高考文科试题分类三角与向量

04 三角与向量
一、选择题
1．（安徽2）．若(2,4)AB =；(1,3)AC =, 则BC =（ B ）
A ．
（1；1）
B ．（－1；－1）
C ．（3；7）
D ．（-3,-7）
2．（安徽5）．在三角形ABC 中；5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ A ）
A ．23
π
B ．
56
π C ．
34
π D ．
3
π
3．（安徽8）．函数sin(2)3
y x π
=+
图像的对称轴方程可能是（ D ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π=-
C ．6
x π=
D ．12
x π
=
4．（北京4）已知ABC △中；a =b =60B =；那么角A 等于（ C ）
A ．135
B ．90
C ．45
D ．30
5．（福建7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2
π
个单位后；得到函数y=g(x )的图象；则g(x )的解析式为（ A ） xxxx
6．(福建8)在△ABC 中；角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；若a 2+c 2-b ,则角B 的值为（ A ） A.
6π B.3π C.6π或56π D.3
π或23π
7．（广东3）已知平面向量a =(1,2), b =(-2,m ), 且a ∥b , 则2a +3b = （ B ）
A .(-2,-4)
B .(-3,-6)
C .(-4,-8)
D .(-5,-10)
8．（广东5）已知函数f (x )=(1+cos2x )sin 3x ,x ∈R , 则f (x )是 （ D ）
A .最小正周期为π的奇函数
B .最小正周期为π的偶函数
C .最小正周期为
2π
的奇函数
D .最小正周期为
2
π
的偶函数 9．（宁夏5）已知平面向量(1
3)=-，a ；(42)=-，b ；λ+a b 与a 垂直； 则λ=（ A ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2 10．（宁夏9）平面向量a ；b 共线的充要条件是（ D ） A ．a ；b 方向相同
B ．a ；b 两向量中至少有一个为零向量
C ．λ∈R ∃；λ=b a
D ．存在不全为零的实数1λ；2λ；12λλ+=0a b
11．（宁夏11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ C ） A ．1-；1
B ．2-；2
C ．3-；
3
2
D ．2-；
32
12．（湖南7）在ABC ∆中；AB=3；AC=2；BC=10；则AB AC ⋅= ( D )
A ．23-
B ．3
2- C ．32 D ．23
13．（江西6）函数sin ()sin 2sin
2
x
f x x
x =+是（ A ）
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
14．（江西10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22
ππ
内的图象是（ D ）
15．（辽宁5）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，；(12)B --，；(31)C ，；且2BC AD =；则顶点D 的坐标为（ A ） A ．722⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
C ．(32)，
D ．(1
3)， 16．（辽宁8）将函数21x
y =+的图象按向量a 平移得到函数1
2
x y +=的图象；则（ A ）
A ．(11)=--，a
B ．(1
1)=-，a
C ．(11)=，a
D ．(11)
=-，a 17．（全国Ⅰ5） 在ABC △中；AB c =；AC b =．若点D 满足2BD DC =；则AD =（ A ）
A ．
21
33
b c + B ．5
233
c b -
C ．
2133
b c - D ．1
233
b c +
18．（全国Ⅰ6）2
(sin cos )1y x x =--是（ D ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数
A
B
C
D
-
19．（全国Ⅰ9）为得到函数πcos 3y x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象；只需将函数sin y x =的图像（ C ）
A ．向左平移
π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π
6
个长度单位
20．（全国Ⅱ1）若sin 0α<且tan 0α>是；则α是（ C ）
A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
21．（全国Ⅱ10）函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ B ） A ．1
B ．
2 C ．3
D ．2
22．(山东8) 已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边；向量
1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ；且cos cos sin a B b A c C +=；则角A B
，的大小分别为（ C ） A ．ππ
63
，
B ．
2ππ36
， C ．ππ36
，
D ．ππ33
，
23．(山东10) 已知πcos sin 6αα⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值是（ C ）
A ． B
C ．45
-
D ．
45
24．（四川3）设平面向量()()3,5,2,1a b ==-；则2a b -=( A )
（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,3 25．（四川4）()2
tan cot cos x x x +=( D )
（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x
26．（四川7）ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ；若,2a A B =
=；则cos B =( B )
（Ａ）
3 （Ｂ）
4 （Ｃ）
5 （Ｄ）6
27．(天津6) 把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变）；得到的图象所表示的函数是（ C ）
A ．sin 23y x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫
=+∈
⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ， 28．(天津9) 设5sin 7a π=；2cos 7b π=；2tan 7c π=；则（ D ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
29．（浙江2）函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 ( B )
（A ）2
π
（B ）π （C ）32π （D ）2π
30．（浙江7）在同一平面直角坐标系中；函数])20[)(2
32cos(ππ
，∈+=x x y 的图象和直线
2
1
=y 的交点个数是 ( C )
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 31．（重庆12）函数f (x
(0≤x ≤2π)的值域是 ( C )
(A)[-
11,44] (B)[-11
,
33] (C)[-11,22
]
(D)[-22,33
]
32．(湖北1).设(1,2),(3,4),(3,2),(2)a b c a b c =-=-=+=则 ( C ) A.(15,12)-
33．(湖北7).将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3
π
个单位长度得到图象F ′；若F ′的一条对称轴是直线,1
x π=则θ的一个可能取值是 ( A )
A.
512π B.512π- C.1112π D.1112π- 34．(陕西1) sin330︒等于（ B ）
A ．
B ．12
-
C ．
12
D
二、填空题
1．（北京9）若角α的终边经过点(1
2)P -，；则tan 2α的值为______________．4
3
2．（北京11）已知向量a 与b 的夹角为120；且4==a b ；那么a b 的值为________．8- 3．（湖南11）已知向量)3,1(=a ；)0,2(-=b ；则b a +
4．（江苏1）)6
cos()(π
ω-
=x x f 最小正周期为
5π
；其中0>ω；则=ω 10 5．（江苏5）b a ,的夹角为
120；1,3a b ==；则5a b -= 7
6．（江苏13）若BC AC AB 2,2=
=；则ABC S ∆的最大值
7．（江西16）如图；正六边形ABCDEF 中；有下列四个命题； A ．2AC AF BC += B ．22AD AB AF =+
C ．AC A
D AD AB ⋅=⋅
D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅
其中真命题的代号是 ,,A B D （写出所有真命题的代号）．
8．（辽宁16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，；则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为
．
9．（全国Ⅱ13）设向量(12)(23)==，，，a b ；若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线；则
=λ ．2
10．（上海5）若向量a ；
b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3
π
；则a b += ．11．(天津14) 已知平面向量(24)=，a ；(12)=-，b ；若()=-c a a b b ；则
=c
．12．（浙江12）若3sin(
)25
π
θ+=；则cos2θ=_________。

7
25-
13．（浙江14）在△ABC 中；角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ；若
(
)
C a A c b cos cos 3=-；
则=A cos
14．（浙江16）已知a 是平面内的单位向量；若向量b 满足()0b a b -=；则||b 的取值范
围是 。

[01]，
15．(湖北12).在△ABC 中；a ；b ；c 分别是角A ；B ；
C 所对的边；已知3,30,a b c =
==︒
A
B
D
E
C
F
则A ＝ .
6
π 16．(陕西13) ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；
若120c b B =
==；则a
17．(陕西15) 关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题；
①若a b =a c ；则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ；∥a b ；则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ；则a 与+a b 的夹角为60． 其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题 1．（安徽17）．（本小题满分12分）
已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
解；（1）
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =
++-
1cos 22cos 222
x x x =
+- sin(2)6
x π
=-
2T 2
π
π==周期∴ （2）
5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈- 因为()sin(2)6
f x x π
=-在区间[,]123ππ-
上单调递增；在区间[,]32
ππ
上单调递减；
所以 当3
x π=
时；()f x 取最大值 1
又
1()()12
222f f π
π-
=-
<=；∴当12
x π
=-时；()f x 取最小值2-
所以 函数 ()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域为[ 2．（北京15）（本小题共13分）
已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
解；（Ⅰ）1cos 2()sin 222
x f x x ωω-=
+
112cos 222x x ωω=
-+π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π；且0ω>； 所以
2π
π2ω
=；解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03
x ≤≤； 所以ππ7π2666
x --≤≤；
所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝
⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛
⎫-
+ ⎪⎝
⎭≤≤；即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，． 3．（福建17）（本小题满分12分）
已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n ⋅= (Ⅰ)求tan A 的值；
(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. 解；（Ⅰ）由题意得
m ·n =sin A -2cos A =0,
因为cos A ≠0,所以tan A =2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得
2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22
f x x x x x x =+=-+=--+
因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1sin 2x =
时；f (x )有最大值3
2
； 当sin x =-1时；f (x )有最小值-3； 所以所求函数f (x )的值域是33,.2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
4．（广东16）（本小题满分13分）
已知函数f (x )=A sin(x +ϕ)(A >0,0<ϕ<π),x ∈R 的最大值是1；其图像经过点M 132π⎛⎫
⎪⎝⎭
，. (1) 求f (x )的解析式；
(2) 已知α；β∈02π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，；且f (α)=35；f (β)=1213
；求f (α-β)的值. 解；（1）依题意知 A =1
1
sin 332
f ππφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又4333πππφ<+<
； ∴
53
6π
πφ+=
即 2
π
φ= 因此 ()sin cos 2f x x x π⎛⎫
=+= ⎪⎝
⎭
； （2）
()3cos 5f
αα==
；()12cos 13
f ββ== 且 ,0,2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
∴ 4sin 5
α=
；5sin 13β=
()()3124556
cos cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=
5．（宁夏17）（本小题满分12分）
如图；ACD △是等边三角形；ABC △是等腰直角三角形；
90ACB =∠；BD 交AC 于E ；2AB =．
（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．
B
A
C
D
E
解；（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠；CB AC CD ==； 所以15CBE =∠．
所以6cos cos(4530)CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中；2AB =； 由正弦定理
2
sin(4515)sin(9015)
AE =-+．
故2sin 30
cos15
AE
=
12
⨯
=
=． 12分
6．（江苏15）（14分）
如图；在平面直角坐标系xoy 中；以ox 轴为始边做两个锐角βα,；它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点；已知A 、B 的横坐标分别为
522（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值。

【解析】；本小题考查三角函数的基本概念、三角函数 的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式； 考查运算求解能力。

由条件得cos ,cos 105
αβ== αβ、为锐角；sin αβ∴==1
tan 7,tan 2
αβ∴==
（1）17tan tan 2tan()31
1tan tan 172
αβαβαβ+
++==
=--⋅-⨯ （2）
2
21
22tan 42tan 211tan 31()2βββ⨯
===--47tan tan 23tan(2)14
1tan tan 2173
αβαβαβ+
+∴+===--⋅-⨯ αβ、为锐角；3022παβ∴<+<324
παβ∴+= 7．（江苏17）（14分）
某地有三家工厂；分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处；已知AB=20km ；BC=10km ；为了处理三家工厂的污水；现要在矩形ABCD 的区域上（含边界）；且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂；并铺设排污管道AO 、BO 、OP ；设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式；
①设∠BAO=θ(rad )；将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )；将y 表示成x 的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式；确定污水处理厂的位置；使三条排污管道总长度最短。

【解析】；本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识；考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ；若∠BAO=θ(rad )；则
cos cos OA BAO θ
=
=
∠； 故10
cos OB θ
=
又1010OP tan θ=-；所以1010
1010cos cos y OA OB OP tan θθθ
=++=++- 所求函数关系式为2010sin 10
(0)cos 4
y θ
π
θθ
-=
+≤≤
②若OP=x (km )；则OQ=10-x ；所以OA OB ===所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤
（2）选择函数模型①；22
10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)
'cos cos y θθθθθθθ
-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046
ππ
θθ≤≤∴=
当(0,)6πθ∈时'0y <；y 是θ的减函数；当(,)64
ππ
θ∈时'0y >；y 是θ的增函数；
所以当6πθ=时；min 1
20101010y -⨯
=+= 此时点O 位于线段AB 的中垂线上；且距离AB km 处。

8．（江西17）已知1
tan 3
α=-；cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数())cos()f x x x αβ=
-++的最大值．
解；（1）由cos β=
(0,)βπ∈ 得tan 2β=；sin β=
B
于是tan()αβ+=12
tan tan 3121tan tan 13
αβ
αβ-++==-+.
（2）因为1
tan ,(0,)3
ααπ=-∈
所以sin αα=
=
()f x x x x x =
x =
()f x
9．（湖南17）（本小题满分12分） 已知函数f (x )＝cox 2
.sin 2
sin 22x x
x +- (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期； (Ⅱ)当x 0∈(0,
4π)且f (x 0)＝524时；求f (x 0＋6
π)的值.
解 由题设有f (x )＝cos x ＋sin x =)4
sin(2π
+x .
(Ⅰ)函数f (x )的最小正周期是T ＝2x . (Ⅱ)由f (x 0)＝524得524)4sin(20=+πx ；即sin .5
4
)4(0=+πx 因为x 0∈(0,
4π)；所以).2
,4(40πππ∈+x 从而cos 5
3
)54(1)4(sin 1)4(2
020=-=+==+ππ
x x . 于是]6
)4sin[(2)46sin(2)4
(000π
πππ
π
++=++
=+
x x x f
]6
sin )4cos(6cos )4[sin(200π
πππ+++=x x 10
2
364)21532354(2+=⨯+⨯=
10．（辽宁17）（本小题满分12分）
在ABC △中；内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，；已知2c =；3
C π
=． （Ⅰ）若ABC △
；求a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =；求ABC △的面积． 解；（Ⅰ）由余弦定理得；2
2
4a b ab +-=； 又因为ABC △
1
sin 2
ab C =4ab =． ·
······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，
，
解得2a =；2b =． ·············································· 6分
（Ⅱ）由正弦定理；已知条件化为2b a =； ························································· 8分
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得3a =
3b =．
所以ABC △
的面积1sin 23
S ab C =
=． ····················································· 12分 11．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）
设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，；且cos 3a B =；sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；
（Ⅱ）若ABC △的面积10S =；求ABC △的周长l ． 解；（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除；有；
3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b ==== 又通过cos 3a B =知；cos 0B >；
则3cos 5B =；4
sin 5
B =；
则5a =．
（2）由1
sin 2
S ac B =；得到5c =．
由222
cos 2a c b B ac
+-=；
解得；b =
最后10l =+．
12．（全国Ⅱ17）（本小题满分10分） 在ABC △中；5cos 13
A =-
；3
cos 5B =．
（Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）设5BC =；求ABC △的面积．
解；（Ⅰ）由5cos 13
A =-
；得12sin 13A =；
由3cos 5B =；得4
sin 5
B =． ··········································································· 2分
所以16
sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=． ····································· 5分
（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313
BC B AC A ⨯
⨯==
=． ··········································· 8分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯8
3
=． ·
···················· 10分
13．(山东17)（本小题满分12分）
已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<；0ω>）为偶函数；且函数
()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π
2
．
（Ⅰ）求π8f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π
6
个单位后；得到函数()y g x =的图象；求()g x 的单调递减区间．
解；
（Ⅰ）())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+
1
2)cos()2x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦
π2sin 6x ωϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
因为()f x 为偶函数；
所以对x ∈R ；()()f x f x -=恒成立； 因此ππsin()sin 6
6x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+-
⎪⎝
⎭
． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--
+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
．
因为0ω>；且x ∈R ； 所以πcos 06ϕ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
． 又因为0πϕ<<； 故ππ62
ϕ-
=． 所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫
=+= ⎪⎝
⎭
． 由题意得
2π
π
2
2
ω
=；所以2ω=． 故()2cos 2f x x =．
因此ππ2cos 84f ⎛⎫==
⎪
⎝⎭
（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后；得到π6f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象；
所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦． 当π
2π22ππ3k x k -
+≤≤（k ∈Z ）
； 即π2πππ63
k x k ++≤≤（k ∈Z ）时；()g x 单调递减；
因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ⎡
⎤
+
+⎢⎥⎣
⎦
，（k ∈Z ）． 14．（上海17）（本题满分13分）
如图；某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处；小区里 有两条笔直的小路AD DC ，；且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟；从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米；求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．
【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意；得
CD =500（米）；DA =300（米）；∠CDO=0
60
在CDO ∆中；2
2
2
2cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分
即()()2
2
21
5003002500300,2
r r r +--⨯⨯-⨯
=…………………….9分 解得4900
44511
r =
≈（米）. …………………………………………….13分 【解法二】连接AC ；作OH ⊥AC ；交A C 于H …………………..2分 由题意；得CD =500（米）；AD =300（米）；0
120CDA ∠=………….4分
2220
2
2
2
,2cos12015003002500300700,
2
ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..6分
22211
cos .214
AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分
在直角11
,350,cos 0,14
HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900
445cos 11
AH OA HAO =
=≈∠（米）. ………………………13分
15．（上海18）（本题满分15分）本题共有2个小题；第1个题满分5分；第2小题满分10分．
已知函数f (x )=sin2x ；g (x )=cos π26x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
；直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点． （1）当π
4
t =
时；求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时的最大值．
【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛
⎫
⎛⎫=⨯
-⨯+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭…………….2分 23
1cos
.32
π=-=………………………………5分 （2）sin 2cos 26MN t t π⎛
⎫
=-+
⎪⎝
⎭
3sin 2222
t t =
- …………...8分
26t π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
…………………………….11分 ∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
…………13分
∴ ｜MN ……………15分 16．（四川17）（本小题满分12分）
求函数2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

【解】；2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+
272sin 2sin 2x x =-+
()2
1sin 26x =-+
由于函数()2
16z u =-+在[]11-，中的最大值为
()2
max 11610z =--+= 最小值为
()2
min 1166z =-+=
故当sin 21x =-时y 取得最大值10；当sin 21x =时y 取得最小值6
17．(天津17)（本小题满分12分）
已知函数2
()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2
π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值；并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
（Ⅰ）解；1cos 2()2sin 212
x
f x x ωω+=++
sin 2cos22x x ωω=++
sin 2cos cos 2sin 244x x ωωππ⎫=
++⎪⎭
224x ωπ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭．
由题设；函数()f x 的最小正周期是
2π；可得222
ωππ=；所以2ω=．
（Ⅱ）解；由（Ⅰ）知；()424f x x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭．
当4242x k ππ+
=+π；即()162k x k ππ=+∈Z 时；sin 44x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭取得最大值1；所以函数
()f x
的最大值是2+x 的集合为162k x x k ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，．
18．（重庆17）（本小题满13分；（Ⅰ）小问5分；（Ⅱ）小问8分.）
设△ABC 的内角A ；B ；C 的对边分别为a ,b ,c .
已知2
2
2
b c a +=；求； （Ⅰ）A 的大小;
（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值. 解；(Ⅰ)由余弦定理；2
2
2
2cos ,a b c bc A =+-
222cos 222.
6
b c a A bc bc A π
+-====
故所以
(Ⅱ) 2sin cos sin()B C B C --
2sin cos (sin cos cos sin )
sin cos cos sin sin()sin()
1
sin .
2
B C B C B C B C B C
B C A A π=--=+=+=-==
19．(湖北16).（本小题满12分） 已知函数2()sin
cos cos 2.222
x x x
f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式；并指出
()f x 的周期；
（Ⅱ）求函数17()[,
]12
f x π
π在上的最大值和最小值 解；(Ⅰ)f (x )=
2
1
sin x +
23)4sin(2223)cos (sin 2122cos 1-+=-+=-+πx x x x . 故f (x )的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝.
(Ⅱ)由π≤x ≤
1217π；得πππ3
5445≤+≤x .因为f (x )＝23)4sin(22-+πx 在[45,π
π]上是减函数；在[
12
17,
45π
π]上是增函数. 故当x =
45π时；f (x )有最小值－223+；而f (π)=－2；f (12
17
π)＝－466+＜－2；
所以当x =π时；f (x )有最大值－2.
20．(陕西17)（本小题满分12分）
已知函数()2sin
cos 442
x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
；判断函数()g x 的奇偶性；并说明理由． 解；（Ⅰ）
()f
x sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=． 当πsin 123x ⎛⎫+=-
⎪⎝⎭时；()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
时；()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．
()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭．
∴函数()g x 是偶函数．。