诱导公式、图像与性质

三角函数的诱导公式、图像与性质
I、知识点梳理
一、六组诱导公式
二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
II、教材回归
1、[课本改编]已知α是第二象限角，sin α＝
5
13
，则cos α＝( ) A 、－1213 B 、－513 C 、513 D 、1213
2、[2013·广东高考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝1
5，那么cos α等于( ) A 、－25 B 、－15 C 、15 D 、2
5
3、[2015·桂林检测]cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
－
20π3＝( ) A 、12 B 、32 C 、－12 D 、－3
2
4、[2015·衡水模拟]已知△ABC 中，tan A ＝－5
12
，则cos A ＝( ) A 、
1213 B 、513 C 、－513 D 、－1213
5、(2009·陕西)若tan α＝2，则
2sin α－cos α
sin α＋2cos α
的值为( )
A 、0
B 、34
C 、1
D 、5
4
6、[课本改编]已知tan θ＝2，则
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π
2
＋θ－cos π－θ sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2
－θ－sin π－θ ＝________.
7、[课本改编]下列说法正确的是( )
A 、函数y ＝cos x 在第一象限内是减函数
B 、函数y ＝tan x 在定义域内是增函数
C 、函数y ＝sin x cos x 是R 上的奇函数
D 、所有周期函数都有最小正周期
8、[课本改编]函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－x 的定义域是( )
A 、⎩
⎪⎨⎪⎧
x ⎪⎪⎪
⎭
⎪⎬
⎪⎫x ≠
π4，x ∈R B 、⎩⎪⎨⎪⎧
x ⎪⎪⎪
⎭
⎪⎬
⎪⎫x ≠－
π4，x ∈R
C 、⎩⎪⎨⎪
⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬
⎪
⎫x ≠k π
－3π4，k ∈Z ，x ∈R D 、⎩⎪⎨⎪
⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬
⎪
⎫x ≠k π
＋3π4，k ∈Z ，x ∈R
9、[课本改编]若函数f (x )＝－cos2x ，则f (x )的一个递增区间为( )
A 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0
B 、⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2
C 、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4
D 、⎝
⎛⎭
⎪⎫
3π4，π
10、[2015· 福建模拟]函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A 、x ＝π4 B 、x ＝π2 C 、x ＝－π4 D 、x ＝－π
2
11、[2013·天津高考]函数f (x )＝sin(2x －π4)在区间[0，π
2
]上的最小值为( ) A 、－1 B 、－
22 C 、2
2
D 、0 III 、基本例题
一、同角三角函数基本关系式的应用
例1(1)[2015·杭州模拟]已知cos(π＋x )＝3
5，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.
(2)[2015·保定模拟]已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A 、－43 B 、54 C 、－34 D 、45
二、利用诱导公式化简求值
例2(1)[2015·哈师大附中模拟]设tan(π＋α)＝2，则
)
cos()sin()
cos()(sin απαπαππα--+-+-等于
A 、3
B 、1
3
C 、1
D 、－1
(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫α－2π3＝________.
[奇思妙想] 在本例(2)的条件下，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3的值．
三、诱导公式在三角形中的应用
例3(1)[2014·长沙月考](1)在△ABC 中，求证：cos 2A ＋B
2＋cos 2C
2
＝1.
(2)已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝1
5.
①求sin(
3π2－A )·cos(π
2
＋A )； ②判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形．
[奇思妙想] 若本例(2)中已知条件不变，求tan A 的值，该如何作答？ 四、方程思想在三角函数求值中的应用
例4、[2015·北京东城模拟]已知sin θ＋cos θ＝7
13，θ∈(0，π)，则tan θ＝________. 五、三角函数的定义域、值域
例1(1)函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A 、⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B 、⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，3 C 、⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D 、⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－332，3
(2)[2015·湛江调研]函数y ＝lg(sin x )＋
cos x －1
2
的定义域为________．
(3)函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 六、三角函数的单调性
例2(1)求函数y ＝cos(－2x ＋π
3
)的单调递减区间；
(2)求函数y ＝sin(π
3
－2x )的单调递减区间； (3)求y ＝3tan(
π6－x
4
)的最小正周期及单调递减区间． [奇思妙想]本例(2)中函数不变，求函数y 在[－π，0]上的单调递减区间． 七、三角函数的奇偶性和对称性
例3(1)[2014·福建高考]将函数y ＝sin x 的图象向左平移π
2
个单位，得到函数y ＝f (x )
的图象，则下列说法正确的是( )
A 、y ＝f (x )是奇函数
B 、y ＝f (x )的周期为π
C 、y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称
D 、y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，0对称
(2)[2015·天津模拟]将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π
4
个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4，0，则ω的最小值是( ) A 、13 B 、1 C 、5
3 D 、2
八、巧用对称性妙解奇偶性问题
例4[2015·保定模拟]若函数f (x )＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝____.
IV 、基本练习
1、(2010·全国卷Ⅰ)记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( )
A 、1－k 2k
B 、－1－k 2k
C 、k 1－k 2
D 、－k 1－k 2
2、(2012·海淀区)已知α是第四象限角，tan(π－α)＝5
12
，则sin α等于( )
A 、15
B 、－15
C 、513
D 、－513
3、(2011·福建理)若tan α＝3，则
sin2α
cos 2α
的值等于( ) A 、2 B 、3 C 4 D 、6 4、(2011·福建文)若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝1
4
，则tan α的值等于( ) A 、
22 B 、3
3
C 、 2
D 、 3 5、(2010·全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－1
2，则cos α＝________.
6、(2015·山东)要得到函数y ＝sin(4x －
π
3
)的图像，只需将函数y ＝sin4x 的图像( ) A 、向左平移π12个单位 B 、向右平移π12个单位 C 、向左平移π3个单位 D 、向右平移π
3个单位
7、(2013·福建文)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)(－
π2<θ<π
2
)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P(0，3
2
)，则φ的值可以是 A 、
5π3 B 、5π6. C 、π2 D 、π6
8、(2015·全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则
f(x)的单调递减区间为( )
A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈Z
B ．(2k π－14，2k π＋3
4)，k ∈Z
C ．(k －14，k ＋3
4
)，k ∈Z
D ．(2k －14，2k ＋3
4
)，k ∈Z
9、(2015·湖南文)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图像的交点中，距离最
短的两个交点的距离为23，则ω＝________．
10、(2014·北京)函数f(x)＝3sin(2x ＋π
6)的部分图像如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值；
(2)求f(x)在区间[－π2，－π
12
]上的最大值和最小值．。