浙江省湖州市高三5月调测数学试题(文)含答案

第2题图
22
11第二学期高三调测试卷
数学(文)
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第 Ⅰ 卷 （选择题，共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}240A x x x =-≤，{
}
1B x x =>，（此处多一空）则=A
B
A ．{4x x >或}0x <
B ．{}14x x <<
C ．{}14x x <≤
D ．{}
14x x ≤≤
2．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ）， 则该几何体的体积是 A ．
2033cm B ．223
3cm C ．43cm D ．63cm 3．已知{}n a 是公比大于1的等比数列．若12a ,
23
2
a ,3a 成等差数列，则44S a =
A ．
3116 B ．1516 C ．15
8
D ．2 4．在三角形ABC 中，“3A π>”是“1
cos 2
A <”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．已知函数()3
f x x =．
命题①：∀R x ∈，都有()()0f x f x +-=；
命题②：∃12,R x x ∈，()()()()
12120x x f x f x --<． A ．命题①成立，命题②不成立 B ．命题①不成立，命题②成立 C ．命题①和命题②都成立 D ．命题①和命题②都不成立
6．设直线,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//,//m n m α，则//n α B ．若,//m αβα⊥，则m β⊥ C ．若//,//m m αβ ，则//αβ D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥ 7．已知函数()2cos 3f x x πϕ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
图象的一个对称中心为()2,0，且2πϕ<．要得到
函数()f x 的图象，可将函数()2cos 3
f x x π
=的图象
A ．向左平移
12个单位长度 B ．向右平移1
2个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6
π
个单位长度
8．已知12,F F 为双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的左
右支分别交于,A B 两点．若1ABF ∆为正三角形，则该双曲线的离心率是 A 3 B 56 D 7
第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）
注意事项： 用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9．椭圆2
215
y x +=的长轴长是 ▲ ，焦点坐标是 ▲ ． 10．已知tan 2α=，则tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
▲ ，sin sin cos ααα=- ▲ ．
11．已知函数()()
22,0,
log ,0x
x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩.则()()2f f -= ▲ ；若()2f x ≥，则实数x
的取值范围是 ▲ ．
第14题图
300
D
C A
B
12．已知单位向量12,e e 的夹角为︒60，则12=e e ⋅ ▲ ，12
e e λ-()R λ∈的最小值
是 ▲ ．
13．已知圆2
2
25x y +=和两定点()55,0,0,
2A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．若该圆上的点M 满足MA MB ⊥，则直线MA 的斜率是 ▲ ．
14．如图，在ABC ∆中，0
30B ∠=，0
90BAC ∠=，AD BC ⊥于D ．
现将ACD ∆沿直线AD 旋转一周，则在旋转过程中， 直线AC 与直线BD 所成角的取值范围是 ▲ ．
15．已知关于x 的方程2
20x bx c ++=（,R b c ∈）在[]1,1-上有实数根，
043b c ≤+≤，则b 的取值范围是 ▲ ．
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16．（本题满分15分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的所对边分别为,,a b c ．
已知2
2
+5cos =0a b ab C +，2
7
sin sin sin 2
C A B =． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若1a =，求ABC ∆面积的值．
17．(本题满分15分)在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC ⊥平面ABC ，
1BC CA AC ==．
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11AB C ；
（Ⅱ）求直线1A B 与平面11AB C 所成角的余弦值．
第17题图
B 1
A 1
C 1
C
A
B
第19题图
A
B
F
C
x
y
18．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足2
12
7552
22
22
n n n a a
a -⋅=()*n ∈N ．
（Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）令15=n n n n T a a a +++++()*n ∈N ，求n T 的最小值．
19．(本题满分15分)已知点()00,C x y 是抛物线2
4 y x =上的动点，以C 为圆心的圆过该
抛物线的焦点F ，且圆C 与直线1
2
x =-相交于,A B 两点． （Ⅰ）当3FC =时，求AB ；
（Ⅱ）求FA FB ⋅的取值范围．
20．（本题满分14分）已知0a >，R b ∈，函数()2
42f x ax bx a b =--+，
[]0,1x ∈．
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；
（Ⅱ）若()11f x -≤≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，求a b +的取值范围．
第二学期高三调测试卷
参考答案及评分标准（数学文）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
D
C
C
A
D
B
D
9. 25，()0,2± 10. 3-，2 11
. 2；(][),41-∞-+∞，
12. 1
2
313．2 14. 6090θ︒
︒
≤≤ 15. []0,2
三、解答题(本大题共5小题，共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16．（本题满分15分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的所对边分别为,,a b c ． 已知2
2
+5cos =0a b ab C +，2
7
sin sin sin 2
C A B =
． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若1a =，求ABC ∆面积的值．
解：（Ⅰ）由题意及余弦定理得，0252
222
2
=-+++ab
c b a ab
b a ， 即(
)2
2
257c
b
a =+．…………………………………………………………2分
由题意及正弦定理得，ab c 2
7
2=
．…………………………………………4分
故2
1
2722cos 2222-=-=-+=ab c
ab c b a C ．…………………………………6分
因为()π,0∈C ，所以3
2π
=∠C ．……………………………………………7分
（Ⅱ）因为1=a ，由（Ⅰ）知，⎪⎩
⎪⎨⎧+==2227752
7b c b
c ，解得1=b 或2=b ．……10分 ①当1=b 时，43sin 21==
∆C ab S ABC ；……………………………12分 ②当2=b 时，2
3sin 21==
∆C ab S ABC ．……………………………14分 综上，ABC ∆的面积为
2
3,43．……………………………………………15分 17．(本题满分15分)在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC ⊥平面ABC ，
1BC CA AC ==．
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11AB C ；
（Ⅱ）求直线1A B 与平面11AB C 所成角的余弦值． （Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -，
所以11//C B BC .
又因为90ACB ︒∠=，所以11C B AC ⊥．………3分 因为1AC ⊥平面ABC ，所以AC AC ⊥1．.……6分 因为1111C C B AC = ，所以AC ⊥平面11AB C ．…7分 （Ⅱ）解：因为三棱柱111ABC A B C -中11//C A AC ，
O
B 1
A 1
C 1
C
A
第17题图
又由（Ⅰ）知，AC ⊥平面11AB C ，所以11C A ⊥平面11AB C ．………………10分 设B A 1交1AB 于点O ，所以1AOC ∠为直线1A B 与平面11AB C 所成角．.……12分 设1BC CA AC ==a =，
直角三角形O AC 1中，a OC 221=
，a O A 2
61=．.……14分 因此，33cos 11=
∠OC A ，故直线1A B 与平面11AB C 所成角的余弦值为3
3
．.…15分 18．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足2
12
7552
2222
n n n a a
a -⋅=()*n ∈N ．
（Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）令15=n n n n T a a a ++++
+()*n ∈N ，求n T 的最小值．
解：（Ⅰ）当1n =时，135
22a =，所以135a =，-----------------------------------2分
2n ≥时，2
12
7552
22
22
n n n a a
a -⋅=，
()()
2
112
751512
2222
n n n a a a ----⋅=，------------------------------------4分
两式相除得，()()2
27515175522
22
n
n n n n a -----
=，-------------------------------------6分
化简得，4052
2n
a n -=，即405n a n =-；
又135a =满足上式，所以()405*n a n n =-∈N ---------------------9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()
()515
6151122
n n n n n a a a a a n +++++++==-，---------13分
所以()15112n T n =-．
所以当5n =，或6n =时，()min 15n T =．------------------------------------------15分 19．(本题满分15分)已知点()00,C x y 是抛物线2
4 y x =上的动点，以C 为圆心的圆过该
抛物线的焦点F ，且圆C 与直线1
2
x =-相交于,A B 两点． （Ⅰ）当3FC =时，求AB ；
（Ⅱ）求FA FB ⋅的取值范围． 解：（Ⅰ）因为0012
p
FC x x =+
=+， 所以02x =；-----------------------------------------------------------2分 所以点C 到12x =-
的距离5
2
d =，------------------------------4分 所以圆C 的半径是3FC =，
2
2
523112AB ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
------------------------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()1,0F ，
圆C 的方程是()()()2
2
2
2
00001x x y y x y -+-=-+，
令12x =-
，2
0032304
y y y x -+-=，-----------------------------------------------7分 20004123430y x x ∆=-+=+>恒成立，
设1211,,,22A y B y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则1202y y y +=，1203
34
y y x ⋅=-
，------------------9分 因为点()00,C x y 在抛物线2
4y x =上，故2004y x =，
所以22129944
FA FB y y ⋅=
+
+()
()2
221212981
416
y y y y =+
++--------11分 2
200039381342344416x y x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦．
2000918931x x x =++=+，--------------------------------------------------------------13分
因为00x ≥，所以[)3,FA FB ⋅∈+∞．---------------------------------------------------15分 20．（本题满分14分）已知0a >，R b ∈，函数()2
42f x ax bx a b =--+，
[]0,1x ∈．
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；
（Ⅱ）若()11f x -≤≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，求a b +的取值范围． 解：（Ⅰ）①方法一：当1
42
b a ≤即2b a ≤时，()max (1)3f x f a b ==-；-------3分 当
1
42
b a >即2b a >时，()max (0)f x f a b ==-+ 因此()max 3,22,2a b b a
f x a b a a b b a
-≤⎧==-+⎨-+>⎩．--------------------------------------6分
方法二：
()()(){}max max 0,1f x f f =．------------------------------------------------------3分 {}3,2max ,32,2a b b a
a b a b a b a a b b a -≤⎧-+-==-+⎨-+>⎩
．----------------------------6分
（Ⅱ）先证明()+20f x a b a -+≥．
令()2
42+2g x ax bx b a b =-+-，
当2b a ≤时，()2
422g x ax bx a
=-+
()224422221ax ax a a x x ≥-+=-+，--------------------------------------8分
当2b a >时，()()2
4212g x ax b x a
=+--
()()
2244122221ax a x a a x x ≥+--=-+
显然2
211221=2022x x x ⎛
⎫-+-+> ⎪⎝
⎭．------------------------------------------------------10分
（按对称轴分三类讨论酌情给分）
结合（Ⅰ）知()2f x a b a ≤-+，所以要使()11f x -≤≤对任意的[]0,1x ∈恒成
立，则210a b a a ⎧-+≤⎪⎨>⎪⎩．即02031a a b a b >⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩或0
2031
a a
b a b >⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩
，------------------------12分
由线性规划知识得(]13a b +∈-，．----------------------------------------------14分。