成都四川师范大学附属中学中考数学几何综合压轴题模拟专题

成都四川师范大学附属中学中考数学几何综合压轴题模拟专题
一、中考几何压轴题
1．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为；
②线段AD，BE之间的数量关系为．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
2．（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C 重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；
（探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
3．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，3
AB ，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
思考探索
（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．
①点B '在以点E 为圆心，_________的长为半径的圆上； ②B M '=_________；
③DB C '为_______三角形，请证明你的结论． 拓展延伸
（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．
①ABB '面积的最大值为____________；
②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接,PQ AQP AB E '∠=∠，则2B C PQ '+的最小值为____________．
4．问题探究：
（1）如图①，已知在△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，则AB 的最大值是 ． （2）如图②，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为△ABC 内一点，且AD ＝27，BD ＝2．，CD ＝6，请求出∠ADB 的度数． 问题解决：
（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC ，且AB ＝A C ．∠BAC ＝120°，点A 、B 、C 分别是三个任务点，点P 是△ABC 内一个打卡点．按照设计要求，CP ＝30米，打卡点P 对任务点A 、B 的张角为120°，即∠APB ＝120°．为保证游戏效果，需要A 、P 的距离与B 、P 的距离和尽可能大，试求出AP +BP 的最大值．
5．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．
如图，G ，H 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG =CH ，E ，F 分别是边AB 和CD 的中点
求证：四边形EHFG 是平行四边形 证明：连接EF 交AC 于点O ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB =CD ，AB ∥CD
又∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点 ∴AE =CF 又∵AB ∥CD ∴∠EAO =∠FCO 又∵∠AOE =∠COF ∴△AOE ≌△COF
请补全上述问题的证明过程．
（探究）如图①，在△ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO 的中点，连结DE 、EF ，将△DEF 绕点O 旋转180°得到△DGF ，若四边形DEFG 的面积为8，则△ABC 的面积为 ．
（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为 ．
6．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC BC =，DE AE =，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当60ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则线段BD 、CE 之
间的数量关系是_________，CEB ∠=_________︒； （2）拓展探究：
如图②，当ACB AED α∠=∠=时，点B 、D 、E 不在同一直线上，连接CE ，求出线段BD 、CE 之间的数量关系及BD 、CE 所在直线相交所成的锐角的大小（都用含α的式子表示），并说明理由： （3）解决问题：
如图③，90ACB AED ∠=∠=︒，10AC =，2AE =，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当CE 所在的直线垂直于AD 时，请你直接写出BD 的长． 7．（问题探究）
（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．
①请探究AD 与BD 之间的位置关系？并加以证明． ②若AC ＝BC ＝10，DC ＝CE ＝2，求线段AD 的长． （拓展延伸）
（2）如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝21，BC ＝7，CD ＝3，CE ＝1．将△DCE 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α
＜360°），作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．
8．在ABC 与CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒且CAB CDE θ∠=∠=︒，点D 始终在线段AB 上（不与A 、B 重合）．
（1）问题发现：如图1，若45θ=度，DBE ∠的度数______，BE
AD
=______； （2）类比探究：如图2，若30θ=度，试求DBE ∠的度数和
BE
AD
的值； （3）拓展应用：在（2）的条件下，M 为DE 的中点，当3AC =BM 的最小值为多
少？直接写出答案．
9．如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点P 在斜边AB 上，点D ､E ､F 分别是线段PA ､PB ､PC 的中点，易知DEF 是直角三角形．现把DEF 以点P 为中心，顺时针旋转α，其中0360α︒<<︒．连接AD ､BE ､CF ．
（1）操作发现
如图2，若点P 是AB 的中点，连接PF ，可以发现=AD CF ______CF
BE
=______； （2）类比探究
如图3，Rt ABC 中，CP AB ⊥于点P ，请判断AD CF 与CF BE
的大小，结合图2说明理由； （3）拓展提高
在（2）的条件下，如果30CAB ∠=︒，且4AB =，在DEF 旋转的过程中，当以点C ､D ､F ､P 四点为顶点的四边形与以点B ､E ､F ､P 四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段AD ､CF ､BE 的长． 10．综合与实践 操作探究
（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，AC 与EF 交于点G ．请回答下列问题：
①与AEG △全等的三角形为______，与AEG △相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：
②若连接AF 、CE ，请判断四边形AFCE 的形状：______．并证明你的结论； 拓展延伸
（2）如图2，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点M 、N 分別在AB 、DC 边上，且
AM NC =，将矩形折叠，使点M 与点N 重合，折痕为EF ，MN 与EF 交于点G ，连接ME ．
①设22m AM AE =+，22n ED DN =+，则m 与n 的数量关系为______； ②设AE a =，AM b =，请用含a 的式子表示b ：______； ③ME 的最小值为______．
11．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股点．已知点M 、N 是线段AB 的勾股点，若AM ＝1，MN ＝2，则BN ＝ ．
（1）（类比探究）如图2，DE 是△ABC 的中位线，M 、N 是AB 边的勾股点（AM ＜MN ＜NB ），连接 CM 、CN 分别交DE 于点G 、H ．求证：G 、H 是线段DE 的勾股点． （2）（知识迁移）如图3，C ，D 是线段AB 的勾股点，以CD 为直径画⊙O ，P 在⊙O 上，AC ＝CP ， 连结PA ，PB ，若∠A ＝2∠B ，求∠B 的度数． （3）（拓展应用）如图4，点P （a ，b ）是反比例函数y =
2
x
（x ＞0）上的动点，直线2y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，过点P 分别向x 、y 轴作垂线，垂足为C 、D ，且
交线段AB 于E 、F ．证明：E 、F 是线段AB 的勾股点．
12．探究：如图1和图2，四边形ABCD 中，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF ＝45°．
（1）①如图1，若∠B 、∠ADC 都是直角，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，直接写出线段BE 、DF 和EF 之间的数量关系 ；
②如图2，若∠B 、∠D 都不是直角，但满足∠B +∠D ＝180°，线段BE 、DF 和EF 之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2．点D 、E 均在边BC 边上，且∠DAE ＝45°，若BD ＝1，求DE 的长．
13．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．
（1）概念理解：
如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足
DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：
如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点
A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线C
B 运动，当点E 运动至点
C 时，两点同时停止运动．
D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD
与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，
MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．
（3）应用拓展：
如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明．
14．某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决： [数学理解]
(1)点P 是线段AB 垂直平分线上的一点，则:PA PB 的值为 ； [拓展延伸]
(2)在平面直角坐标系xOy 中，点()6,0C ， 点Q 在x 轴上，且:O 1:2QO C =， 则点Q 的坐标为 ．
(3)经小组探究发现，如图，延长线段DE 到点F ，使1
3
EF DE =，以点F 为因心，2EF 长
为半径作园，则对于OF 上任一点T ，都有2TD TE =，请你证明这个结论：
[问题解决]
(4)如图，某人乘船以25千米/时的速度沿一笔直的河l从码头G到码头M，再立即坐车沿一笔直公路以75千米/时的速度回到住处H，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河l边上确定码头M的位置．(请画出示意图并简要说明理由)
15．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE ＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．
（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；
（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝413，AB＝439，AG＝4，AE＝43，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长
16．综合与实践
问题情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E是射线AD上的一个动点(不与点A重合)将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接CF交线段AB于点G，交AD于点H、连接EG．
特例分析:
(1)如图1，当点E 与点D 重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答： ①求证：AF=CD ；
②用等式表示线段CG 与EG 之间的数量关系为：_______； 拓展探究:
(2)如图2，当点E 在线段AD 的延长线上，且DE=AD 时，“博睿”小组发现CF=2EG ．请你证明；
(3)如图3，当点E 在线段AD 的延长线上，且AE=AB 时，EG
CF
的值为_______； 推广应用:
(4)当点E 在射线AD 上运动时，
AE m AD n =，则EG
CF
的值为______用含m.n 的式子表示)． 17．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，
,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____； （2）探究证明
把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值． 18．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD 中，∠C=∠D=90°，点E 在边CD 上，∠AEB=90°，求证：
AE EB =DE
CB
． （探究）（2）如图②，在四边形ABCD 中，∠C=∠ADC=90°，点E 在边CD 上，点F 在边AD 的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且
EF EG =AE
EB
，连接BG 交CD 于点H ．求证：BH=GH ． （拓展）（3）如图③，点E 在四边形ABCD 内，∠AEB+∠DEC=180°，且
AE EB =DE
EC
，过E 作EF 交AD 于点F ，若∠EFA=∠AEB ，延长FE 交BC 于点G ．求证：BG=CG ．
19．（教材呈现）下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．
例6：如图18.2.12，G 、H 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，E 、 F 分别是边AB 和CD 的中点．
图18.2.12
求证：四边形EHFG 是平行四边形． 证明：连结EF 交AC 于点O ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．
又∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝CF ． 又∵AB ∥CD ， ∴∠EAO ＝∠FCO ． 又∵∠AOE ＝∠COF , ∴
AOE COF ≅．
请补全上述问题的证明过程．．．．．．．．．．．．
． （探究）如图①，在ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO
的中点，连结DE 、EF ，将DEF 绕点O 旋转180°得到DGF △，若四边形DEFG 的面积为8，则ABC 的面积为 ．
（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为 ．
20．（1）问题提出：如图①，在矩形ABCD 中，3AB AD =，点E 为边BC 上一点，连接AE ，过点E 作对角线AC 的垂线，垂足为F ，点M 为AE 的中点，连接MB ，MF ，BF ．可知MBF 的形状为______；
（2）深人探究：如图②，将CEF △在平面内绕点C 顺时针旋转，请判断MBF 的形状是否变化，并说明理由；（提示：延长EF 到E '，使E F EF '=；延长AB 到A '，使A B AB '=，连接CE '，AE '，A E '，构造全等三角形进行证明）
（3）拓展延伸：如果3AD =，2CE =，在CEF △旋转过程中，当点A ，E ，F 在同一条直线上时，请直接写出MF 的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、中考几何压轴题
1．（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，证明见解析；（3），
【分析】
（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一
解析：（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，证明见解析；（3
）
【分析】
（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．
（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．【详解】
解：（1）①如图1．∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∵
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案为：AD=BE．
（2）∠AEB =90°，AE =BE +2CM ．
理由：如图2．∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，
∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，
∴∠ACD =∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，
CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD =BE ，∠ADC =∠BEC ．
∵△DCE 为等腰直角三角形，
∴∠CDE =∠CED =45°．
∵点A ，D ，E 在同一直线上，
∴∠ADC =135°，
∴∠BEC =135°，
∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CED =90°．
∵CD =CE ，CM ⊥DE ，
∴DM =ME ．
∵∠DCE =90°，
∴DM =ME =CM ，
∴AE =AD +DE =BE +2CM ．
（3）点A 到BP 31-31+．理由如下： ∵PD =1， ∴点P 在以点D 为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD =90°，
∴点P 在以BD 为直径的圆上，
∴点P 是这两圆的交点．
①当点P 在如图3①所示位置时，连接PD 、PB 、PA ，作AH ⊥BP ，垂足为H ，过点A 作AE ⊥AP ，交BP 于点E ，如图3①．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADB =45°．AB =AD =DC =BC =2，∠BAD =90°，
∴BD =2．
∵DP =1，
∴BP =3．
∵∠BPD =∠BAD =90°，
∴A 、P 、D 、B 在以BD 为直径的圆上， ∴∠APB =∠ADB =45°，
∴△PAE 是等腰直角三角形．
又∵△BAD 是等腰直角三角形，点B 、E 、P 共线，AH ⊥BP ，
∴由（2）中的结论可得：BP =2AH +PD ， ∴3=2AH +1，
∴AH =312
-．
②当点P 在如图3②所示位置时，连接PD 、PB 、PA ，作AH ⊥BP ，垂足为H ，过点A 作AE ⊥AP ，交PB 的延长线于点E ，如图3②．
同理可得：BP =2AH ﹣PD ，
∴3AH ﹣1，
∴AH 31+． 综上所述：点A 到BP 31-31+．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．
2．（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由见解析；（3）画出图形见解析，线段BE的长度为．
【分析】
（1）由题意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，从而可证△ABD≌△ACE，然后根据三
解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由见解析；（3）画出图形见解析，线段
BE的长度为12
5
．
【分析】
（1）由题意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，从而可证△ABD≌△ACE，然后根据三角形全等的性质可求解；
（2）连接BD，由题意易得∠BAD=∠CAE，进而可证△BAD≌△CAE，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；
（3）如图，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根据相似三角形的性质及题意易证△BAE∽△CAD，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE ＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD ＝CE ，BD ⊥CE ；
（2）BD ⊥CE ，
理由：如图2，连接BD ，
∵在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠AEC ＝45°，
∵∠CAB ＝∠DAE ＝90°，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
∵AC ＝AB ，AE ＝AD ，
∴△CEA ≌△BDA （SAS ），
∴∠BDA ＝∠AEC ＝45°，
∴∠BDE ＝∠ADB +∠ADE ＝90°，
∴BD ⊥CE ；
（3）如图3，过A 作AF ⊥EC ，
由题意可知Rt △ABC ∽Rt △AED ，∠BAC ＝∠EAD ＝90°， ∴AB AC AE AD =，即AB AE AC AD
=， ∵∠BAC ＝∠EAD ＝90°，
∴∠BAE ＝∠CAD ，
∴△BAE ∽△CAD ，
∴∠ABE ＝∠ACD ，
∵∠BEC ＝180°﹣（∠CBE +∠BCE ）＝180°﹣（∠CBA +∠ABE +∠BCE ）＝180°﹣
（∠CBA +∠ACD +∠BCE ）＝90°，
∴BE ⊥CE ，
在Rt △BCD 中，BC ＝2CD ＝4，
∴BD 22224225BC CD ++
∵AC ⊥BD ，
∴S △BCD ＝12AC •BD ＝1
2BC •AC ，
∴AC ＝AE
AD ，
∴AF =45，CE ＝2CF ＝165
=，
∴BE 125=． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解．
3．（1）①；②；③等边，证明见解析；（2）①3；②．
【分析】
（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；
（2）①由题
解析：（1）①BE ；②3；③等边，证明见解析；（2）①3； 【分析】
（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=BC CD =，即可求解；
（2）①由题意知点B'在以点E 为圆心，半径长为2的圆上，△ABB'的面积要最大，只要以AB 为底的高最长即可，此时当B'E ⊥AB 时，△ABB'的面积最大；
②当E 、B′、C 三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ 取得最小值，且最小值为EC 的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：（1）根据折叠的性质知：BE=B′E ，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=32， ∠B=∠EB′C=90︒，
①点B′在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上；
②B′M=MN - B′N=MN
=3
=3
BC CD =，
∴△DB'C 为等边三角形；
故答案为：①BE ，②3332-，③等边； （2）①∵AB=3=3AE ，
∴AE=1，BE=2， 故点B'在以点E 为圆心，半径长为2的圆上，
∴△ABB'的面积要最大，只要以AB 为底的高最长即可，
∴当B'E ⊥AB 时，△ABB'的面积最大，如图：
△ABB'的面积最大值1132322
AB E B =
⨯=⨯⨯='； ②∵∠AQP=∠AB'E ，
∴PQ ∥B'E ，
∵P 为AE 的中点，
∴Q 为AB'的中点， ∴PQ 为△AEB'的中位线，
∴PQ=12EB'，即12
EB'=2PQ ， ∴B'C+2PQ= B'C+ EB'，
当E 、B′、C 三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ 取得最小值，
且最小值为EC 的长，
∴22223213BC BE ++=
∴B'C+2PQ 13
故答案为：①3；13
【点睛】
本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当B'E ⊥AB 时，△ABB'的面积最大；②当E 、B′、C 三点共线
时，B'C+2PQ取得最小值，是解本题的关键．
4．（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值为米
【分析】
（1）作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得结论；（2）将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT
解析：（1）42（2）135°（3）PA+PB的最大值为203米
【分析】
（1）作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=22，可得结论；
（2）将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT，利用勾股定理的逆定理证明∠CTD＝90°，可得结论；
（3）将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK交PA延长线于J，作△PJC的外接圆O，连接OP，OC，OJ，证明PA+PB =JC，再求出JC的最大值即可求解．
【详解】
（1）如图①，作△ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，
∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC
∴△OBC是等腰直角三角形
∵BC=4
∴OB=OC=22=OA
∵AB≤OA+OB
∴AB≤42
∴AB的最大值为42
故答案为：42；
（2）如图②，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT
由题意可得DT22CT=AD7
∵CD=6
∴222
+=
DT CT CD
∴∠CTD＝90°，
∵△BDT是等腰直角三角形
∴∠DTB=45°
∴∠CTB=45°+90°=135°
∴∠ADB=∠CTB=135°
（3）如图③，将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK交PA延长线于J，作△PJC的外接圆O，连接OP，OC，OJ
∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°
∴∠JAK＝∠JKA＝60°
∴∠AJK＝60°
∴△JAK是等边三角形
∴AK=KJ
∴∠COP＝2∠AJK＝120°
∵PC=30
∴OP=OC=OJ=
1
2103 cos30
PC
=
︒
∵CJ≤OJ+OC
∴CJ≤203
∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC
∴PA+PB的最大值为203米．
【点睛】
此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是熟知三角形外接圆的性质、三角函数的应用、旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用及三角形的三边关系的应用．5．教材呈现：见解析；探究：16；拓展：4
【分析】
教材呈现：先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；
探究：先由旋转的性质可得，再根据等底同高可得，从而可
解析：教材呈现：见解析；探究：16；拓展：42 【分析】 教材呈现：先根据三角形全等的性质可得,OE OF OA OC ==，再根据线段的和差可得OG OH =，然后根据平行四边形的判定即可得证；
探究：先由旋转的性质可得4DGF S
=，再根据等底同高可得2ADE DOE EOF S S S ===，从而可得4AOE S =，然后根据三角形中位线定理即可得；
拓展：先根据正方形的性质和面积可得4,90AB BC B ==∠=︒，从而可得
42,4,2AC GH AE ===，再根据等腰直角三角形和勾股定理可得2OE =，然后利用三角形的面积公式可得22EGH S
=，最后利用平行四边形的性质即可得．
【详解】 解：教材呈现：补充完整证明过程如下：
∴OE ＝OF ，OA ＝OC ，
又∵AG ＝CH ，
∴OA －AG ＝OC －CH ，即OG ＝OH ，
∴四边形EHFG 是平行四边形；
探究：如图，连接OE ，BO ，
由旋转的性质得：118422
DGF DEF DEFG S S S ===⨯=四边形， 点O 是AC 的中点，点D 是AO 的中点，点F 是CO 的中点，
AD OD OF CF ∴===，
由等底同高得：114222ADE DOE EOF DEF S
S S S ====⨯=， 224AOE ADE DOE S S S ∴=+=+=，
又点E 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，
∴S △BEO =S △AEO =4，
∴S △ABO = S △BEO +S △AEO =8，
22816ABC AOB S S ∴==⨯=，
故答案为：16；
拓展：如图，过点E 作EO GH ⊥于点O ，
四边形ABCD 是面积为16的正方形，
4,90AB BC B ∴==∠=︒，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得22224424A C B B A C ++=
∵AC 为正方形的对角线，
∴∠EAO =45°，
点E 是AB 的中点， 122AE AB ∴==， ∵EO GH ⊥，
∴45AEO EAO ∠=∠=︒，
∴AO =EO ，
在Rt △AEO 中由勾股定理的AO 2+EO 2=AE 2，即2OE 2=4
解得2OE =，
GH AB =， 4GH ∴=，
11422222
EGH S GH OE ∴=⋅=⨯⨯=， 由教材呈现可知，四边形EHFG 是平行四边形，
则四边形EHFG 的面积为222242EGH S
=⨯=，
故答案为：42．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形中线性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等知识点，较难的是拓展，通过作辅助线，构造等腰直角三角形是解题关键．
6．（1），60；（2），；（3）或
【分析】
（1）证明，得出，，即可得出结论；
（2）证明，即可得出结论；
（3）先判断出，再求出，①当点在点上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，
解析：（1）BD CE =，60；（2）2sin 2BD EC α=⋅⋅，902α︒-；（3）242【分析】
（1）证明ACE ABD ∆≅∆，得出CE BD =，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论；
（2）证明ACE ABD ∆∆∽，即可得出结论；
（3）先判断出2BD CE =，再求出25AB =，①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出2AP DP AE ===，再根据勾股定理求出，32BP =，得出22BD =；
②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，2AP DP AE ===，32BP =，进而得出42BD BP DP =+=，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图①中，
在ABC ∆为等腰三角形，AC BC =，60ACB ∠=︒，
ABC ∆∴是等边三角形，
AC AB ∴=，60CAB ∠=︒，
同理：AE AD =，60AED ADE EAD ∠=∠=∠=︒，
EAD CAB ∴∠=∠，
EAC DAB ∠=∠∴，
()ACE ABD SAS ∴∆≅∆，
CE BD ∴=，AEC ADB ∠=∠，
点B 、D 、E 在同一直线上，
180120ADB ADE ∴∠=︒-∠=︒，
AEC 120∴∠=︒，
60CEB AEC AEB ∴∠=∠-∠=︒，
故答案为：BD CE =，60．
（2）如图②中，2sin 2BD CE α=⋅，BD 、CE 所在直线相交所成的锐角的大小为902α︒-． 理由：延长BD 交CE 的延长线于T ，设AE 交BT 于点O ．
在等腰三角形ABC 中，AC BC =，ACB α∠=，
2sin 2AB AC α
∴=⋅，
同理，2sin 2AD AE α
=⋅，
∴AE AC AD AB =，DAE CAB ∠=∠， EAC DAB ∠=∠∴，
ACE ABD ∴∆∆∽，
∴2sin 2
BD AB EC AC α==， ECA DBA ∴∠=∠，2sin 2
BD EC α
=⋅⋅， COT AOB ∠=∠， 902CTO CAB α
∴∠=∠=︒-．
BD ∴、CE 所在直线相交所成的锐角的大小为902α︒-
．
（3）由（2）知，ACE ABD ∆∆∽，
2BD CE ∴=， 在Rt ABC △中，10AC =，
225AB AC ∴==，
①当点E 在点D 上方时，如图③，
过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，
当CE AD ⊥时，可证135AEC ADB ∠=∠=︒，
45ADE ∠=︒，
90EDB ∴∠=︒，
90PDE AED APD ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形APDE 是矩形，
AE DE =，
∴矩形APDE 是正方形，
2AP DP AE ∴===，
在Rt APB 中，根据勾股定理得，2222(25)(2)32BP AB AP =-=-=，
22BD BP PD ∴=-=．
②当点E 在点D 下方时，如图④
同①的方法得，2AP DP AE ==32BP =
42BD BP DP ∴=+=
综上所述，BD 的长为22或42．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出△ACE ∽△ABD 是解本题的关键． 7．（1）①，证明见解析；②4；（2）画图见解析，或
【分析】
（1）①由“”可证，可得，可得；②过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长；
（2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似
解析：（1）①AD BD ⊥，证明见解析；②4；（2）画图见解析，33或23
【分析】
（1）①由“SAS ”可证ACD BCE ≅∆∆，可得45ADC BEC ∠=∠=︒，可得AD BD ⊥；②过点C 作CF AD ⊥于点F ，由勾股定理可求DF ，CF ，AF 的长，即可求AD 的长； （2）分点D 在BC 左侧和BC 右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）ABC ∆和DEC ∆均为等腰直角三角形，
AC BC ∴=，CE CD =，45ABC DEC CDE ∠=∠=︒=∠，
90ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，且AC BC =，CE CD =，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
45ADC BEC ∴∠=∠=︒，
90ADE ADC CDE ∴∠=∠+∠=︒，
AD BD ∴⊥，
故答案为：AD BD ⊥；
②如图，过点C 作CF AD ⊥于点F ，
45ADC ∠=︒，CF AD ⊥，2CD =，
1DF CF ∴==， 223AF AC CF ∴=-=，
4AD AF DF ∴=+=，
故答案为：4；
（2）若点D 在BC 右侧，
如图，过点C 作CF AD ⊥于点F ，
90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC 7BC =3CD =1CE =．
ACD BCE ∠∠∴=，3AC CD BC CE
=， ACD BCE ∴∆∆∽， ADC BEC ∠∠∴=，
3CD =1CE =， 222DE DC CE ∴+， ADC BEC ∠=∠，90DCE CFD ∠=∠=︒，
DCE CFD ∴∆∆∽，
∴DE DC CE DC CF DF
==， 313DF =， 32CF ∴=，3DF =， 2253AF AC CF ∴=- 33AD DF AF ∴=+=
若点D 在BC 左侧，
90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC 7BC =3CD =1CE =．
ACD BCE ∠∠∴=，
3AC CD BC CE
=， ACD BCE ∴∆∆∽， ADC BEC ∠∠∴=，
CED CDF ∴∠=∠， 3CD =1CE =，
222DE DC CE ∴+，
CED CDF ∠=∠，90DCE CFD ∠=∠=︒，
DCE CFD ∴∆∆∽， ∴DE DC CE DC CF DF
==， 313DF =， 32CF ∴=，3DF =， 2253AF AC CF ∴=- 23AD AF DF ∴=-=
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．
8．（1）90度；1；（2）的度数为90度，的值为；（3）BM 的最小值为1．
【分析】
（1）度，利用SAS 证明，即可得出，的值为1；
（2）度，证明，即可得出，；
（3）当CD 最小时，即CD 垂直于AB
解析：（1）90度；1；（2）DBE ∠的度数为90度，
BE AD 33）BM 的最小值为1．
【分析】
（1）45θ=度，利用SAS 证明ACD BCE ≅△△，即可得出90DBE CBA CBE ∠=∠+∠=°，BE AD
的值为1； （2）30θ=度，证明BCE ACD ∽
△△，即可得出90DBE DBC EBC ∠=∠+∠=︒，
BE BC AD AC ===； （3）当CD 最小时，即CD 垂直于AB 时，CD 最小，此时DE 最小，而BM 是直角三角形DBE 斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【详解】
（1）①∵90ACB DCE ∠=∠=︒
∴ACB DCB DCE DCB ∠-∠=∠-∠
∴ACD BCE ∠=∠
∵=45CAB CDE θ∠=∠=︒︒，90ACB DCE ∠=∠=︒
∴=45CBA CED ∠∠=︒
∴AC BC =，CD CE =
∴()ACD BCE SAS ≅△△
∴BE AD =，=45CBE CAD ∠∠=︒
∴90DBE CBA CBE ∠=∠+∠=°，BE AD
的值为1；
（2）在Rt CAB △中，30CAB ∠=︒，令BC a =，则AC =，同理令CE b =，DC =
∴
BC a CE b =，AC a CD b = ∴BC AC CE CD
=① ∵90ACB DCE ∠=∠=︒
即90ACD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠=︒
∴ACD BCE ∠=∠②
有①②得BCE ACD ∽
△△
∴
BE BC AD AC === 30CAD ∠=︒EBC =∠
∴90DBE DBC EBC ∠=∠+∠=︒
（3）在Rt CDE △中，cos30CD DE ︒=
=，
∴DE ， 当CD 最小时，即CD 垂直于AB 时，CD 最小，此时DE 最小，
而AC =∴CD =
而BM 是直角三角形DBE 斜边上的中线，
∴123126BM DE CD === 【点睛】
本题涉及全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、特殊的三角函数值和直角三角形的性质．是一个综合性比较强的题目，要熟练掌握各个知识点．
9．（1）1，1；（2）结论：，理由见解析；（3），，．
【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质以及全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图3中，连接．利用相似三角形的性质解决问题即可． 解析：（1）1，1；（2）结论：AD CF CF BE =，理由见解析；（3）32
BE =，32CF =，332AD =． 【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质以及全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论：AD CF CF BE
=．如图3中，连接PF ．利用相似三角形的性质解决问题即可． （3）分两种情形：如图41-中，当//PC DF 时，满足条件，如图42-中，当点D 落在AC 上时，四边形CDPF 是矩形，四边形PEBF 是矩形，分别求解即可．
【详解】
解：（1）如图2中，连接PF ，BE ．
90ACB ∠=︒，AP PB =，
PC PA PB ∴==，
90DFE ∠=︒，PD PE =，
PF PD PE ∴==，
APC DPF ∠=∠，
APD CPF ∴∠=∠，
()APD CPF SAS ∴△≌△，
AD CF ∴=，
∴1AD CF
=，
同法可证，BPE CPF △≌△， CF BE ∴=， ∴1CF BE
=． 故答案为1，1． （2）结论：
AD CF CF BE =． 理由：如图3中，连接PF ．
PC AB ⊥，PF DE ⊥， 90APC DPF ∴∠=∠=︒， APC DPF △∽△， ∴
AP PC DP PF =， ∴AP DP PC PF
=， 90APC DPF ∠=∠=︒， APD CPF ∴∠=∠， ∴
AD PA CF PC =， 同法可证，CPF BPE △∽△， ∴CF PC BE PB
=， 90ACB ∠=︒，CP AB ⊥， APC CPB ∴△∽△， ∴
PA PC PC PB =， ∴AD CF CF BE
=． （3）如图41-中，当//PC DF 时，
30CAB ∠=︒，90APC ∠=︒，
12
PC AC ∴=， 12
DF AC =， DF PC ∴=，
∴四边形PCFD 是平行四边形， 90EFD ∠=︒，
EF DF ∴⊥，
EF PC ∴⊥，
PC AB ⊥，
//PB EF ∴，
同法可证，1
2BP EF BC ==，
∴四边形PBEF 是平行四边形，
//BE PF ∴，
90BEP EPF ∴∠=∠=︒，
4AB =，30CAB ∠=︒，90ACB ∠=︒，
122
BC AB ∴==， CP AB ⊥，60ABC ∠=︒，
90CPB ∴∠=︒，30PCB ∠=︒，
112
PB PB ∴==， 60EPB DEF ∠=∠=︒，
3sin 60BE PB ∴=︒= 由（2）可知，
3AD CF AP CF BE PC === 32CF ∴=，33AD =． 如图42-中，当点D 落在AC 上时，四边形CDPF 是矩形，四边形PEBF 是矩形，。