2012高中数学 第25课-对数函数(3)(教师版) 苏教版

第二十五课时 对数函数
（3）
学习要求
1.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域和单调性等；
2.能熟练地运用对数函数的性质解题；
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。

自学评价
1． 2. 3. 4.
【精典范例】
例1：讨论函数lg(1)lg(1)
y x x =++-的奇偶性与单调性。

【解】由题意可知：10
10x x +>⎧⎨-<⎩
解得：11x -<<
∴定义域为(1,1)-
又
()lg(1)lg(1)()f x x x f x -=-++=
()f x ∴为偶函数
证明：在(1,0)-是任取
1210x x -<<<
令21t x =-,(1,0)x ∈-,则(0,1)t ∈
2111t x =-，2
221t x =-
21120,0x x x x ∴->+<120
t t ∴-<即
12t t <
又()lg y h t t ==在(0,1)上是增函数 12lg lg t t ∴<即12()()f x f x <
lg(1)lg(1)y x x ∴=++-在(1,0)-上单调递增。

同理可证：lg(1)lg(1)y x x =++-在
(0,1)上单调递减。

点评:判断函数奇偶性，必须先求出定义域，单调性的判断在定义域内用定义判断。

例2：(1)求函数213
2log (32)
y x x =-+的单调区间．
(2)若函数22log ()y x ax a =---在区
间(,1-∞-上是增函数，a 的取值范围． 【
解
】
(1)
令
223132()24u x x x =-+=--在3
[,)2+∞上
递增，在3
(,]2
-∞上递减，
又∵2320x x -+>， ∴2
x >或1x <，
故232u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵13
2log y u =为减函数，
所以，函数213
2log (32)y x x =-+在
(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减．
(2)令2()u g x x ax a ==--，
∵函数2log y u =-为减函数，
∴2()u g x x ax a ==--在区
间(,1-∞-上递减， 且满足0u >，
听课随笔
∴12(10a
g ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩
，解得
22a -≤≤，
所以，a 的取值范围
为[22]-．
点评:利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间． 例3：已知x 满足
20.50.52(log )7log 30x x ++≤ ，
求函数22()(log )(log )
24
x x
f x =的最值。

【解】由题意
：
20.50.52(log )7log 30x x ++≤
可
转
化
为
：
0.50.5(log 3)(2log 1)0x x ++≤，将
0.5log x 看作整体，
解得：0.513log 2
x -≤≤-，
即1
32
0.50.50.5log 0.5log log 0.5x --≤≤，
8x ≤≤
令2()log t g x x ==
，x ∈
则1[,3]2
t ∈
则2()32,y h t t t ==-+1
[,3]2
t ∈
所以min 31
()24
y h ==-，max (3)2y h ==
点评:利用函数的单调性求函数最值（或值域）是求函数最值（或
值域）的主要方法之一，本题首先要根据条件求出x 的取值范围，体现了整体思想方法，然后转化为二次函数，体现了化归的思想方法，换元法的使用是实现化归思想的一种手段，也是化归的一个过程。

追踪训练一
1． 函数2
lg(2)y x x =-的定义域
是（0，2）,值域是(,0]-∞，
单调增区间是（0，1） 2．求函数
2
114
4
log log 5
[2,4]y x x x =-+∈的最小
值和最大值。

答案：1。

定义域：(0,2) 值域：(,0]-∞
单调增区间：(0,1) 2．最小值
23
4
， 最大值7 【选修延伸】 一、对数与方程
例4:若方程2lg()lg()4ax ax =的所有解都大于1，求a 的取值范围。

分析：由对数函数的性质，方程可变形为关于lg x 的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论。

【解】原方程可化为： 即 222lg 3lg lg lg 40x a x a ++-= 令lg t x =，则方程等价于 若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解都大于0，则
2
223
lg 021(lg 4)02
(3lg )42(lg 4)0a a a a ⎧->⎪⎪
⎪->⎨⎪⎪∆=-⋅-≥⎪⎩
解
得：
思维点拔：
（1）有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又可以用函数的图象求解，如求方程24||5lg x x x --=的实根的个数。

（2）换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。

追踪训练二
1． 已知方程
（1）若方程有且只有一个根，求a 的取值范围 ．
（2）若方程无实数根，求a 的取值范围 ．
答案：（1）13
(1,3]{}4
（2）
13
(,1](,)
4
-∞+∞。