八年级初二数学平行四边形练习题含答案 (2)

八年级初二数学平行四边形练习题含答案
一、解答题
1．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，
CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；
（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．
（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形
ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．
2．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ． （1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
3．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．
（1）求证：D 是BC 的中点；
（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
4．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．
（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：
AH CH =；
（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；
（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．
5．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．
（1）求证：AE ＝CE ；
（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE ＝2，求CE 的长．
6．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连
BE ，取BE 中点O ．
（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；
（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段
DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且
135PCQ ︒∠=，则PC
．（直接写出结果）
7．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ． （1）如图1，求证：//AC DE ；
（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=
BC ，求OAC 的面积；
（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．
8．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒
∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .
（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积； （2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.
9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD 运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动。

已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t 秒. （1）求CD 的长.
（2）t 为何值时？四边形PBQD 为平行四边形.
（3）在点P ，点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△B PQ 的面积为20cm 2
？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由.
10．阅读下列材料，并解决问题：
如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与
A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时
AD
AC
的值是多少．
在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时
DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．
参考小红的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE 的长度最小时，
AD
AC
=_______； （2）如图3，延长DA 到点F ，使AF DA =．以DF ，DB 为边作FDBE ，求对角线
DE 的最小值及此时
AD
AC
的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =． 【分析】
（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可； （2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得
△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；
（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD +∠CAE ＝90° ∵∠BAD +∠ABD ＝90°， ∴∠CAE ＝∠ABD 在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；
（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示： ∵四边形AEFC 是菱形， ∴CE ⊥AF ，
∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，
同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ）， ∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4， ∴S △AOC ＝
12OA •OC ＝1
2
×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24， 故答案为：24；
（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，
∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形， ∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，
同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ）， ∴EM ＝AH ＝GN ， 在△EMI 和△GNI 中，
EIM GIH EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△EMI ≌△GNI （AAS ）， ∴EI ＝GI ， ∴I 是EG 的中点，
∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°， ∴∠EAG ＝90°，
在Rt △EAG 中， EG ＝22
AE AG +
＝2286+＝10， ∵I 是EG 的中点， ∴AI ＝
12EG ＝1
2
×10＝5．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）15
2
，理由见解析； 【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明． （2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．
（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形
∵∠B＝90°，∠A＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF，
又∵由题意知CD=4t，AE=2t，
∴CD=2AE
∴AE=DF．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF⊥BC，∠B＝90°
∴AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC＝60cm，DF=1
2
CD，CD=4t，
∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t为15
2
时，△DEF为直角三角形，理由如下；
由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，∴当DE∥BC时，DF⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED中，
∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t
∴AD=4t，
又∵AC＝60cm，CD=4t，
∴AD+CD=AC，8t=60，
∴t=15
2
．
即t=15
2
时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
3．（1）见详解；（2）四边形ADCF是矩形；证明见详解．
【分析】
（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论； （2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形． 【详解】
（1）证明：∵E 是AD 的中点， ∴AE=DE ． ∵AF ∥BC ，
∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ． 在△AFE 和△DBE 中，
FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AFE ≌△DBE （AAS ）． ∴AF=BD ． ∵AF=DC ， ∴BD=DC ．
即：D 是BC 的中点．
（2）解：四边形ADCF 是矩形； 证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ， ∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵AB=AC ，BD=DC ， ∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°． ∴平行四边形ADCF 是矩形． 【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．
4．（1）见解析；（2）1条；（3）7211t =或185
t = 【分析】
(1)证△AEH ≌△CGH （SAS ），即可得出AH=CH ； (2)连接BD 交AC 于O ，作直线OE 即可；
(3)分两种情况：①连接AH 交BC 于M ，证出BM=CM=
1
2
BC=6，由题意得BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GM=6-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可； ②连接AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于K ，证出DM=CM=
1
2
CD ，证△KCM ≌△ADM 得CK=DA=12，则BK=BC+CK=24，且BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GK=24-t ，由三角形面积关
系得出方程，解方程即可． 【详解】 解：(1)四边形BEHG 是正方形，
BE BG ∴=，90BEH BGH ∠=∠=︒，90AEH CGH ∠=∠=︒，
又
AB BC =， AE CG ∴=， 又EH HG =，
()AEH CGH SAS ∴∆≅∆，
AH CH ∴=．
(2)解：连接BD 交AC 于O ，如图1所示：
作直线OE ，则直线OE 矩形ABCD 面积平分， 即经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有1条， 故答案为：1； (3) 解：分两种情况：
①如图2所示：连接AH 交BC 于M ，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴△ABC 的面积=△ADC 的面积，
∵直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分， ∴△ABM 的面积=△ACM 的面积， ∴BM=CM=
1
2
CD=6， 由题意得：BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GM=6-t ，
∵△ABM 的面积=△AEH 的面积+正方形BEHG 的面积+△GHM 的面积， ∴
12×6×9=12t (9-t )+t ²+1
2
t (6-t )， 解得：18
5
t =
； ②如图3所示：连接AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于K ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MCK=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC=12，CD=AB=9，△ABC的面积=△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，
∴△ADM的面积=△ACM的面积，
∴DM=CM=1
2
CD=
9
2
，
在△KCM和△ADM中，
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
D MCK
DM CM
AMD KMC
，
∴△KCM≌△ADM(ASA)，
∴CK=DA=12，
∴BK=BC+CK=24，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GK=24-t，
∵△ABK的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，
∴1
2×24×9=
1
2
t(9-t)+t²+
1
2
t(24-t)，
解得：
72
11
t=，
综上所述，
72
11
t=或
18
5
t=，
故答案为：
72
11
t=或
18
5
t=．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
5．（1）详见解析；（2）30°；（3）2
【分析】
（1）利用正方形的性质，得到AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，进而判断△ADE≌△CDE得到结论；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB＝OE，∠OBE＝∠OEB＝15°，再利用外角和定理求得；
（3）连接OC，与（2）同理得到∠POC＝60°，则△EOC为直接三角形，再应用勾股定理求
得.
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，
在△ADE 和△CDE 中，
AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△CDE （SAS ），
∴AE ＝CE ；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DBC ＝45°，
∵∠PBC ＝30°，
∴∠PBE ＝15°，
∵PE ⊥BD ，O 为BP 的中点，
∴EO ＝BO ＝PO ，
∴∠OBE ＝∠OEB ＝15°，
∴∠EOP ＝∠OBE ＋∠OEB ＝30°；
（3）如图，连接OC ，
∵点O 是BP 的中点，∠BCP ＝90°，
∴CO ＝BO ，
∴EO ＝CO 2，∠OBC ＝∠OCB ＝30°，
∴∠POC ＝60°，
∴∠EOC ＝∠EOP ＋∠POC ＝90°，
∵EC 2＝EO 2＋CO 2＝4，
∴EC ＝2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，综合性较强，要注意数形结合.
6．（1）见解析；（2）222MN BN DM =+，理由见解析；（3）32
【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=12
BE=BO=EO ，得∠ABO=∠BAO ，∠OBM=∠OMB ，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；
（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得BN=DF ，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM ≌△FAM （SAS ），得MN=MF ，在Rt △FDM 中，由勾股定理得FM 2=DM 2+FD 2，进而得出结论；
（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，则△PCQ ≌△ECQ ，
∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP ，△PCE 是等腰直角三角形，得
PE ，证△BCE ≌△DCP （SAS ），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出
BE=PE=6，即可得出PC 的长．
【详解】
解：（1）证明：四边形ABCD 是正方形，
90ABC BAD ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，
ME BD ⊥，
90BME ∴∠=︒， O 是BE 的中点，
12
AO MO BE BO EO ∴====， ABO BAO ∴∠=∠，OBM OMB ∠=∠，
22290AOM AOE MOE ABO MBO ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；
（2）222MN BN DM =+，理由如下：
在AD 上方作AF AN ⊥，使AF AN =，连接DF 、MF ，如图2所示：
则90NAF ∠=︒，
四边形ABCD 是正方形，
AB AD ∴=，90BAD NAF ∠=∠=︒，
BAN DAF ∴∠=∠，
45NAM ∠=︒，
45FAM NAM ∴∠=︒=∠，
在ABN ∆和ADF ∆中，AB AD BAN DAF AN AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABN ADF SAS ∴∆≅∆，
BN DF ∴=，45DAF ABN ∠=∠=︒，
90FDM ADB ADF ∴∠=∠+∠=︒，
45NAM ∠=︒，
45FAM NAM ∴∠=︒=∠，
在NAM ∆和FAM ∆中，AN AF NAM FAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()NAM FAM SAS ∴∆≅∆，
MN MF ∴=，
在Rt FDM ∆中，222FM DM FD =+，
即222MN BN DM =+；
（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，如图3所示： 则PCQ ECQ ∆≅∆，135ECQ PCQ ∠=∠=︒，9EQ PQ ==，
36090PCE PCQ ECQ ∴∠=︒-∠-∠=︒，
BCE DCP ∴∠=∠，PCE ∆是等腰直角三角形，
2CE CP ∴==， 在BCE ∆和DCP ∆中，BC DC BCE DCP CE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BCE DCP SAS ∴∆≅∆，
45CBE CDB CBD ∴∠=∠=∠=︒，
90EBQ ∴∠=︒，
90PBE ∴∠=︒，
2PB =，9PQ =，
7BQ PQ PB ∴=-=，
22229742BE EQ BQ ∴=--=
22222(42)6PE PB BE ∴++，
232PC ∴==； 故答案为：32
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
7．（1）见解析；（292；（3）4或6 【分析】
（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出
CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；
（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，3==CD AB 6AD BC ==OA OC x ==，则6OD x ，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出36OA =
，由三角形面积公式即可得出答案；
（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长．
【详解】
解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆，
ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，
四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC ∴=，//AD BC ．
EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠，
ACE CAD ∴∠=∠，
OA OC ∴=，
OD OE ∴=，
ODE OED ∴∠=∠，
AOC DOE ∠=∠，
CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，
//AC DE ∴；
（2）平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，
∴四边形ABCD 是矩形，
90CDO ∴∠=︒，3==CD AB ，6AD BC ==，
由（1）得：OA OC =，
设OA OC x ==，则6OD x =-， 在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222(3)(6)x x +-=，
解得：36x =
， 36OA ∴=， OAC ∴∆的面积1
136923228OA CD =⨯=⨯
⨯=； （3）分两种情况：
①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ，
AD BC =，BC EC =，
AD EC ∴=，
//AD BC ，90EAD ∠=︒，
90EGC ∴∠=︒，
30B ∠=︒，23AB =，
30AEC ∴∠=︒，
1122
GC EC BC ∴==， G ∴是BC 的中点，
在Rt ABG ∆中，33BG AB =
=， 26BC BG ∴==；
②如图4，当90AED ∠=︒时
AD BC =，BC EC =，
AD EC ∴=，
由折叠的性质得：AE AB =，
AE CD ∴=，
在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ACE CAD SSS ∴∆≅∆，
ECA DAC ∴∠=∠，
OA OC ∴=，
OE OD ∴=，
OED ODE ∴∠=∠，
AED CDE ∴∠=∠，
90AED ∠=︒，
90CDE ，
//AE CD ∴，
又//AB CD ，
B ∴，A ，E 在同一直线上，
90BAC EAC ∴∠=∠=︒，
Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，2
3AB =，
32AC AB ∴==，24BC AC ==； 综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
8．(1)100；(2)见解析.
【分析】
(1)先证明四边形ABCD 是正方形，再根据已知条件证明△BCF ≌△DCE ，即可得到四边形AECF 的面积=正方形ABCD 的面积；
(2) 延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG ，先证明四边形BCEM 是平行四边形，得到BM=CE ，证明△BCF ≌△GCF ，得到BF=GF ，∠FGC=∠FBC=90︒，由AN ⊥MN ，得
GM=2MN ，根据∠BAC=45︒，BC ∥AD 得到AM=BF ，再证△BFH ≌△AMN,得到GM=2FH ， 由此得到结论.
【详解】
(1)∵9,0ABC AB BC ︒∠==，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∵ABC ADC ∆≅∆，
∴AB=AD=BC=DC ，
∴四边形ABCD 是菱形，
∵90ABC ADC ︒∠=∠=，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90ABC ADC ︒∠=∠=，
∴∠CDE=90ABC ADC ︒∠=∠=，
∵BF=DE,BC=DC ，
∴△BCF ≌△DCE ，
∴四边形AECF 的面积=S 正方形ABCD =AB 2=102=100.
(2)延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG,
∵△BCF ≌△DCE ，
∴∠BCF=∠DCE ，
∴∠FCE=∠BCD=90︒,
∵BG ⊥CF ，
∴∠FHM=∠FCE=90︒,
∴BM ∥CE,
∵BC ∥AD,
∴四边形BCEM 是平行四边形，
∴BM=CE.
∵CG CB =，BG ⊥CF ，
∴∠BCH=∠GCH,∠CBM=∠CGB,
∴△BCF ≌△GCF,
∴BF=GF,∠FGC=∠FBC=90︒,
∵∠BAC=45︒，
∴∠AFG=∠BAC=45︒，
∴FG=AG,
∵BC ∥AD,
∴∠CBM=∠AMB,
∴∠AGM=∠CGB=∠CBM=∠AMB,
∴AM=AG,
∵AN ⊥MN ，
∴GM=2MN,
∵∠BAD=∠ANM=90︒,
∴∠ABM+∠AMN=∠MAN+∠AMN=90︒,
∴∠ABM=∠MAN,
∵AM=AG=FG=BF,∠BHF=∠ANM=90︒,
∴△BFH ≌△AMN,
∴FH=MN,
∴GM=2FH,
∵BG+GM=CE,
∴2BG FH CE +=.
【点睛】
此题是四边形的综合题，考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题中注意综合思想的方法积累.
9．（1）16；（2）8813+；（3）5
3935
或. 【解析】试题分析：（1）过点A 作AM ⊥CD 于M ，四边形AMCB 是矩形，AM=BC,AD 是已知的，根据勾股定理求出DM,CM=AB,所以CD 就求出来了；（2）当四边形PBQD 为平行四边形时,点P 在AB 上，点Q 在DC 上，用t 表示出BP ,DQ 的长，满足BP=DQ,求出t 值，则BP ,DQ 即可求出，然后求出CQ,用勾股定理求出BQ ，四边形PBQD 的周长就求出来了；（3）D 从Q 到C 需要8秒，所以t 的范围是0≤t≤8,Q 根据P 所在线段不同，分三种情况讨论，即①当点P 在线段AB 上时，即时，用t 表示出BP 的长，列三角形BPQ 的
面积等于20的方程求解；②当点P 在线段BC 上时，即
时，用t 表示出BP ,CQ 的长，建立三角形BPQ 的面积等于20的方程求解；③当点P 在线段CD 上时，因为他们相遇的时间是，若点P 在Q 的右侧，即6≤t≤，用t 表示出PQ 的长，进而列出面积方程式求解；若点P 在Q 的左侧，即
，用t 表示出PQ 的长，列出面积方程式求
解． 试题解析：（1）过点A 作AM ⊥CD 于M ，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；（2）当四边形PBQD 为平行四边形时，点P 在AB 上，点Q 在DC 上，如图，由题知：AP=3t,BP=10﹣3t ，DQ=2t ，∴10﹣3t=2t ，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，∴
，∴四边形PBQD 的周长=2（BP+BQ ）
=；
（3）①当点P 在线段AB 上时，到B 点时是秒，即时，如图，BP=10﹣3t ，
BC=8，∴，∴．
②当点P 在线段BC 上时，P 到达C 点t 值时6秒，即
时，如图，BP=AB+BP-AB=3t ﹣10，DQ=2t,CQ=16﹣2t ，∴，化简得：3t 2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．此种情况不存在三角形BPQ 的面积是20；
③当点P 在线段CD 上时，P 点与Q 点相遇时,可列2t+3t=10+8+16,t=
,相遇时间是，若点P 在Q 的右侧，即6≤t≤，则有PQ=34-（2t+3t ）=34﹣5t ，于是()13458202
BPQ s t ∆=-⨯=，解此方程得： ＜6，舍去，若点P 在Q 的左侧，即
，则有PQ=2t+3t-34=5t ﹣34，可列方程：
，解得：t=7．8．∴综合得出满足条件的t 值存在，其
值分别为，t 2=7．8．
考点：1．动点问题；2．分类讨论三角形面积；3．梯形，矩形与三角形综合知识．．
10．（1）12；（2）13
AD AC =．
【分析】
（1）易证四边形CDEB 是矩形，由条件“四边形ADBE 是平行四边形可得AD ＝EB ＝DC ，从而得到AD AC 的值． （2）由题可知当DE AC ⊥时，DE 最短，可以证到四边形DCBE 是矩形．从而可以得到各边关系从而求出
AD AC 的值． 【详解】
解：（1）∵四边形ADBE 是平行四边形，
∴AD ∥BE ，AD ＝BE ．
∵DE ⊥AC ，∠ACB ＝90°，
∴∠ADE ＝∠C ＝90°．
∴DE ∥BC ．
∵DC ∥BE ，DE ∥BC ，∠C ＝90°，
∴四边形DCBE 是矩形．
∴EB ＝DC ．
∴AD ＝DC ．
∴AD AC
=＝12． 故答案为：
12．
（2）如图，由题可知当DE AC ⊥时，DE 最短．最小值是6．
∵四边形FDBE 是平行四边形，
∴//DF BE ，DF BE =．
∵DE AC ⊥，90C ∠=︒，
∴90ADE C ∠=∠=︒．
∴//DE BC ．
∴四边形CDEB 是平行四边形，
又∵90C ∠=︒，
∴四边形CDEB 是矩形．
∴BE CD =，6DE BC ==．
∴DF CD =．
∵AF AD =，
∴2DC DF AD ==．
∴3AC AD DC AD =+=． ∴
13
AD AC =． 【点睛】 本题考查了平行线之间的距离、平行线的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，具有一定的综合性；本题还考查了阅读能力，体现了自主探究与合作交流相结合的新课程理念，是一道好题．。