间特征，以实现对语音和图像的处理和识别。
在图像处理领域，小波分析有着广泛的应用。
小波变换可以将图像分解为不同尺度和方向的频域信号，从而提供了更加精细的图像特征信息。
基于小波变换的图像处理技术包括图像压缩、边缘检测、纹理分析等。
通过对图像进行小波分解和重构，可以实现图像的压缩和去噪。
同时，小波变换还具有多尺度分析的优势，能够更好地捕捉图像中的局部细节和全局结构。
在金融领域，小波分析被用于金融时间序列的特征提取和预测。
金融市场的价格序列通常具有非线性、非平稳和非高斯分布的特点，传统的统计方法常常无法处理。
而小波分析可以更好地揭示金融时间序列的时间和频率特征，提供更准确的数据分析和预测。
通过分析小波系数的大小和位置，可以提取金融时间序列中的主要特征和周期，为金融决策提供参考。
此外，小波分析还在医学影像处理、地震信号处理、生物信号处理等领域有广泛的应用。
在医学影像处理中，小波分析能够提取出图像中的不同频率和方向的特征，从而实现对病变的检测和分析。
小波分析及其应用研究
小波分析及其应用研究引言小波分析是一种近年来逐渐被广泛应用的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用价值。
小波分析能够将一个信号或图像分解成多个小波系数，从而方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文旨在探讨小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，以期读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析基本原理小波分析的基本原理主要包括小波基函数的选取、小波分解的过程以及小波重构的过程。
小波基函数具有尺度性和移位性，通过这些性质，可以将一个信号或图像从小波基函数展开，得到一系列的小波系数。
小波分解是将信号或图像分解成多个小波系数的过程，从而方便对信号或图像进行频域和时域的分析。
小波重构则是从小波系数出发，恢复原信号或图像的过程。
小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理领域具有广泛的应用，主要包括信号压缩、去噪以及分类等方面。
小波分析能够将信号分解成多个小波系数，对于那些幅值较小的系数，可以将其置零或近似为零，从而实现信号压缩。
同时，小波分析在信号去噪方面也有着重要的应用，通过将信号分解成多个小波系数，可以有效地去除噪声，提高信号的信噪比。
此外，小波分析还可以应用于信号分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对信号进行分类。
小波分析在图像处理中的应用小波分析在图像处理领域同样具有广泛的应用，主要包括图像压缩、去噪以及分类等方面。
在图像压缩方面，小波分析可以通过将图像分解成多个小波系数，实现图像的压缩，从而减少存储空间的需求。
同时，小波分析在图像去噪方面也有着重要的应用，能够有效地去除图像中的噪声。
此外，小波分析还可以应用于图像分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对图像进行分类。
小波分析作为一种数学工具，在信号处理和图像处理领域具有广泛的应用价值。
通过将信号或图像分解成多个小波系数，可以方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文介绍了小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，希望读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析及其应用
小波分析及其应用
小波分析，又称小波变换，是一种数字信号处理技术，它能有效地分
析和处理带有噪声的信号。
由于其分析和处理能力，小波变换正在广
泛应用于图像、音频和视频信号的处理中。
小波分析是基于多尺度分析理论的，其核心思想是从高频到低频把时
域信号分解为不同的尺度的组件，或者说从原始信号中提取出比较重
要的特征信息，从而使处理和分析过程更加准确、方便和快捷。
其作
用是将一个复杂的信号分解成它的低频和高频分量，以此来滤除杂讯，增强信号特征。
由于小波分析的复杂性和高效性，小波变换已经被广泛应用于图像处
理领域。
图像处理中用到的小波变换主要有小波去噪、压缩、识别和
检测等。
小波去噪是将目标图像的某些频率分量置零以抑制高频噪声
的方法；压缩则是将原信号或图片的文件大小降低，以节省存储空间；识别则是利用小波分析技术对图像进行形状特征提取；检测则是利用
小波分析技术对图像中目标物体的位置、纹理特征等进行识别。
此外，小波分析还被应用到语音和音频信号的处理中。
语音处理中，
小波变换可以提取信号的特征，分离目标信号与噪声，并提升语音识
别性能；音频处理中，小波分析可以对音频信号进行动态范围分析等。
总之，小波分析可以准确地分解和处理复杂的信号，提取信号特征，
从而提升信号分析和处理的准确性和效率。
因此，小波分析已经成为
图像、音频和视频信号处理领域的重要技术之一。
小波变换原理与应用
3.小波变换的基本原理与性质
离散小波变换DWT（ discrete wavelet transform，DWT ） 定义
对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均 匀离散取值 （要求采样率满足尼奎斯特采样定理）
m
DWTx(m, n) x(t), m,n (t) 2 2
x(t) (2m t n)dt
数学中的显微镜小波
小波变换原理及其应用案例介绍
Wavelet Transform Theory and Applications Introduction
饶利强 电机与电器
1
主要内容
1. 小波的发展历史 2.小波变换与傅里叶变换的比较 3.小波变换的基本原理与性质 4.几种常用的小波简介 5.小波变换的应用领域 6.小波分析应用前景 7.小波变换的去噪应用 8.小波分析面临的主要问题
x(t)
a
1
2
(t
b表示为平移因子a和伸 缩因子b的函数
20
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
FT
信号
连续正弦波或余弦波
傅立叶分解过程
CWT
信号
不同尺度和平移因子的小波
小波分解过程
21
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
伸缩因子对小波的作用
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
4
1.小波的发展历史——工程到数学
6
2.小波变换与傅里叶变换的比较
小波分析及其应用
采取的教学方法和教学手段包括：
1、课堂讲授在强化基本概念、基本方法的基础上，注重将实际问题引入数学的学习中，强调数学概念的几何感知、抽象方法的几何意义，同时辅以其他学科中的实际问题凸显数学概念、数学思想和方法的作用；
2、分组研讨班则以数学问题中总结和提升为主，强调从不同角度看待同一问题，从不同方式延伸和推广数学的思想和方法；
1)小波级数
2)离散小波变换和小波系数
3) (*)Mallat算法
4)(*)Mallat算法的数值实现(矩阵实现和卷积实现方法)
4小波算法的应用（18学时）
介绍小波分析方法在信号和图像处理以及其它领域中的应用，让学生具备用小波分析的方法解决某些实际问题的能力。
1)(*)小波阈值去噪
2)(*)基于小波的图像去噪方法
前修课程、能力和知识结构要求：
明确学生学习本门课程的先修课程，主要能力和知识结构。
前修课程包括数值分析、实变函数、复变函数、泛函分析；在学习本课程前，学生应该具备良好的数学分析功底，尤其是函数项级数的各种性质有很好的的掌握，同时对于实变函数中的测度理论有一定的了解，并对于泛函分析中的基本概念（稠密、完备性、紧性）等概念有很好的掌握，并对其中重要且相对容易的基本空间（p平方可以函数空间等）的性质有一定的掌握。
4)(*)Fourier级数与Fourier变换
2．多分辨分析（10学时）
引入多分辨分析的概念，从多分辨分析的角度理解小波分析的思想。
1)(*)多分辨分析
2) 从多分辨分析构造小波
3．小波级数、Mallat算法、小波变换（14学时）
引入小波级数的定义，给出离散小波变换和连续小波变换的概念，以及Mallat算法，并介绍Mallat算法的两种数值实现方法：矩阵实现和卷积实现方法，为后面的小波在工程中的应用奠定基础。
多维信号的小波分析及其应用研究
多维信号的小波分析及其应用研究随着科技的不断发展，信号处理的技术也在不断的更新和演进。
多维信号的小波分析及其应用研究成为了一个热门的话题。
本文将从多个方面深入探讨小波分析的概念、原理、方法以及应用。
一、小波分析的概念小波分析最早由法国数学家Morlet于1984年提出。
它是一种基于函数空间的信号分析方法，可以将信号分解为不同频率和不同尺度的小波，并对这些小波进行处理和重构。
其中“小波”是指一种振荡基函数，其特点是均衡时间和频率的特性。
二、小波分析的原理小波分析的原理是将信号经过预先选定的小波基进行分解，即将输入信号在不同的时刻和尺度上进行分析，提取小波分解系数来描述信号的特征，然后对分解系数进行处理和重构。
三、小波分析的方法小波分析的方法主要有两种：离散小波变换和连续小波变换。
其中，离散小波变换可以更好地处理数字信号，而连续小波变换则适用于处理模拟信号。
离散小波变换（DWT）是一种将信号分解为不同频率、不同时间尺度的小波的数学方法，是一种全局变换。
DWT的主要思想是将信号卷积到小波函数上，然后进行下采样，最终得到小波分解结果。
而连续小波变换（CWT）则是将信号卷积到不同的小波函数上，可以得到不同时间和频率的信息，但因为其需要计算无穷个小波系数，所以计算量较大。
四、小波分析的应用小波分析广泛应用于音频、图像及视频等领域。
其中最重要的应用是在地震勘探、医学图像处理、语音识别、信号压缩等领域。
下面分别介绍一下它在这些领域的应用。
1. 地震勘探由于地震波在地下介质中的传播速度与介质的密度、压力、温度等因素有关，所以可以通过地震信号的波形来推断地下的物质结构。
而小波分析可以将地震信号分解为多个频率和时间范围内的小波分量，进一步揭示地下结构的特征和信息。
2. 医学图像处理医学图像处理涉及到的信号信噪比低、噪声复杂、数据量大等问题。
而小波分析可以更好地处理这些信号。
在图像的去噪、图像增强、医学图像分割等方面均有广泛应用。
小波分析入门_本人总结_
给我们一个信号时，我们从时域中观察这个信号时，我们得到的信息是信号的持续的时间，随着时间的变化，信号的幅度起起伏伏。
如果我们更进一步，就是起伏速度较快的部分对应着信号中高频部分。
变换缓慢的部分对应着代表信号中的频率低频部分。
我们也可以估算信号中直流分量的大小。
当然这都是我们直观的理解。
这种单纯的从时域中的信号的波形得到的信息是不全面的。
有的时候我们想要知道我们的信号中含有那些频率成分，相应频率的强度，相位。
这就是从从频域的角度来看待我们的信号。
这就需要一个数学变换的工具，将我们的信号变换到频域。
这个强大的数学工具就是傅里叶变换，变换后我们希望我们还可以回到时域中，也就是我们的变换是可可逆的，事实上，傅里叶变换就有这个信息不损失的性质。
如今傅里叶变换已经成为一个体系。
一切来自于数学中的分解思想，在这里我们选择一组正交基。
对我们信号函数的分解就像是对空间中某一一向量分解到三个坐标系一样，只不过函数的坐标是傅里叶系数而已。
这样，我们经过傅里叶变换就可以知道我们的信号中含有的频率成分。
但是这里有一个隐含的假设，或者说是傅里叶变换的致命弱点，那就是他潜在的假设了我们的信号是平稳信号。
何为平稳信号？所谓的平稳信号就是信号的各种频率成分在信号的全部持续时间中都存在。
举个例子，假如我们对一个持续时间在[0,100s]的平稳信号做傅里叶变换，得出信号中有59HZ，那么就说明，对该平稳信号，59HZ从0开始，在这100s中的任何一个时刻都存在。
可是，当我们的信号不是平稳信号时，例如59HZ产生50s 处，强度和上一个信号的完全相同，其他频率也完全相同，如果我们对这一个信号做傅里叶变换，由于傅里叶变换的积分域是从负无穷到正无穷，所以不幸的是，我们得到了和上一信号完全一样的结果，我们无法再从频域回到时域了。
也就是FT并没有告诉我们非平稳信号的各种频率分别出现在那个时间段上。
事实上，在现实生活中，非平稳信号和平稳信号交织在一起的。
小波分析及其应用
N −1
i
2πk n N
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。
1.2 短时傅里叶变换 由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分 析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力， 因此Dennis Gabor于1946年引入了短时傅里叶 变换(Short-time Fourier Transform)。短时傅里 叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的 时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔， 以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为
之后，在地质学家、物理学家和数学家的共同 努力下，由实践经验上升为科学方法。 小波变换是一种信号的时间—尺度(时间—频率) 分析方法，它具有多分辨率分析(MultiresolutionAnalysis)的特点，而且在时频两域 都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频 率窗都可以改变的时频局部化分析方法。所以 被誉为分析信号的显微镜。
(2)傅里叶变换用到的基本函数只有sin(ωt)、 cos(ωt)、exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用 到的函数(即小波函数)则具有不唯一性，同一 个工程问题用不同的小波函数进行分析有时 结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析 应用到实际中的一个难点问题(也是小波分析 研究的一个热点问题)，目前，往往是通过经 验或不断的试验(对结果进行对照分析)来选择 小波函数。
1 ϖ f (at ) ↔ F ( ) a a
4 能量积分 设F(ω)为函数f(t)的傅里叶变换，则有
2 1 +∞ ∫−∞ [ f (t )] d t = 2 π ∫−∞ F (ω ) d ω +∞ 2
该式又称为巴塞瓦(Parseval)等式。
1.3 小波分析
R语言小波分析wavelet
6.小波分析 wavelet analysis自从学习过佛瑞艾尔变形和频率估计，作者对小波分析产生的兴趣，开始阅读一些相关的资料。
同时发现正在给自己上数学课的David Walnut 教授是小波分析的泰山北斗。
他写的这方面的教课书遍布全球。
作者的心中又产生的无比的崇敬与羡慕，所以将当前世界最先进的小波分析技巧写出来与大家分享。
读过《R语言时间系列中文教程》都应该知道如何使用弗瑞艾尔变形估计频率。
但必须假设，被估计的频率是始终存在于波动之中的。
更经常的状况是在一整个波中某一频率只在这个波中的一小部分出现。
使用弗瑞艾尔变形不可能监测到在某一时间点上的频率变化，因为它假设所估计的频率都是自始至终存在的。
例如，下面的波中有一个很慢的频率是始终存在的，在中间部分突然出现了频率非常高的新波动，而且很快就消失了。
这样的波动需要使用小波分析。
t=1:500c1 = 2*cos(2*pi*t/150 + .6*pi)plot.ts(c1)t2= ifelse(t>200 & t<300,t,0)c2=1*cos(2*pi*t2/10 + .6*pi)par(new=T)plot.ts(c2)par(new=F)例如心电图是有来测量人心脏跳动的手段，心脏的各个组成部分不是同时不停的工作的，在一个心房收缩的过程中某些的心房是休息的。
所以在心电图上来看，微小的波动是突然出现仅仅持续很短的时间就消失了，像这样的微小波动就要使用小波分析来捕捉。
心电图是医生进行临床诊断的方法之一，通过阅读心电图医生可以推测病人的心脏是正常的还是哪里出现的毛病。
接下来我们要介绍使用小波分析计算机智能进行自动诊断，也就是说我们积累了很多人的心电图数据通过小波分析将心电图的特色提取出来。
这些特色将告诉我们病人的心脏是正常的还是有状况。
通过这些心电图的数据我们可以建立一个数学模型，当有一个新的病人进来我们就可以对他的心电图进行诊断。
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wd1 [1 1 4 3 1 1 2 6]
2级近似系数 2级细节系数
2 1级细节系数
* Haar是正交变换。除以常数，目的使变换后平方和不变。例如：
6 2 5 2 9 2 8 2 2 2 2 8 6 2 2 1 2 2 1 2 2 2
.
26
一维信号的二级小波变换分解
2级近似分解
成小波分解： 小波近似系数wa ×基函数A=近似分解 a ---平均 小波细节系数wd ×基函数D=细节分解 d---变化
.
22
小波分解和小波基
小波基D
原始信号
小波系数wd
小波基A 小波系数wa 正变换：原始信号在小波基上，获得 “小波系数”分量 反变换：所有“小波分解” 合成原始信号 例如： 小波分解 a=小波系数 wa × 小波基A
图象特征抽取 图象压缩 数据隐藏和图象水印
.
2
1、小波的特点和发展
“小波分析” 是分析原始信号各种变 化的特性，进一步用于数据压缩、噪声 去除、特征选择等。
例如歌唱信号：是高音还是低音，发声 时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波 形发现突变的尖峰。小波分析是利用多 种 “小波基函数” 对 “原始信号” 进行分解。
w
d
1
[1
1
4
3
1
1
2
6]
2
2级近似分解
（原始信号每4个平均值）
a2 [28 28 28 28 23 23 23 23 28 28 28 28 16 16 16 16 ] 4
2级细节分解
（原始信号每2个平均的差值）
d2 [ 6 6 6 6 3 3 3 3 6 6 6 6 8 8 8 8 ] 4
• 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。 信号长度为M时， Fourier变换（左）和小波变 换（右）计算复杂性分别如下公式：
O f M lo 2M g, O wM
.
9
小波基表示发生的时间和频率
傅里叶变换 (Fourier)基
小波基
时间采样基
“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基 （中）
wa2’=[28 28 28 28 23 23 23 23 28 28 28 28 16 16 16 16]/2 扩展基函数A2=[+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 ]/2 ■小波系数（细节2） wd2=[-6 -3 -6 -8]/2 按照原始信号分辨率扩展，d2= wd2’ ×D2 s每二个平均的差值d2=[-6 -6 +6 +6 -3 -3 +3 +3 -6 -6 +6 +6 -8 -8 +8 +8]/4
其中：
.
29
原始信号 16点
16点原始信号 [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]
.
30
原始信号 小波系数
两级小波系数16点
s [6598378565981339 ]
w d2 [ 6 3 6 8]2 w d 1 [ 1 1 4 3 1 1 2 6 ] 2
原始信号 (红) wd2
第 1 行基函数是取平均（近似）， 第 2-8 行基函数是取变化（细节）。
细节包括变化速率和发生的时间。
.
12
小波分析发展历史
1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热 传导解析理论”论文
1910年 Haar 提出最简单的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用
wd1’=[+1 +1 +1 +1 -4 -4 +3 +3 +1 +1 +1 +1 -2 -2 -6 -6]/sqrt(2) 扩展基函数D1=[+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1]/sqrt(2) ■恢复：s1=a2+d2+d1; s1= s= [6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9]
wd2’=[-6 -6 -6 -6 -3 -3 -3 -3 -6 -6 -6 -6 -8 -8 -8 -8]/2 扩展基函数D2=[+1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 ]/2 ■小波系数（细节1） wd1=[+1 +1 -4 +3 +1 +1 -2 -6]/sqrt(2) 按照原始信号分辨率扩展，d1= wd1’ ×D1 s每单双数的差值d1=[+1 -1 +1 -1 -4 +4 +3 -3 +1 -1 +1 -1 -2 +2 -6 +6]/2
小波分析及其应用
Wavelet Analysis and It’s Applications
同济大学 计算机系 宣国荣
2003年 6月10日 研究生讲座
（2009年11月10日 补充 附录4）
.
1
研究生讲座：小波分析及其应用
1、小波的特点和发展 2、小波分析在一维信号处理中的应用 3 、小波分析在图象分析中的应用
包括近似(approximation)系数wa 与细节(detail)系数wd
近似系数wa---平均成分（低频）
细节系数wd---变化成分（高频）
.
21
小波原始信号分解过程：
原始信号s可分解成小波近似 a 与小波细节d 之和。
s = a+d 小波系数 w = [ wa , wd ] 的分量，乘以 基函数，形
1级细节分解
（原始信号单数和双数的差值）
d1 [ 1 1 1 1 4 4 3 3 1 1 1 1 2 2 6 6 ] 2
恢复信号 sˆ a2 d 2 d1 [6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9]
.
28
16点HAAR小波分解与恢复例子
■原始信号s=[6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9] ■小波系数（近似）wa2=[28 23 28 16]/2 按照原始信号分辨率扩展，a2= wa2’×A2 s每四个平均值a2=[ 28 28 28 28 23 23 23 23 28 28 28 28 16 16 16 16]/4
参考“数字图象处理”英文版,电子工业出版社,2002年 （R.C. Gonzalaz,”Digital Image Processing”，p.375)
.
24
一维信号小波变换例子
Haar小波，例子： 16点信号: [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9]
通过MATLAB实现(wavemenu) 波形图 小波正变换：小波系数：
Haar小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
.
15
高频 “滤波系数
小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 )
db小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
.
16
高频 “滤波系数
和时间采样基.（下）的比较
10
Haar小波基母函数
（a）Haar “近似”基函数
函数
低频滤波系数
H0= [ 1 1] ×q
其中： q=[ q2 q0] .7071
.
（b）Haar “细节”基
高频滤波系数 H1= [ 1 -1] ×q =[ q -q]
11
Haar小波的基函数
尺度函数 近似基函数
小波函数 细节基函数[28 28 28 28 23 23 23 23 28 28 28 2816161616] 4
2级细节分解
（原始信号每2个平均的差值）
d2 [ 6 6 6 6 3 3 3 3 6 6 6 6 8 8 8 8 ] 4
1级细节分解
（原始信号单数和双数的差值）
d1 [ 1 1 1 1 4 4 3 3 1 1 1 1 2 2 6 6 ] 2
两级分解
.
32
小波去噪声
一般噪声特点： （1）高频成分（细节） ，（2）幅度小：用阈值；
去噪声过程： 去除原始信号高频成分（细节）中幅度小于阈值部分。 对2级小波，设定2个阈值，称“阈值2” 和 “阈值1” 。
于地质勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小
波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论（MRA）
，统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码 ，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领 域。
.
13
小波基可以通过给定滤波系数生成
• 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过 给定滤波系数生成。
• 有的小波基是正交的，有的是非正交的。 有的小波基是对称的，有的是非对称的。
• 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波 系数直接导出，而不需要确切知道小波基 函数，这是 I. Daubechies 等的重要发现， 使计算简化，是快速小波分解和重建的基 础。
.
14
小波基函数和滤波系数(Haar--正交，对称)
小波近似系数（加）；小波细节系数（减） 小波反变换：可以由分解信号恢复原始信号。