高考数学第一轮章节复习课件 函数与方程思想

得F1(－1,0)，F2(1,0)．
设M(x，y)，则P(1，y)．
由|MF1|＝|MP|，
得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝－4x.
此轨迹是抛物线．
法二：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1| ＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离． 此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线， 轨迹方程为y2＝－4x.
【示例4】 已知向量 =(2,0),
=(0,1),
动点M到定直线y＝1的距离等于d，并且满足
d2)，其中O为坐标原点，k为
参数．
(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲源自类型；(2)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足
≤e≤ ，求实数k的取值范围．
[解] (1)设M(x，y)，则由 =(2,0),
从而解方程组
即满足题设条件的P点为
[领悟] 解析几何是将“形”的问题转化为“数”的问题 解决的学科，如在解题中常将交点问题转化为方程根的 问题，将最值问题转化为函数问题解决．
四、分类讨论思想 分类讨论思想在解析几何中应用广泛，主要表现的方面
有：(1)过定点的直线的斜率是否存在问题．(2)与截距有关 的直线问题要分零截距与非零截距情形讨论．(3)直线与圆 锥曲线的交点问题．(4)含参数的方程表示的曲线的讨论问 题．(5)圆与圆的位置关系判断问题．(6)椭圆、双曲线、抛 物线焦点位置与标准方程间关系的问题等等．
1．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线
(a>0，b>0)的渐
近线与拋物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于
() B.2
解析：双曲线的渐近线方程为y＝
与拋物线方程联
立得x2± ＋1＝0，Δ＝(± )2－4＝0⇒b2＝4a2，
∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2，e＝
答案：C
2．(2008·山东高考)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且
一、函数与方程思想 1．方程思想：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直
线或圆锥曲线．因此可以用方程思想讨论直线和圆锥 曲线的位置关系问题．可以把直线与圆锥曲线相交的 弦长问题利用根与系数的关系进行整体处理．从而减 少解题过程的运算量． 2．函数思想：对于圆锥曲线上一动点，在变化过程中，会 引入一些相互联系、相互制约的量，从而使有些线段 长度及a、b、c、k、e之间构成函数关系，函数思想在 处理这类问题时非常有效．
6．(2009·广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 ，且G上一点到G的两个焦点的距离 之和为12，则椭圆G的方程为________________．
解析：由题意得2a＝12， b＝3，故椭圆G的方程为
所以a＝6，c＝3 ， =1.
答案：
7．(2010·珠海模拟)已知双曲线
10．(2010·南通模拟)已知椭圆x2＋ ＝1(0＜b＜1)的左焦 点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过B、F、 C作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)． (1)当m＋n＜0时，求椭圆离心率的取值范围； (2)求证：直线AB与圆P不相切．
解：(1)设F、B、C的坐标分别为F(-c,0)，B(0，b)， C(1,0)则FC、BC的中垂线分别为
9．(2008·北京高考)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝ 4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l. (1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积； (2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直 线的方程．
解：(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在
y＝x＋2相切．
(1)求a与b；
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且
与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1
的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线
类型．
解：(1)由
得
又由原点到直线y＝x＋2的距离等于圆的半径，
得b 2,a 3.
(2)法一：由c＝
三、化归与转化思想 解决有关直线与圆锥曲线相交的问题，若要证明线数
相等或求弦长，或求某些与曲线上的点有关的题目时，直接 求交点坐标往往理论上可行，而实际运算却繁琐复杂．很难 得出结果，若合理转化，可使运算简化，事半功倍．
【示例3】 从圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0外一点P(x1， y1)向圆引切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝ |PO|，求使|PM|最小的P点坐标．
联立解之
得：b-bc+b2-c＜0.即(1+b)(b-c)＜0. ∴b＜c.∴b2＜c2，∴ 解之e的取值范围为
(2)证明：假设相切，则B为切点，而kAB=b，
kPB=
由kAB·kBP=-1，则c2-2c=0.
∴c=0或c=2与0＜c＜1矛盾．
∴直线AB与圆P不能相切．
=1的离心率
为 则n＝________.
解析：①若焦点在x轴上：a2＝n，
b2＝12－n，∴c2＝a2＋b2＝12，
∴e＝
∴n＝4.
②若焦点在y轴上，a2＝n－12，
b2＝－n，∴c2＝a2＋b2＝－12不合题意．故n＝4.
答案：4
8．(2009·安徽高考)已知椭圆
=1 (a＞b＞0)的离心
率为 ，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线
OA
答案：B
4．(2010·汕头模拟)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实
轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双
曲线方程为
()
A．x2－y2＝2
B．x2－y2＝
C．x2－y2＝1
D．x2－y2＝
解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y
＝±x，焦点到直线的距离
∴c＝2，∵2λ＝c2＝4，
＝1⇒x0＝2或x0＝－ (舍去)． 答案：B
3．(2007·山东高考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)
的焦点，A是抛物线上的一点， 与x轴正向的夹角为60°，
则为
()
解析：设 PA t, F ( p , 0),
2
则A 又∵A在y2＝2px上， ∴ ＝p2＋pt， 解得t＝2p，t＝－ (舍)， ∴A
【示例1】 已知直线y＝－ ＋2和椭圆 (a＞b＞0)相交于A，B两点，M为线段AB的中点，若|AB| ＝2，直线OM的斜率为 ，求椭圆的方程．
[解] 由
消去y整理得
(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得 x1＋x2＝ 又设M(xM，yM)， 则xM=
所以 e2 k ,即 1 ≤ k ≤ 1 .所以 1≤ k ≤ - 1 .
k1 3 k1 2
2
所以
[领悟] 在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的， 满足不同的条件就得到不同的曲线(如本例(1))，另外在进 行有关量的运算时，参数的符号往往决定着运算结果， 在符号不明确时也要进行分类讨论．
直线的方程为y＝x.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由
得x＝±1，
所以|AB|＝ 2 x1x2 2 2.
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以 h
2, SABC
1 2
AB
h 2.
(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m.
由
得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.
因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋64>0.
因为kOM =
即a2＝4b2.
从而x1＋x2＝
又|AB|＝2
所以
即
解得b2＝4.
所以a2＝4b2＝16，故所求椭圆方程为
[领悟] 待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而 用待定系数法解题时，在题目中寻找等量关系，建立方 程是关键．
二、数形结合思想 圆锥曲线的相关问题中，许多表达式都具有一定的
几何意义．挖掘题目中隐含的几何意义，然后采用数形 结合的思想方法进行推理，可以直观地解决一些最值问 题．另外，在解题中还要善于将数形结合的思想运用于 对圆锥曲线的性质和关系的研究中．
【示例2】 当函数y＝1＋
与函数y＝k(x－2)＋4的
图象有两个相异交点时，实数k的取值范围是
()
[解析] 曲线y=1+
是以(0,1)为圆心、2为半径的半
圆(如图)，直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线．
设切线PC的斜率为k0，切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.
圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即
设直线PA的斜率为k1，则 所以实数k的范围是 [答案] C
[领悟] 平面解析几何本身就是“以数解形”的一门学科， 是数形结合思想的直接体现．本例借助于数的几何意义， 利用形的直观进行解题，又体现了“以形助数”的思想．
与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是
()
A．(x－3)2＋
＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D.
＋(y－1)2＝1
解析：法一：由题意知圆心坐标为(x0,1)， ∴排除A、C.选项B中圆心(2,1)到直线4x－3y＝0的距离
即d＝r成立． 法二：由题意设圆心为(x0,1)，∵d＝r，
∴λ＝2.
答案：A
5．(2010·日照模拟)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线
x＋y－2＝0上的圆的方程是
()
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：设圆心C(a,2－a)，则|AC|＝|BC|. ∴(a－1)2＋(3－a)2＝(a＋1)2＋(1－a)2， ∴a＝1，∴r＝2，C(1,1)． ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 答案：C
[解] 将方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0配方后， 得(x－2)2＋(y－3)2＝12， ∴圆心为C(2,3)，半径r＝1. ∵切线PM与半径CM垂直(如图所示)，
由|PM|=|PO|，得
化简整理，得2x1+3y1=6， 故满足|PM|=|PO|的P点轨迹是方程2x+3y-6=0表示的直线． ∴|OP|的最小值为O点到此直线的距离，即
=(0,1),
且O为原点，知A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)．
从而OM ( x, y), AM ( x 2, y),CM ( x, y 1),
2，y－1)，d＝|y－1|.
代入
得
(1－k)x2＋2(k－1)x＋y2＝0为所求的轨迹方程．
当k＝1时，得y＝0，轨迹为一条直线；
当k≠1时，得(x－1)2＋
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
则x1＋x2＝
所以|AB|＝ |x1－x2|＝ 又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离， 即|BC|＝ 所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10 ＝－(m＋1)2＋11. 所以当m＝－1时，AC边最长(这时Δ＝－12＋64>0)，此 时AB所在直线的方程为y＝x－1.
若k＝0，则轨迹为圆；
若k＞1，则轨迹为双曲线；
若0＜k＜1或k＜0，则轨迹为椭圆．
(2)因为
所以方程表示椭圆．
对于方程(x－1)2＋
①当0＜k＜1时，a2＝1，b2＝1－k，
c2＝a2－b2＝1－(1－k)＝k，
此时 e2
c2 a2
k,而
3 ≤e≤ 3
2 ,所以 1 ≤ k ≤ 1 .
2
3
2
②当k＜0时，a2＝1－k，b2＝1，c2＝－k，