(2021年整理)广东省深圳市2015-2016学年高二数学上册期末测试题

广东省深圳市2015-2016学年高二数学上册期末测试题
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省深圳市2015-2016学年高二数学上册期末测试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省深圳市2015-2016学年高二数学上册期末测试题的全部内容。

2015—2016学年广东省深圳市南山区高二（上)期末数学试卷（文科）
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．“x2＞1”是“x＞1"的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定
3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1
4．设等比数列｛a
n }的前n项和为S
n
，满足a
n
＞0,q＞1，且a
3
+a
5
=20，a
2
a
6
=64，则S
5
=（）
A．31 B．36 C．42 D．48
5．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）
A．B．C．D．
6．函数f（x）的定义域为（a，b）,导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示,则函数f （x）在开区间（a,b）内有极值点（)
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知命题p：｜x﹣1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q"同时为假命题，则满足条件的x为（)
A．{x｜x≥3}或{x|x≤﹣1，x∉Z} B．｛x｜﹣1≤x≤3，x∈Z}
C．{﹣1,0，1,2,3} D．{0，1，2｝
8．在△ABC中,三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S
△ABC
=2，a+b=6， =2cosC，则
c=（）
A．2B．4 C．2D．3
9．已知数列{a
n ｝中a
1
=1，a
2
=，a
3
=,a
4
=，…a
n
=…,则数列{a
n
}的前n
项的和s
n
=（）
A． B． C． D．
10．若x,y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2
11．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有( ）
A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27,无极大值C．极大值5，极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11
12．如图，F 1、F 2是双曲线=1(a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A ．4
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）
13．抛物线y=8x 2的焦点坐标为 ．
14．在三角形△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A=60°，b=1，其面积为，则a= ．
15．设f(x ）=xlnx ，若f′（x 0）=2，则x 0= ．
16．递减等差数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S 5=S 10，则欲使S n 最大,则n= ．
三、解答题(本题共6小题，共70分）
17．已知p ：方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根,q ：方程4x 2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q”为真,“p 且q"为假．求实数m 的取值范围．
18．△ABC 的内角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c,acosC+ccosA=2bcosA ．
（1）求A；
（2）若a=，b=2，求△ABC的面积．
19．设｛a
n ｝是等差数列，{b
n
｝是各项都为正数的等比数列，且a
1
=1，b
1
=2，a
2
+b
3
=10，a
3
+b
2
=7．
（1）求数列｛a
n ｝，{b
n
}的通项公式;
(2）设数列{b
n ｝的前n项和为S
n
，记，求数列｛c
n
｝的前n项和T
n
．
20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1)x+4＞0(a∈R）
21．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且｜AB|=|BF｜．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点(0,2）,且l交椭圆C于P、Q两点,OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．
22．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f(x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x
1∈（0,2］,均存在x
2
∈(0，2]，使得f(x
1
)＜g（x
2
），
求a的取值范围．
2015-2016学年广东省深圳市南山区高二（上)期末数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】由x2＞1，解得:x＞1或x＜﹣1．进而判断出结论．
【解答】解：由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．
∴“x2＞1"是“x＞1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定
【考点】三角形的形状判断．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．
【解答】解：∵在△ABC中,sin2A+sin2B＜sin2C，
由正弦定理===2R得，
a2+b2＜c2，
又由余弦定理得：cosC=＜0,0＜C＜π,
∴＜C＜π．
故△ABC为钝角三角形．
故选A．
【点评】本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）
A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．
【解答】解：由双曲线方程﹣=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为
y=±x,
由A可得渐近线方程为y=±2x，
由B可得渐近线方程为y=±x，
由C可得渐近线方程为y=x，
由D可得渐近线方程为y=x．
故选:A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
4．设等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ，满足a n ＞0,q ＞1,且a 3+a 5=20，a 2a 6=64，则S 5=（ )
A ．31
B ．36
C ．42
D ．48
【考点】等比数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用等比中项的性质求得a 3a 5=a 2a 6，进而根据a 3+a 5=20，构造出一元二次方程求得a 3和a 5，则a 1和q 可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．
【解答】解：a 3a 5=a 2a 6=64,
∵a 3+a 5=20,
∴a 3和a 5为方程x 2
﹣20x+64=0的两根,
∵a n ＞0,q ＞1，
∴a 3＜a 5，
∴a 5=16，a 3=4, ∴q===2， ∴a 1===1，
∴S 5=
=31．
故选A ． 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的等比中项的性质的应用．解题过程中巧妙的构造出一元二次方程，较快的求得a 3和a 5，进而求得a 1和q ．
5．若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则m=( ）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据椭圆的标准方程求得a,b，c,再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．
【解答】解：由题意，则
,
化简后得m=1.5，
故选A
【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a,b，c,进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．
6．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b)内有极值点（)
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】导数的综合应用．
【分析】根据当f’（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,然后得到答案．
【解答】解：从f′（x）的图象可知f(x)在（a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,
根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，
由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．
故答案为 C．
【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．
7．已知命题p：｜x﹣1｜≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q"同时为假命题,则满足条件的x为（)
A．｛x|x≥3}或｛x｜x≤﹣1，x∉Z｝B．{x｜﹣1≤x≤3，x∈Z}
C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2｝
【考点】复合命题的真假．
【专题】计算题．
【分析】由题设条件先求出命题P：x≥4或x≤0．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知0＜x＜4,x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．
【解答】解：由命题p：｜x﹣1｜≥2，得到命题P：x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2，即命题P：x≥3或x≤﹣1;
∵¬q为假命题，∴命题q：x∈Z为真翕题．
再由“p且q"为假命题，知命题P:x≥4或x≤0是假命题．
故﹣1＜x＜3，x∈Z．
∴满足条件的x的值为:0,1，2．
故选D．
【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题,仔细解答，注意公式的灵活运用．
8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S
△ABC
=2，a+b=6， =2cosC,则
c=（）
A．2B．4 C．2D．3
【考点】正弦定理;余弦定理．
【专题】三角函数的求值；解三角形．
【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式,化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．
【解答】解： =
==1，
即有2cosC=1，
可得C=60°，
若S
△ABC
=2,则absinC=2，
即为ab=8，
又a+b=6，
由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b)2﹣2ab﹣ab
=(a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12,
解得c=2．
故选C．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
9．已知数列｛a
n }中a
1
=1，a
2
=，a
3
=，a
4
=，…a
n
=…,则数列｛a
n
}的前
n项的和s
n
=（）
A．B．C．D．
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】a
n
===2．，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：∵a
n
===2．
∴数列{a
n ｝的前n项的和s
n
=2++…+
=
=．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．若x，y满足,则z=x+2y的最大值为（)
A．0 B．1 C．D．2
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z
最大值
=0+2×1=2．
故选：D．
【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题．
11．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有( )
A．极大值5，无极小值B．极小值﹣27，无极大值
C．极大值5,极小值﹣27 D．极大值5，极小值﹣11
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3(因为﹣2＜x＜2,舍去）,讨论当﹣2＜x＜﹣1时,y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0,得到函数极值即可．
【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1,x=3，
由于﹣2＜x＜2，
则当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，
=5；x取不到3，无极小值．
当x=﹣1时,y
极大值
故选：A
【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,属于基础题
12．如图，F
1、F
2
是双曲线=1（a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F
1
的直线l与双曲线的
左右两支分别交于点A、B．若△ABF
2
为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A．4 B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线的定义，可得F
1A﹣F
2
A=F
1
A﹣AB=F
1
B=2a，BF
2
﹣BF
1
=2a,BF
2
=4a,F
1
F
2
=2c,再在
△F
1BF
2
中应用余弦定理得,a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．
【解答】解：因为△ABF
2为等边三角形，不妨设AB=BF
2
=AF
2
=m，
A为双曲线上一点,F
1A﹣F
2
A=F
1
A﹣AB=F
1
B=2a，
B为双曲线上一点，则BF
2﹣BF
1
=2a，BF
2
=4a，F
1
F
2
=2c，
由,则，
在△F
1BF
2
中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°,
得c2=7a2,则．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线y=8x2的焦点坐标为．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】化抛物线方程为标准方程,即可求得焦点坐标．
【解答】解：抛物线y=8x2可化为，焦点在y轴上
∵，∴
∴抛物线y=8x2的焦点坐标为
故答案为:
【点评】本题考查抛物线的性质，化抛物线方程为标准方程是关键．
14．在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°,b=1，其面积为,则a= ．
【考点】余弦定理的应用．
【专题】计算题；方程思想；分析法；解三角形．
【分析】根据三角形的面积公式，求出c,然后利用余弦定理即可得到a的值
【解答】解：∵A=60°,b=1,△ABC的面积为,
∴S
=bcsinA=csin60°=，
△
即c=,
解得c=4，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°
=1+16﹣2×1×4×=13，
解得a=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
15．设f （x ）=xlnx ，若f′（x 0）=2,则x 0= e ．
【考点】导数的运算．
【专题】计算题．
【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f(x)的导数,然后将x 0代入建立方程，解之即可．
【解答】解：f(x ）=xlnx
∴f’（x ）=lnx+1
则f′（x 0）=lnx 0+1=2
解得：x 0=e
故答案为：e
【点评】本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列．
16．递减等差数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S 5=S 10，则欲使S n 最大,则n= 7或8 ．
【考点】等差数列的前n 项和．
【专题】计算题．
【分析】根据题意,由S 5=S 10，可得S 10﹣S 5=a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=0，结合等差数列的性质，可得a 8=0,又由数列｛a n }是递减等差数列，则可得a 1＞a 2＞…a 7＞a 8=0＞a 9…,分析可得答案．
【解答】解:根据题意，数列{a n ｝满足S 5=S 10，
则S 10﹣S 5=a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=0，
由等差数列性质得：5a 8=0,可得a 8=0，
又由数列{a n }是递减的等差数列，则由a 1＞a 2＞…a 7＞a 8=0＞a 9…，
则当n=7或8时,s n 取最大值,
故答案为7或8．
【点评】本题考查等差数列前n项和的性质，要牢记其前n项和s
取最大或最小值的条件以及
n
判断方法．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4(m﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q"为真,“p且q”为假．求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】分类讨论;简易逻辑．
【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论,最后综合可得答案．
【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，
若p为真，则其等价于，解可得,m＞2；
若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，
若p假q真，则,解可得1＜m≤2；
若p真q假，则，解可得m≥3；
综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．
【点评】本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意,转化为集合间的包含关系，综合可得答案．
18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求A；
（2)若a=，b=2，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】转化思想；解三角形．
【分析】(1）利用正弦定理、和差公式即可得出；
（2）利用余弦定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解:（1）∵acosC+ccosA=2bcosA,由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA ， 化为：sin （A+C ）=sinB=2sinBcosA ，sinB≠0,可得cosA=，A∈（0，π）， ∴A=．
（2）由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，
∴7=22+c 2﹣4ccos ，化为c 2﹣2c ﹣3=0，解得c=3．
故△ABC 的面积为bcsinA=×3×=． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．设｛a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1=1，b 1=2，a 2+b 3=10,a 3+b 2=7．
（1)求数列｛a n ｝，｛b n ｝的通项公式；
(2）设数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，记
，求数列｛c n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】综合题；方程思想;转化思想;数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法"、等比数列的通项公式与前n 项和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列｛a n }的公差为d ，等比数列｛b n ｝的公比为q ，且a 1=1，b 1=2，a 2+b 3=10，a 3+b 2=7． ∴，即， 消去d 得2q 2﹣q ﹣6=0,（2q+3)（q ﹣2）=0，
∵{b
n
}是各项都为正数的等比数列，∴q=2，d=1,
∴a
n =n，b
n
=2n．
（2）S
n
=2n+1﹣2，…
c n =a
n•
(+1）=n•2n，
设T
n
=1•21+2•22+3•23+…+n•2n,
2T
n
=1•22+2•23+…+（n﹣1)•2n+n•2n+1，
相减，可得T
n
=(n﹣1）•2n+1+2．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法"，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．解关于x的不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0(a∈R）
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】对a分类:a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1，分别解不等式即可．
【解答】解：ax2﹣2（a+1）x+4＞0⇔（ax﹣2）（x﹣2）＞0…
(ⅰ）a=0时，x﹣2＜0⇔x∈（﹣∞，2）…
(ⅱ）0＜a＜1时,…
（ⅲ）a=1时，(x﹣2)2＞0⇔x∈(﹣∞，2)∪（2,+∞）…
（ⅳ）a＞1时，…
(ⅴ）a＜0时，…
【点评】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想,是中档题．
21．如图，椭圆C: +=1（a＞b＞0）的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=｜BF|．
（Ⅰ)求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2)，且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】(Ⅰ)利用|AB|=｜BF｜，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率;
（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0与椭圆C：联立,OP⊥OQ，可得,
利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．
【解答】解:(Ⅰ）由已知,
即,4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2﹣c2）=5a2,∴．…
(Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：．
设P(x
1，y
1
)，Q(x
2
,y
2
)，
直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0)，即2x﹣y+2=0．由，
即17x2+32x+16﹣4b2=0．
．
，．…
∵OP⊥OQ，∴，
即x
1x
2
+y
1
y
2
=0,x
1
x
2
+（2x
1
+2）（2x
2
+2)=0，5x
1
x
2
+4（x
1
+x
2
)+4=0．
从而，解得b=1，
∴椭圆C的方程为．…
【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
22．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x
1∈(0，2]，均存在x
2
∈（0,2］，使得f（x
1
）＜g（x
2
)，
求a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】(Ⅰ）由函数，知
（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．
（Ⅱ）（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f(x）的单调区间．
（Ⅲ）对任意x
1∈（0，2］，均存在x
2
∈（0，2］，使得f（x
1
）＜g（x
2
），等价于在（0，2］
上有f（x）
max ＜g（x)
max
．由此能求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ)∵函数,∴（x＞0)．
∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,
∴f'（1）=f'(3)，
即，
解得．
（Ⅱ）（x＞0）．
①当a≤0时,x＞0,ax﹣1＜0，
在区间（0，2)上，f'（x）＞0；
在区间（2,+∞)上f’(x）＜0,
故f（x）的单调递增区间是(0，2）,
单调递减区间是(2，+∞）．
②当时，，
在区间（0，2）和上，f'（x)＞0;
在区间上f’（x）＜0,
故f（x）的单调递增区间是（0，2)和,单调递减区间是
③当时，，故f(x）的单调递增区间是(0，+∞）．
④当时，，在区间和（2,+∞）上,f'（x）＞0；
在区间上f’（x）＜0，
故f（x)的单调递增区间是和（2，+∞）,单调递减区间是．
(Ⅲ)由已知，在（0，2]上有f（x）
max ＜g（x）
max
．
由已知,g（x）
max
=0，由（Ⅱ）可知，
①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，
故f（x）
max
=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以,﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，
故．
②当时,f（x）在上单调递增，
在上单调递减，
故．
由可知，
2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，
＜0，
所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）
max
综上所述，a＞ln2﹣1．
【点评】本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力;考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错,解题时要认真审题，仔细解答,注意分类讨论思想的合理运用．。