低频振荡参数Prony辨识中的数字滤波器设计

低频振荡参数Prony辨识中的数字滤波器设计
张俊峰;陈珉;杨婷;张甜甜;萧珺;毛承雄
【摘要】Prony算法可有效进行电力系统低频振荡分析,但是其存在抗噪性弱的缺点.为降低PMU数据中噪声对低频振荡分析辨识精度的影响,本文提出了一种用于Prony算法的数字滤波器设计方案及幅相补偿方法:首先仿照周期信号滤波要求设计了模拟滤波器,针对模拟滤波器造成的Prony算法辨识的偏移,提出幅值及相位补偿方法;然后基于脉冲响应不变法将模拟滤波器离散化为数字滤波器;最后通过滤波后的含噪信号与理想信号对比,验证了该方法的抗噪性能.将该滤波器用于PMU数据进行算例仿真,得到了较好的辨识效果.
【期刊名称】《电力系统及其自动化学报》
【年(卷),期】2018(030)012
【总页数】6页(P99-104)
【关键词】低频振荡;Prony算法;相量测量装置;低通滤波;相位补偿
【作者】张俊峰;陈珉;杨婷;张甜甜;萧珺;毛承雄
【作者单位】广东电网公司电力科学研究院,广州 510080;华中科技大学电气与电子工程学院,武汉 430074;华中科技大学电气与电子工程学院,武汉 430074;华中科技大学电气与电子工程学院,武汉 430074;华中科技大学电气与电子工程学院,武汉430074;华中科技大学电气与电子工程学院,武汉 430074
【正文语种】中文
【中图分类】TM711
近年来，直流输电线路、特高压交流输电网快速发展，电力系统区域互联规模越来越大，各区域间的弱连接造成的低频振荡已成为严重威胁电网安全稳定运行的突出问题[1-2]。

为了抑制低频振荡，首先，采用相量测量装置PMU（phase measurement unit）为分析低频振荡提供数据基础，最高100 Hz的采样频率较好地保证了信息的真实、完整[3-5]；同时，应用Prony算法，可以直接分析振荡信号的幅值、衰减因子、频率及相位。

二者相结合将进一步促进低频振荡的研究。

然而Prony算法本身抗噪性弱，已有文献指出，其可容纳信噪比下限仅为40～60 dB[6-8]。

提升Prony算法辨识精度，目前主要有两类方法，一类从Prony算法
本身弱抗噪性入手，另一类从数据预处理即滤波入手。

文献[9]提出形态滤波算法，不仅将信噪比提高至10 dB以上，而且还兼顾了混合模式白噪声；文献[10]提出
滑动窗Prony算法，提高了数据利用率，并且将信噪比提升至20 dB；文献[11]
引入神经网络训练，提升较高频噪声及较多采样点下Prony算法准确度。

上述方
法虽然效果较好、适用性较强，但是PMU数据的应用必须有专用的滤波器。

本文考虑PMU采样信号的特点，对PMU待辨识信号做预处理（即滤波），准确提取0.1～20 Hz的低频振荡信号，滤去与低频振荡分析无关的高频及噪声信号。

该方法通过参考模拟滤波器特性，克服了采用传统数字滤波器造成的时滞及非线性相移等不足。

通过实测PMU信号的拟合，验证了算法的有效性。

1 Prony算法的原理及分析
Prony算法是将信号拟合为多模态低频振荡波形的数据处理方法，拟合后波形函
数y(t)为
式中：L为低频振荡模态数；Ai、σi、fi、φi分别表示各低频振荡模态的幅值、衰减因子、频率及相位，均为待辨识的未知参数。

应用欧拉公式，并以待拟合信号的采样间隔T做离散化处理，式（1）可转化为
式中：
通过式（2），待辨识参数由 Ai、σi、fi、φi转化为 Ci、μi。

μi的解可由下列方程表示为
展开后，式（4）等价为
通过求解式（5）中方程，μi的辨识转化为ai的辨识。

对任一μi，式（5）均成立，将其代入式（2）中，得：
ai的求解可采用最小二乘法拟合，将ai代入式（5）即可求解μi，再将μi代入式（2），同样可采用最小二乘法拟合求解Ci，完成μi、Ci的辨识后，Ai、σi、fi、φi可按如下公式计算：
式中：运算符号abs为取复数的模；运算符号Im为取复数的虚部；运算符号Re
为取复数的实部。

2 滤波器的设计及幅相补偿
对于电力系统低频振荡分析，一般只关心各振荡模态的幅值、衰减因子、频率及相位4种特征值，因此，应用数字滤波器前，推导并补偿各振荡模态特征值的偏移，即变相解决数字滤波器的时滞与非线性相移，将数字滤波器真正应用于低频振荡数据预处理。

本文即意图通过模拟滤波器的特性与离散化，实现特征值偏移量的补偿，从而实现数字滤波器的应用。

首先考虑PMU待辨识信号，根据PMU技术规范，其采样频率分3种，分别为100 Hz、50 Hz及25 Hz，因此在模拟滤波器的离散化中，也有3种离散间隔可选，本文中，取100 Hz的采样频率即0.01 s离散间隔介绍模拟滤波器离散化过程。

由于电力系统低频振荡集中于0.1～2.0 Hz，根据Nyquist采样定理，采样频率应不低于信号最高频率的2倍，本文中，为契合PMU的3种采样频率，保证任一PMU采样频率下Prony算法采样频率恒定，取Prony算法采样频率为12.5 Hz，即Prony算法计算间隔取0.08 s，同时为均衡计算速度与精度，通常取Prony算法的计算时长为10 s，阶数2L取20，即一般认为电力系统低频振荡模态数不超过10。

由于Butterworth滤波器通频带内最大限度平坦的特性，被广泛应用于各类低通滤波中，其s域传递函数为
式中：k为滤波器增益；pi为滤波器极点；n为滤波器阶数。

由此可知，滤波器极点个数与阶数相同，不含零点，应用于本文中，便于滤波前后振荡信号动态特性即各特征值偏移量的计算。

本文仿照周期信号的滤波器设计用于衰减信号的模拟滤波器，因此要求滤除5 Hz 以上高频分量，保留0.1～2.0 Hz低频分量。

阻带边缘频率 fst取5 Hz，阻带最小衰减αs取40 dB，2 Hz时衰减不大于0.1 dB，通过计算，截止频率为5 Hz，阶数为10的Butterworth滤波器即可满足要求，其幅频及相频特性如图1所示。

图1 幅频及相频特性Fig.1 Amplitude-and phase-frequency characteristics 由图1可知，设计模拟滤波器符合前设要求，然而，纵使如此，幅值、相位亦不能按照幅频、相频特性曲线补偿，仍需另行计算，计算过程如下。

将待辨识信号以式（2）的形式经Laplace变换得
将式（9）代入式（8）可得
由式（11）可知，经滤波后，Prony辨识结果中，含幅值及相位信息的Ci发生偏移，含衰减因子及频率信息的γi未发生偏移。

假设待辨识信号经滤波后Prony辨识结果为，则Prony辨识结果应按如下公式补偿：
式中，运算符号angle为取复数的辐角。

对式（8）中滤波器s域传递函数变换形式，做反Laplace变换，转化为时域内冲激响应h（t），即
对h（t）以PMU采样间隔0.01 s抽样为h（k），即
对h（k）做z变换转化为滤波器z域传递函数，即
为验证数字滤波器的有效性，比较滤波前后Prony算法对各模态特征值辨识结果的偏移，验证特征值补偿方法的正确性，构造测试有功功率信号如下所示：
该信号包含3个振荡模态，频率分别为1.5 Hz、1.0 Hz及2.0 Hz，同时为验证前述有补偿滤波器的抗噪性，将信噪比为20 dB的白噪声混入理想振荡信号，得到含噪振荡信号和无补偿滤波器拟合信号如图2所示。

图2 无补偿数字滤波器效果Fig.2 Effect of non-compensation digital filter
完成模拟滤波器滤波前后各振荡模态特征值的补偿后，仍需最后一步，即将模拟滤
波器离散化，目前通行的方法有双线性变换法和脉冲响应不变法两种。

由于脉冲响应不变法在高频段存在频率混叠现象，目前得到广泛应用的是双线性变换法。

本文中，由于待辨识信号采用PMU数据，采样间隔最高为0.04 s，脉冲响应不变法频率混叠发生于12.5 Hz以上，而本文中模拟滤波器为低通，通频带小于5 Hz，12.5 Hz以上衰减已大于200 dB，近乎为零，可忽略，因此，本文中模拟滤波器
离散化方法选用脉冲响应不变法，其具体方法如下所示。

由于理想振荡信号包含3个模态，且模拟滤波器10个极点两两共轭，因此对于图2中滤波后振荡信号，Prony辨识阶数应在理想振荡信号阶数基础上增加10阶。

同时，为避免阶数不一致对Prony辨识精确度的影响，对图2中理想振荡信号也
做16阶Prony辨识。

由图2可知，经数字滤波器滤波后，低频振荡各模态部分或整体信息发生偏移，
且在信号初始部分存在时延，因此有必要对滤波后的Prony辨识结果进行补偿，
补偿前后信号对比如图3所示。

图3中，理想信号与有补偿滤波器拟合近似重合。

补偿后部分辨识结果如表1所示。

由表1可知，传统Prony辨识结果误差较大，其中模态1幅值A、模态1、3衰
减因子σ及模态3相位φ的误差尤为明显，经有补偿滤波器后，Prony辨识结果
得到较明显改善，如图3所示，所提幅值及相位补偿算法可有效补偿数字滤波器
带来的低频振荡模态特征值偏移，可促进数字滤波器在低频振荡模态辨识数据预处理方面的应用。

图3 有补偿数字滤波器效果Fig.3 Effect of compensated digital filter
表1 数字滤波器效果Tab.1 Effect of digital filter模态滤波前无补偿滤波有补偿滤波参数幅值 A（p.u.）衰减因子σ频率f/Hz相位φ/rad幅值 A（p.u.）衰减因
子σ频率f/Hz相位φ/rad幅值 A（p.u.）衰减因子σ频率f/Hz相位φ/rad 1 2 3理想值0.220-0.210 1.500 π(3.142)0.310-0.130 1.000 π/2(1.571)0.190-0.180
2.000-π/3(-1.047)计算值0.237-0.243 1.500
3.132 0.306-0.133 1.000 1.557
0.188-0.172 2.010-1.156误差7.727 15.714 0-0.318-1.290 2.308 0-0.891-
1.053-4.444 0.500 10.411计算值0.211-0.198 1.500 1.201 0.314-0.129 1.000 0.272 0.195-0.181
2.000 2.638误差-4.091-5.714 0-61.770 1.290-0.769 0-82.686 2.632 0.556 0-351.958计算值0.220-0.198 1.500
3.139 0.311-0.129 1.000 1.575 0.189-0.181 2.000-1.039误差-0.000-5.714 0-0.095 0.323-0.769 0 0.255-0.526 0.556 0-0.764
3 算例验证
本节以PMU实测数据验证有补偿数字滤波器在工程实际中的应用效果，由于前述过程包括模拟滤波器离散化，而离散频率越高，所得数字滤波器滤波效果越接近模拟滤波器，即由模拟滤波器传函推导而得补偿算法应用效果越好，因此，本节不仅验证前述有补偿滤波器应用于100 Hz采样PMU数据滤波效果，同时验证应用于50 Hz及25 Hz采样PMU数据的滤波效果。

由于PMU数据无法得知其理想振荡模态特征值，因此传统Prony辨识与有补偿滤波器的对比将以方差S作为依据，其按如下公式计算：
式中：N为待拟合信号数据点个数；yi为拟合信号；xi为待辨识信号。

方差S越小，表明拟合效果越好，即Prony辨识所得特征值越接近电网实际振荡特性。

以某台PMU的采样数据为例，选取100 Hz有功功率低频振荡波形，为统一计算结果，时间轴统一为0～3 s，下同。

分别按传统Prony算法及有补偿数字滤波器拟合，效果如图4、图5所示。

图4 传统Prony辨识100 Hz采样信号拟合效果Fig.4 Matching effect for recognition of 100 Hz sampling signal using the traditional Prony algorithm
图5 有补偿滤波器100 Hz采样信号拟合效果Fig.5 Matching effect for 100 Hz sampling signal by compensated filter
经过Matlab计算可知，传统Prony辨识拟合波形方差S为0.119，有补偿滤波器拟合波形方差S为0.086，较传统Prony辨识降低了27.7%。

经滤波、Prony算法辨识、补偿后，部分低频振荡模态特征值如表2所示。

表2 有补偿滤波器100 Hz采样信号辨识效果Tab.2 Recognition effect for 100 Hz sampling signal by compensated filter模态1 2 3 4 5频率/Hz 0.10 0.62 1.05 1.31 1.69衰减因子-1.02-0.76-0.62-1.53-0.95幅值（p.u.）5.11 1.15 8.04 4.82 0.94相位/（°）92 238 37 23 25
再以某台PMU的采样数据为例，选取50 Hz有功功率低频振荡波形，按传统Prony算法及有补偿数字滤波器滤波，效果如图6、图7所示。

图6 传统Prony辨识50 Hz采样信号拟合效果Fig.6 Matching effect for recognition of 50 Hz sampling signal using the traditional Prony algorithm 图7 有补偿滤波器50 Hz采样信号拟合效果Fig.7 Matching effect for 50 Hz sampling signal by compensated filter
经过Matlab计算可知，传统Prony辨识拟合波形方差S为0.931，有补偿滤波器拟合波形方差S为0.595，较传统Prony辨识降低了36.1%。

经滤波、Prony算法辨识、补偿后，部分低频振荡模态特征值如表3所示。

最后以某台PMU的25Hz采样数据做Matlab仿真，按传统Prony算法及有补偿数字滤波器滤波，效果如图8、图9所示。

经过Matlab计算可知，传统Prony辨识拟合波形方差S为0.452，有补偿滤波器拟合波形方差S为0.401，较传统Prony辨识降低了11.3%
表3 有补偿滤波器50 Hz采样信号辨识效果Tab.3 Recognition effect for 50 Hz sampling signal by compensated filter模态1 2 3 4 5频率/Hz 0.36 0.69 1.07
1.55 1.81衰减因子-
2.27-1.65-0.75-1.12-2.69幅值（p.u.）17.97 16.71 16.21
3.99 6.36相位/（°）13 104 156 194 264
图8 传统Prony辨识25 Hz采样信号拟合效果Fig.8 Matching effect for recognition of 25 Hz sampling signal using the traditional Prony algorithm 图9 有补偿滤波器25 Hz采样信号拟合效果Fig.9 Matching effect for 25 Hz sampling signal by compensated filter
经滤波、Prony算法辨识、补偿后，各低频振荡模态特征值如表4所示。

表4 有补偿滤波器25 Hz采样信号辨识效果Tab.4 Recognition effect for 25 Hz sampling signal by compensated filter模态1 2 3 4 5频率/Hz 0.11 0.57 1.03 1.21 1.61衰减因子-1.04-0.60-0.71-1.78-0.68幅值（p.u.）6.15 0.58 9.91 9.11 0.68相位/（°）84 226 20 224 66
结果表明，无论何种PMU采样频率，相对传统Prony辨识，本文所设有补偿数
字滤波器均能取得较好的拟合曲线，并能较准确地提取主导模态的低频振荡特征值，较好地实现了为PMU信号设计专用滤波器的目的。

4 结语
本文根据低频振荡特征、PMU采样特征，通过模拟滤波器离散化，提出幅值及相位补偿办法，克服数字滤波器应用于低频振荡辨识数据预处理中的限制。

通过对理想多模态振荡信号的辨识，证明算法的有效性。

仿真算例说明，将其应用于PMU 数据中，能得到较好的拟合效果。

【相关文献】
[1]朱方，赵红光，刘增煌，等（Zhu Fang，Zhao Hongguang，Liu Zenghuang，et al）.大区
电网互联对电力系统动态稳定性的影响（The influence of large power grid interconnected on
power system dynamic stability）[J].中国电机工程学报（Proceedings of the CSEE），2007，27（1）：1-7.
[2]秦超，曾沅，苏寅生，等（Qin Chao，Zeng Yuan，Su Yinsheng，et al）.基于安全域的大规模风电并网系统低频振荡稳定分析（Low-frequency oscillatory stability analysis based on security region for power system with large-scale wind power）[J].电力自动化设备（Electric Power Automation Equipment），2017，37（5）：100-106.
[3]刘志坚，周术明，宋琪，等（Liu Zhijian，Zhou Shuming，Song Qi，et al）.基于PMU的LEF法对电力系统低频振荡的分析（Application of PMU-based LEF method to analysis of
low-frequency oscillation in power system）[J].昆明理工大学学报（自然科学版）（Journal of Kunming University of Science and Technology（Natural Science Edition）），2012，37（3）：41-44，49.
[4]汪昀，沈健，张敏，等（Wang Yun，Shen Jian，Zhang Min，et al）.PMU低频振荡就地辨识研究（Research on low frequency oscillation identification in PMU）[J].电气技术（Electrical Engineering），2015（11）：33-35，39.
[5]鞠平，谢欢，孟远景，等（Ju Ping，Xie Huan，Meng Yuanjing，et al）.基于广域测量信息
在线辨识低频振荡（Online identification of low-frequency oscillations based on wide-area measurements）[J].中国电机工程学报（Proceedings of the CSEE），2005，25（22）：56-60.
[6]朱先贤，赵帅，贾宏杰（Zhu Xianxian，Zhao Shuai，Jia Hongjie）.基于高阶累积量的改进Prony低频振荡辨识方法（Improved Prony method on higher-order cumulant for low frequency oscillation detection）[J].电力系统及其自动化学报（Proceedings of the CSU-EPSA），2017，29（9）：1-8.
[7]张少康，李兴源，王渝红（Zhang Shaokang，Li Xingyuan，Wang Yuhong）.Prony算法在电力系统参数辨识中的应用（Application of Prony algorithm in power system parameter identification）[J].电网技术（Power System Technology），2010，34（7）：20-24.
[8]吴超，陆超，韩英铎，等（Wu Chao，Lu Chao，Han Yingduo，et al）.Prony方法和ARMA法在低频振荡模式辨识中的适用性比较（Comparison of application in low frequency oscillation mode identification between Prony and ARMA）[J].电力自动化设备（Electric Power Automation Equipment），2010，30（3）：30-34.
[9]李安娜，吴熙，蒋平，等（Li Anna，Wu Xi，Jiang Ping，et al）.基于形态滤波和Prony算法的低频振荡模式辨识的研究（Research on identifying low frequency oscillation modes based on morphological filtering theory and Prony algorithm）[J].电力系统保护与控制（Power System Protection and Control），2015，43（3）：137-142.
[10]丁蓝，薛安成，李津，等（Ding Lan，Xue Ancheng，Li Jin，et al）.基于窗口滑动改进Prony算法的电力系统低频振荡识别（A moving-window Prony algorithm for power system low frequency oscillation identification）[J].电力系统自动化（Automation of Electric Power Systems），2010，34（22）：24-28.
[11]竺炜，唐颖杰，周有庆，等（Zhu Yi，Tang Yingjie，Zhou Youqing，et al）.基于改进Prony算法的电力系统低频振荡模式识别（Identification of power system low frequency oscillation mode based on improved Prony algorithm）[J].电网技术（Power System Technology），2009，33（5）：44-47，53.。