具有Holling-Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵时标动力学系统的周期解

具有Holling-Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵时标动力学系统
的周期解
倪铁;范猛
【摘要】研究了定义在一般时标上的具有Holling-Ⅱ型功能性反应和两种群均密度制约的捕食者-食饵系统.利用重合度理论的延拓定理讨论了此系统周期解的存在性问题,得到了保证周期解存在的充分条件.
【期刊名称】《天津大学学报》
【年(卷),期】2009(042)001
【总页数】5页(P86-90)
【关键词】时标;捕食者-食饵系统;Holling-Ⅱ型功能性反应;周期解;重合度
【作者】倪铁;范猛
【作者单位】天津大学理学院,天津,300072;东北师范大学数学与统计学院,长春,130024
【正文语种】中文
【中图分类】Q141
近年来，关于捕食者与食饵生态系统动力学特征的研究吸引了很多专家和学者的注意，并形成了许多具有很强实际背景的新课题．捕食者-食饵相互作用关系是生物种群之间相互作用的基本关系之一，是生态学、生物数学的研究热点.功能性反应在捕食者-食饵系统的研究中扮演着重要的角色．文献[1-4]对连续的捕食者-食饵
系统模型的周期解存在性问题进行了研究，并给出了周期解存在的充分条件．文献[5-6]对离散的捕食者-食饵系统模型的周期解存在性问题进行了研究，并给出了周期解存在的充分条件．通过对其进行研究发现，二者对周期解存在性的研究方法和结果非常相似．
1990年德国数学家Stefan Hilger在他的博士论文中建立了时标（time scales）理论，即一个连续和离散计算的统一方法．其工作成果使这一理论受到广泛关注. Bohner和Peterson[7]在2001年出版的著作中系统地分析了时标动力学方程的
重要性质．张炳根[8]在 2004年综述了时标微分方程理论的基本概念及其进展．
时标理论的出现，使得前面提到的问题有了很好的解决方法．文献[9]研究了时标
上具有 Holling-Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵系统模型周期解的存在性问题，但模型中没有考虑捕食者的密度制约效应.因此对于两种群都具有密度制约的条件下，具有 Holling-Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵系统模型尚未进行研究．笔者在时标上系统地研究具有Holling-Ⅱ型功能性反应和两种群均密度制约的捕食者-食饵系统模型周期解的存在性问题，其研究方法是重合度理论的延拓定理．
1 预备知识
首先介绍一些时标中的基本概念和重要引理，这些概念的定义以及引理的证明可以参见文献[7].
定义1任意一个实数集R是一个非空闭子集，称为一个时标，记为T.例如：R，Z，∪ k ∈Z [k,2 k+1].令ω＞ 0，对任意的t∈T，使得t+ ω∈T，则称T是ω-周期的.
定义2定义前跃算子σ: T →T和后跃算子ρ: T →T，满足grainniness 函数μ:T
→ R +=[0,∞)，满足μ( t)= σ( t) − t ,∀t ∈T.
若σ( t) = t，点t称为右稠的，否则称为右散的.若ρ( t) = t，点t称为左稠的，否则称为左散的.
定义3设函数f :T →R.令t∈T，定义f Δ(t)满足对于∀ε ＞ 0，∃ t 的邻域 U ( 即U = (t −δ,t + δ)), s.t.f Δ (t)称为 f在t的delta导数.若对于∀t ∈T，f Δ(t)存在，称 f在T上delta可导.显然，当T=R时，f Δ(t) = f′( t)；当 T =Z时，f Δ (t) = f( t + 1)− f( t)= Δ f( t).
定义4函数F :T →R，称为f :T →R的原函数，若F Δ (t) = f( t) ,∀t ∈T，那么
定义
定义5函数f :T →R称为右稠连续，若在T上的右稠点处连续，左稠点处存在左
极限.所有右稠连续函数f :T →R的集合记为 C rd(T).若f ∈ Crd(T)，则f可积.
引理1每个右稠连续函数都有原函数.
引理2如果a, b ∈T ,α, β∈R，函数f, g∈ Crd(T) ，那么
（2）对任意的t∈T，当a≤t≤b时，如果f( t)≥0，那么
（3）对任意t∈T，当a≤t≤b时，如果g( t)，那么
为了方便起见，采用记号
式中g ∈ Crd(T)是周期为ω的实函数，即对∀t∈T，有g( t + ω) = g( t).
为了得到本文的主要结果，引入重合度理论中的延拓定理.
设X、Z是赋范向量空间，L :DomL⊂ X →Z为线性映射，N: X → Z连续映射.如果dimKer L= codimImL＜+∞且ImL是Z的闭子集，则映射L称为指标为零的Fredholm 映射.如果L是指标为零的Fredholm 映射且存在连续映射P: X → X和Q: Z →Z 使Im P = KerL,Im L = KerQ=Im(I − Q ),则L可逆，设其逆映射为 Kp.
设Ω是X中的有界开集，如果QN(Ω)有界且Kp(I − Q) N :Ω→ X是紧的，则称
N在Ω上是L-紧的.因为Im Q与Ker L同构，故J :ImQ→Ker L存在.
引理 3设L是指标为零的 Fredholm 映射，N /在是L-紧的，假设
（1）对任意的λ∈ (0,1)，方程Lx = λNx的解满足x ∉∂Ω ．
（2）对任意的x ∈∂Ω∩ KerL，Q Nx≠ 0并且，则Lx = Nx在Dom L∩内至少存
在一个解.
引理 4[9]设t1, t12∈ Iω,t∈T.如果g :T →R是ω-周期的，那么
2 正周期解的存在性
考虑时标T上的具有 Holling-Ⅱ型功能性反应且两种群均密度制约的捕食者-食饵系统，其具体模型为
式中：ri, a i j∈ Crd(T )，是正的周期为ω的函数，i, j= 1,2；m是一个正数. 令( t) =eu1(t)，( t) =eu2(t).当T = R时，式（1）变为连续的具有 Holling-Ⅱ型功能性反应且两种群均密度制约的捕食者-食饵系统模型，即
式中 ( t)和 (t)是食饵和捕食者的密度.当T=Z时，式（1）变为离散的具有Holling-Ⅱ型功能性反应且两种群均密度制约的捕食者-食饵系统模型，即
为了研究式（1）的周期解的存在性，将此模型嵌入到重合度理论的框架中，定义且容易看出£ω是一个Banach空间.令
不难得出£0ω和£cω都是£ω的闭线性子空间，
定理 1假设ri, a i j∈ Crd(T)是正的周期为ω的函数，i, j= 1,2.如果r( a 21
−mr2 )−a11r2e2 r1ω＞ 0，那么，系统式（1）至少有一个ω-周期正解.
证明令X = Z = £ω，定义
则Ker L =, ImL =,dimKer L=2= codimImL.因为在£ω中是闭的，所以L是一个指标为零的Fredholm映射.不难发现，P和 Q是连续映射.使得Im P =Ker L ,Im L = Ker Q = Im(I − Q)，并且L的逆Kp:Im L → Ker P ∩ DomL是存在的，即式中
容易看出QN和K p(I − Q) N都是连续的.因为X是 Banach空间，所以由Arzelá-Ascoli定理，容易得出K p(I − Q) N (Ω ~)在Ω上是紧的，而且QN(Ω~)是有界的．因此，N在Ω~上是L-紧的.
为了应用引理 3，需要找到一个合适的有界集合Ω.
考虑算子方程Lx = λN x,λ ∈ (0,1)，即
设是式（4）的一个解，对某一个λ∈ (0,1).在[k, k + ω]上对式（4）进行积分，得
由式（4）、式（5）推导出
因为所以存在[k, k + ω]使得
由式（5）和式（9），得
进一步又得出
由式（7）、式（10）和引理4，得
由式（6）得
由式（9）得
由式（8）、式（12）和引理4，得
另一方面，由式（6）得
由式（9）得
由式（7）、式（13）和引理4，得
由式（11）和式（15），有
类似地，由式（6）和式（9），得
进一步，有
注意到
由式（17）可得
由式（11）推导出
由式（8）、式（18）和引理4，得
由式（13）得
显然，式（16）和式（19）中的 R1和 R2都是与λ无
关的.记，其中 R0是一个充分大的
数，使得代数方程组（20）的每个解 (x* ,y * )T满足
现在令显然,Ω 满足引理 3的条件（1）.当时，( u1, u 2)T是R 2中的一个常值向量且如果系统式（20）至少有一个解，有
如果系统式（20）没有解，推导出
由此，证明了引理 3的条件（2）的前半部分被满足.
最后证明引理3的条件（2）的后半部分成立.
定义6 φv :Dom L× [0,1]→ X，即
式中v∈ [0,1]是一个参数.当Ker L =∂Ω ∩ R2时，( u1, u 2)T是 R2中的一个常
值向量，且容易看出，φ v(u1,u2) ≠0,即 0∉φv(∂ Ω ∩Ker L) ,v ∈[0,1].而且，代
数方程组
有唯一解即又因为Im Q = KerL，所以J = I.应用拓扑度的同伦不变性，有
式中deg(⋅,⋅,⋅)表示Brouwer度.
这样，就证明了集合Ω满足引理3的所有条件.因此，系统式（1）在Ω至少存在一个周期正解.
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