人教版高三数学第二学期数列多选题单元 易错题难题同步练习试卷

人教版高三数学第二学期数列多选题单元 易错题难题同步练习试卷
一、数列多选题
1．已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数
()()()()127f x x x a x a x a =+++，若()01f '=，则（ ）
A ．{}lg n a 为单调递增的等差数列
B ．01q <<
C ．11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
为单调递增的等比数列
D ．使得1n T >成立的n 的最大值为6
【答案】BCD 【分析】
令()()()
()127g x x a x a x a =+++，利用()()12
7001f g a a a '===可得
3411a a q ==，01q <<，B 正确；由()
()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-可得A 错误；
由()111111111
n n n a a a q
S q q q q q --
=--=⋅---可得C 正确；由11a >，01q <<，41a =可推出671T T >=，81T <可得D 正确. 【详解】
令()()()
()127g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =， ()()()f x g x xg x ''∴=+，()()127001f g a a a '∴===，
因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3
411a a q ==，
11a >，
01q ∴<<，B 正确；
()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-，{}lg n a ∴是公差为lg q 的递减等差数列，A 错
误；
()111111111n n n a a a q S q q q q q --
=--=⋅---，11n a S q ⎧⎫
∴-⎨⎬-⎩
⎭是首项为101a q q <-，公比为q 的递增等比数列，C 正确；
11a >，01q <<，41a =，
3n ∴≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<，4n ∴≤时，1n T >，7712
741T a a a a ===，8n ∴≥时，789
71n n T T a a a T =<=，又7
567
1T T a a =
>，7
67
1T T a =
>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确. 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.
2．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <
C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列
D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】
由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；
选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】
本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.
3．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列
{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）
A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+
B ．n +∀∈N ，
3331
4n a n +≥ C ．m +∃∈N ，16m b = D ．n +∀∈N ，1
13
n S ≤<
【答案】BD 【分析】
用累加法得到22
2
n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入33
n a n
+求最值可判断B ； 令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D. 【详解】
因为1n n n a a +-=，所以
211a a -= 322a a -=
11(2)n n n a a n -=-≥-
以上各式累加得
1121(1)2
n a a n n n =++
+-=
--，所以(1)
12n n n a -=
+，当1n =时，11a =成立， 所以2(1)2
122
n n n n a n --+=+=
，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)122
2(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫=
===- ⎪
+++++⎝-+⎭+，
对于A ，()()5
254922
12
2
m a m m m m ++++++=
=，25(1)5(51)24
11222
m a a m m m m -⨯--+=+++=
+ ， 当5
5m m a a a +=+时，222492222
m m m m -+++=
，得15m +=∉N ，A 错误； 对于B
，(1)
1(133
33343411)2222
2n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+， 当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8
3331
84
a +=， 所以B 正确；
对于C ，令1121612m b m m ⎛⎫=-=
⎪++⎝⎭
得，215308m m ++=
，解得
m +
=
N ，所以C 错误；
对于D ， n +∀∈N ，1231111
1122334
12n S b b b n n ⎛⎫=++
+=-+-+
+
- ⎪++⎝⎭
1
12211222n n ⎛⎫=-=-< ⎪
++⎝⎭
，可以看出n S 是关于n 递增的，所以1n =时有最小值13， 所以
1
13n S ≤<，D 正确. 故选：BD. 【点睛】
本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a ，然后代入求出n b ，考查了学生的推理能力、计算能力.
4．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列
B ．满足100n S <的n 的最大值是9
C ．n S 除以4的余数只能为0或1
D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】
根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得(
)*
21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为()111n n na n a +-+=，
故等式两边同除以()1n n +得：()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()1211122121
1n n a a n n n n n n --=------=--，，
2111121122
a a =-⨯-= 故根据累加法得：
()11
121n a a n n
n =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故(
)*
21n a n n N
=-∈
所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()
21212
n n n S n +-=
=，
故2
100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*
21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，22
4n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正
确；
对于D 选项，2
22n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.
故选：ABC 【点睛】
本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得
()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.
5．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列
C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数
列 【答案】AB 【分析】
对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出
2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能
10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶
数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
2n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以
142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正
确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，所以122(2)n
n S n -=-≥，所以
12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =
则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；
对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
6．已知数列{}n a 中，11
2
a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（ ）
A ．11111
n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列
C ．
21101
11
11
11
1a a a a +++
>+++ D ．若121212011
1n n a a a
a a a ⎡⎤
+++
=⎢
⎥+++⎣⎦
，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】
利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出121211
1
n
n a a a
a a a +++
+++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】
在数列{}n a 中，11
2
a =
，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，
，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.
对于A 选项，()()()1111
11111
n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确； 对于B 选项，2
10n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项
正确；
对于C 选项，由A 选项可知，
1
111
1n n n a a a +=-+，
所以，
12122310111111
1011
1
11111111111
1a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++-=-
< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误； 对于D 选项，
1212231111111111111
11
1
1n n
n n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()()()1212
12121111
111
1
1111n n
n n a a a a a a a a a a a a +-+
++=+++
++++++-+-+
12111111111
211
1n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-++
+
=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
， 由112a =
，且()11n n n a a a +=+得23
4
a =，32116a =，
又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则
101n
a <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤
-=-=⎢⎥⎣⎦
+
，得122n =，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
7．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)
2
n n n a +=
B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项的和为2020
2021
C ．数列1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前2020项的和为4040
2021 D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】
用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的和即可得． 【详解】
因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，
121321(1)
()()()1232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
， 11a =也适合此式，所以(1)
2
n n n a +=
， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1
n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项和为2020111
114040
21223202020212021
S ⎛⎫=-+-+
+
-=
⎪⎝⎭，B 错，C 正确． 故选：AC ． 【点睛】
本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
8．下列说法中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+
B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有2
12n n n a a a ++=
C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列
D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列 【答案】AC 【分析】
利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立； 必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-， 可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-=
=-=
，
所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.
所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；
对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有2
12n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B
选项错误；
对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112
n n n d
S na -=+
，()2122122n n n d S na -=+
，()3133132
n n n d
S na -=+， 所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡
⎤⎡⎤-=+-+=+
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡
⎤⎡⎤-=+-+=+
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 所以，
()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+
++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()22n n S S =-，
所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；
对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0， 故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC.
【点睛】 方法点睛；
1.判断等差数列有如下方法：
（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）； （2）等差中项法：(
)122n n n a a a n N
*
++=+∈；
（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；
（4）前n 项和法：2
n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.
2.判断等比数列有如下方法： （1
）定义法：
1
n n
a q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）； （2）等比中项法：2
12n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠； （3）通项公式法：n
n a p q =⋅（p 、q 为非零常数）； （4）前n 项和法：n
n S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.
9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）
A ．3m =
B ．1818
1
10335
4kk i a =⨯+=∑
C ．(31)3ij j
a i =-⨯ D ．()1
(31)314
n S n n =
+- 【答案】ABD 【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得18
1
kk
i a
=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由
此可以判断各选项的真假． 【详解】
∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 1
2
=-
（舍去），A 正确；
∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误；
∴()1
313i ii a i -=-⋅， 0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯①
12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,
①-②化简计算可得：1818103354
S ⨯+=,B 正确； S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )
()()()11211131313131313n n n n a a a ---=
+++--- ()
()231131.22n n n +-=- ()1=(31)314
n n n +-，D 正确； 故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.
10．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ）
A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.
B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =
C ．若12
n
n S =3+，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215a ＝ 【答案】AB
【分析】
直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断.
【详解】
选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+
则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+
20191822211=+++
++=
故A 正确. 选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，
所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.
则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.
选项C. 由12n n S =3+，可得当1n =时，11722
a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛
⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+
-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误.
选项D. 由122n n n a a a +=+，可得11112
n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，12为公差的等差数列. 所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518
a =，故D 错误. 故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得
()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列
()1311n n a a +=++，11112
n n a a +-=解决问题，属于中档题.。