八年级上册数学教科书北师大版

八年级上册数学教科书北师大版
一、章节内容结构。

1. 勾股定理。

- 探索勾股定理：通过测量、数格子等方法，发现直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。

例如，对于直角边为3和4的直角三角形，斜边为5，满足3^2+4^2=5^2。

- 勾股定理的证明：有多种证明方法，如赵爽弦图的证明。

通过大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上小正方形的面积，从而推导出勾股定理。

- 勾股定理的应用：在实际问题中求线段的长度，如已知直角三角形的两条边，求第三条边。

例如，已知一个直角三角形的一条直角边为6，斜边为10，根据勾股定理a^2+b^2=c^2（设另一条直角边为b），则b = √(10^2)-6^{2}=√(100 -
36)=√(64)=8。

2. 实数。

- 认识无理数：通过计算正方形的对角线长度，发现像√(2)这样的数不能表示为两个整数之比，是无理数。

无理数的引入扩充了数系。

- 平方根与立方根：
- 平方根：如果x^2=a（a≥slant0），那么x叫做a的平方根，记作
x=±√(a)。

例如，4的平方根是±2。

- 立方根：如果x^3=a，那么x叫做a的立方根，记作x=sqrt[3]{a}。

例如，8的立方根是2。

- 实数的运算：实数包括有理数和无理数，在进行实数运算时，遵循先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减的顺序。

例如，计算√(2)+3√(2)=(1 + 3)√(2)=4√(2)。

3. 位置与坐标。

- 确定位置：通过生活中的实例，如电影院中座位的表示方法，学习用有序数对来确定平面内点的位置。

例如，电影院中第3排第5号可以用(3,5)表示。

- 平面直角坐标系：
- 认识平面直角坐标系的组成，包括横轴（x轴）、纵轴（y轴）、原点。

- 坐标的表示：平面内的点可以用坐标(x,y)来表示，x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

例如，点A(2,3)表示这个点在x轴上的坐标为2，在y 轴上的坐标为3。

- 坐标与图形的平移：图形在平面直角坐标系中平移时，其顶点的坐标会发生相应的变化。

例如，点(x,y)向右平移a个单位长度后坐标变为(x + a,y)，向左平移a 个单位长度后坐标变为(x - a,y)，向上平移b个单位长度后坐标变为(x,y + b)，向下平移b个单位长度后坐标变为(x,y - b)。

4. 一次函数。

- 函数：了解函数的概念，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数。

例如，y = 2x+1中，x取一个值时，y有唯一的值与之对应。

- 一次函数：形如y=kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。

当b = 0时，y=kx叫做正比例函数，它是特殊的一次函数。

- 一次函数的图象与性质：
- 图象：一次函数y = kx + b的图象是一条直线。

当k>0时，直线从左到右上升；当k<0时，直线从左到右下降。

- 性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。

例如，对于一次函数y = 3x - 1，因为k = 3>0，所以y随x的增大而增大。

- 一次函数的应用：通过实际问题建立一次函数模型，如行程问题、销售问题等，利用一次函数的性质解决问题。

5. 二元一次方程组。

- 认识二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

例如，x + y=5。

- 二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如x + y = 5 x - y = 1。

- 解二元一次方程组：
- 代入消元法：将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

例如，对于方程组y = 2x - 1 x + y = 5，把y = 2x - 1代入x + y = 5中，得到x+(2x - 1)=5，然后求解x的值，再代入求出y的值。

- 加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得方程组的解。

例如，对于方程组2x + y = 5 x - y = 1，将两个方程相加，得到3x = 6，解得x = 2，再代入求出y的值。

- 二元一次方程组的应用：解决实际问题，如调配问题、工程问题等。

例如，已知甲、乙两种物品的单价和购买的总金额，以及数量关系，可通过建立二元一次方程组来求解甲、乙的单价。

6. 数据的分析。

- 平均数：
- 算术平均数：一组数据x_1,x_2,·s,x_n的算术平均数
¯x=frac{x_1+x_2+·s+x_n}{n}。

例如，数据1，2，3的算术平均数为(1 + 2+3)/(3)=2。

- 加权平均数：若n个数x_1,x_2,·s,x_n的权数分别是w_1,w_2,·s,w_n，则加权平均数¯x=frac{x_1w_1+x_2w_2+·s+x_nw_n}{w_1+w_2+·s+w_n}。

例如，某学生的平时成绩、期中成绩、期末成绩分别为80分、85分、90分，它们的权数分别为3、3、4，则加权平均数为(80×3 + 85×3+90×4)/(3 + 3+4)=85.5分。

- 中位数与众数：
- 中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。

例如，数据1，2，3，4，5的中位数是3；数据1，2，3，4的中位数是(2 + 3)/(2)=2.5。

- 众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数。

例如，数据1，1，2，3，3，3中的众数是3。

- 从统计图分析数据的集中趋势：通过条形统计图、折线统计图、扇形统计图等分析数据的平均数、中位数、众数等集中趋势的量。

二、重点知识点归纳。

1. 勾股定理的应用。

- 在直角三角形中，已知两边求第三边。

- 解决实际生活中的距离、高度等测量问题。

2. 实数的运算规则。

- 无理数与有理数的混合运算，要注意运算顺序和根式的化简。

- 准确计算平方根和立方根。

3. 平面直角坐标系中的坐标变换。

- 点的平移、对称等变换后坐标的变化规律。

- 利用坐标确定图形的位置和形状。

4. 一次函数的性质与应用。

- 根据k、b的值判断一次函数图象的特征。

- 建立一次函数模型解决实际问题中的变量关系。

5. 二元一次方程组的解法与应用。

- 熟练掌握代入消元法和加减消元法。

- 分析实际问题中的等量关系，建立二元一次方程组求解。

6. 数据的分析中的统计量。

- 理解平均数、中位数、众数的意义和计算方法。

- 根据不同的统计需求选择合适的统计量来描述数据。

三、典型例题。

1. 勾股定理。

- 例：在ABC中，∠ C = 90^∘，AB = 13，AC = 5，求BC的长。

- 解：根据勾股定理BC=√(AB^2)-AC^{2}=√(13^2)-5^{2}=√(169 - 25)=√(144)=12。

2. 实数。

- 例：计算√(8)+√(32)-√(2)。

- 解：√(8)=2√(2)，√(32)=4√(2)，则原式=2√(2)+4√(2)-√(2)=(2 + 4 - 1)√(2)=5√(2)。

3. 位置与坐标。

- 例：点A(-2,3)先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，求点B的坐标。

- 解：点A向右平移3个单位长度后的坐标为(-2+3,3)=(1,3)，再向下平移2个单位长度后的坐标为(1,3 - 2)=(1,1)，所以点B的坐标为(1,1)。

4. 一次函数。

- 例：已知一次函数y = kx + 3的图象经过点(1,5)，求k的值。

- 解：把点(1,5)代入y = kx+3中，得到5=k×1 + 3，解得k = 2。

5. 二元一次方程组。

- 例：解方程组3x + 2y = 8 2x - y = 3。

- 解：由方程2x - y = 3可得y = 2x - 3，将其代入3x + 2y = 8中，得到
3x+2(2x - 3)=8，即3x + 4x-6 = 8，7x=14，解得x = 2。

把x = 2代入y = 2x - 3中，得y = 2×2-3 = 1，所以方程组的解为x = 2 y = 1。

6. 数据的分析。

- 例：某班学生的身高（单位：cm）数据如下：150，155，160，160，165，170，170，170，175，180。

求这组数据的平均数、中位数和众数。

- 解：
- 平均数¯x=(150 + 155+160+160+165+170+170+170+175+180)/(10)=167（cm）。

- 把数据从小到大排列为：150，155，160，160，165，170，170，170，175，180。

数据个数为10是偶数，中位数=(165 + 170)/(2)=167.5（cm）。

- 众数是170 cm。