【广东省汕头】2017学年普通高考第三次模拟考试数学年(理科)试题答案

广东省汕头市2017年普通高考第三次模拟考试数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|3}A x x =∈<N ,{|,,}B x x a b a A b A ==-∈∈,则A B =( )
A ．{1,2}
B ．{2,1,1,2}--
C ．{1}
D ．{0,1,2}
2．已知z 是z 的共轭复数,且||34i z z -=+,则z 的虚部是( ) A ．
76
B ．76
-
C ．4
D ．4-
3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,75324,5S S a -==,则7S =( ) A ．25
B ．49
C ．15
D ．40
4．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案,是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系,得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方
程ˆˆˆy
bx a =+,其中ˆ 2.4b =,ˆˆa y bx =-,据此模型预测广告费用为9万元时,销售轿车台数为( )
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
6．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子,每个盒子放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,则不同的放法总数是( ) A ．40
B ．60
C ．80
D ．100
7．已知函数20172017
log 3sin ,0()log ()sin ,0m x x x f x x n x x +>⎧=⎨-+<⎩为偶函数,则m n -=( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位：寸),若π取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x 为( ) A ．1.2
B ．1.6
C ．1.8
D ．2.4
9．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切,则该双
曲线的离心率等于( )
A
B ．2
C
D
10．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,
其初始位置为01(2A ,12秒旋转一
周,则动点A 的纵坐标y 关于时间t (单位：秒)的函数解析式为( )
A ．ππsin()36y t =+
B ．ππ
cos()63y t =+
C ．ππ
sin()63y t =+
D ．ππ
cos()36
y t =+
11．记不等式1033010x y x y x y -+⎧⎪
--⎨⎪+-⎩≥≤≥所表示的平面区域为D ,若对任意00(,)x y D ∈,不等式0020x y c -+≤恒成立,则
c 的取值范围是( )
A ．(,4]-∞
B ．(,2]-∞
C ．[1,4]-
D ．(,1]-∞-
12．已知函数2()(3)e x f x x =-,设关于x 的方程2212
()()0()e
f x mf x m --=∈R 有n 个不同的实数解,则n 的所有可能的值为( ) A ．3
B ．1或3
C ．4或6
D ．3或4或6
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：每题5分,满分20分．
13．10()x y -的展开式中,73x y 的系数与37x y 的系数之和等于________．
14．已知||3,||4,0a b a b ===,若向量c 满足()()0a c b c --=,则||c 的取值范围是________．
15．已知2cos sin αα=,则
41
cos sin αα
+=________． 16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”
问题的解
法传至欧洲1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”、“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列的项数为________．
三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2sin()2sin ()24
C A B π
-=-． （Ⅰ）求sin cos A B 的值；
（Ⅱ）若
a b =
,求B ．
18．如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ABCD ⊥底面,2AD DC SD ==,点M 在侧棱
SC 上,°60ABM ∠=．
（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点； （Ⅱ）求二面角S AM B --的余弦值．
19．某厂有4台大型机器,在一个月中,一台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名维修工人进行维修,每台机器出现故障需要维修的概率为1
3
． （Ⅰ）若出现故障的机器台数为x ,求x 的分布列；
（Ⅱ）该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？
（Ⅲ）已知一名维修工人每月只有维修1台机器的能力,每月需支付给每位维修工人1万元的工资,每台机器不出现故障或出现故障能及时维修,就使该厂产生5万元的利润,否则将不产生利润,若该厂现有2名维修工人,求该厂每月获利的均值．
20．如图,已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=＞相交于,,,A B C D 四个点． （Ⅰ）求r 的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线AC BD 、的交点P 的坐标．
21．已知函数(),()(1)ln x
f x
g x k x x
=
=-． （Ⅰ）证明：k ∀∈R ,直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；
（Ⅱ）若2
[e,e ]x ∃∈,使得1
()()2
f x
g x +
≤成立,求实数k 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,
已知点P ,曲线C 的参数方程为
()2sin x y ϕ
ϕϕ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数．以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l
的极坐标方程为2cos()
6
ρθ=
-． （Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点分别为,A B ,求11||||
PA PB +的值． 23．选修4-5：不等式选讲
已知()||,()|3|f x x a g x x x =+=+-,记关于x 的不等式()()f x g x ＜的解集为M ． （Ⅰ）若3a M -∈,求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若[1,1]M -⊆,求实数a 的取值范围．。