内蒙古赤峰二中高二数学上学期第二次月考试题 文

赤峰二中2013级高二上学期第二次月考
数学试题（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1，设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为( )
A 、122=-y x
B 、1222=-y x
C 、12222=-y x
D 、
2222=-y x 2，若双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>
,则其渐近线方程为 （ ）
A 、2y x =± B
、
y x = C 、1
2y x =± D
、y =
3，过椭圆22
143x y +=的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为 （ ）
A 、3
4 B
、 C 、3 D
4.已知f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )
5，曲线2
(2,)x
y e e =在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A ．2
e
B ．2
2e
C ．2
4e
D ．22
e
6．函数y ＝12
x 2
－ln x 的单调减区间是( )．
A ．(0，1)
B ．(0，1)∪(－∞，－1)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，＋∞) 7，函数f (x )＝－x
e
x (a <b <1)，则( )
A ．f (a )＝f (b )
B ．f (a )<f (b )
C ．f (a )>f (b )
D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 8．若函数f (x )＝x 3
－ax 2
－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )．
A ．1=a
B ．a ≥1
C ．a ≤1
D ．0<a <1
9.已知抛物线:24x y =-,直线:10l x y --=与抛物线交于A 、B 两点,则|AB|的长为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
10定义在R 上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x ≠0时, 1
'()()0f x x f x -+>,则函数
1()()g x f x x -=+的零点的个数为
A.1
B.0
C.2
D.0或2
11，已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<
x f ，则2
1
2)(+<x x f 的解集为 A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}
1>x x
12，设函数3
()4f x x x a =-+，0<a<2，若f(x)的三个零点为123,,x x x ，且123x x x <<，则
A ．11x >-
B ．20x > C. 20x < D ．32x > 二，填空题，(每小题5分，共20分）
13．若函数f (x )＝f ′(1)x 3
－2x 2
＋3，则f ′(1)的值为________
14，设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2
＋x 的两个极值点，则常数____=a
15，直线l 过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知
BF CB AF 3,4||==,则____=p
16,已知函数)(x f 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，
下列关于函数)(x f 的命题； ①函数)(x f 的值域为［1，2］； ②函数)(x f 在［0，2］上是减函数；
③如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点. 其中正确命题的序号是 . 三，解答题
17．(本小题10分）已知函数f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ＋11.
(1)写出函数的递减区间； (2)求函数的极值．
18，(本小题12分)已知直线l 的参数方程：为参数）
t t
y t
x (21⎩⎨⎧+==和圆C 的极坐标方程:)4
sin(22π
θρ+
=
（1),将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程; （2)判断直线l 和圆C 的位置关系。

19, (本小题12分)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为
l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23
时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求y ＝f (x )在[－3，1]上的最大值和最小值．
20, (本小题12分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为
为参数）t t y t x (sin 1cos 1⎩⎨
⎧+=+-=α
α
，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4= （1）若直线l 的斜率为-1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； （2）若直线l 与曲线C 的相交弦长为32，求直线l 的参数方程。

21(本小题12分)已知直线1y x =-+与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点．
（1）若椭圆的离心率为
2
，焦距为2，求线段AB 的长；
（2）若向量OA 与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率1
,
2
2e ⎡∈⎢⎣⎦
时，求椭圆长轴长的最大值．
22, (本小题12分)已知函数x
a ax x x f 3
ln 4)(++
-=（0≥a ）（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）当1≥a 时，设a x e x g x
242)(+-=，若存在1x ,2x ]2,2
1[∈，使)()(21x g x f >，
求实数a 的取值范围。

e (为自然对数的底数，)71828.2 =e
月考文科数学答案 选择题：ADCAD ACBCB DB
13,2 14,a ＝－23. 15 , 3
8
16, 124
17[解析] f ′(x )＝3x 2
－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.
x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：
(1)(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16. 19
解 (1)由f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，
当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0. ①
当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0.
可得4a ＋3b ＋4＝0. ②
由①②解得a ＝2，b ＝－4.
由于切点的横坐标为x ＝1，代入3x －y ＋1＝0得切点坐标(1，4)，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5.
(2)由(1)可得f (x )＝x 3
＋2x 2
－4x ＋5，
∴f ′(x )＝3x 2
＋4x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23
.
当x ∈[－3，－2)，⎝ ⎛⎦
⎥⎤23，1时f ′(x )>0，函数是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23时f ′(x )<0，函数是减函数， ∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13. 在x ＝23处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝95
27
.
又f (－3)＝8，f (1)＝4.∴y ＝f (x )在[－3，1]上的最大值为13，最小值为95
27.
21
222222b a c a a e =-=-，代入上式得
22,已知函数x
a ax x x f 3
ln 4)(++
-=（0≥a ）（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）当1≥a 时，设a x e x g x
242)(+-=，若存在1x ,2x ]2,2
1[∈，使)()(21x g x f >，
求实数a 的取值范围。

e (为自然对数的底数，)71828.2 =e
0)4)(1(21>+---=
a a a x ，0)
4)(1(22>+--+=a
a a x
当),0(1x x ∈时，)(,0)(x f x h <单调递减， 当),(21x x x ∈时，)(,0)(x f x h >单调递增，
当)(,2∞+∈x x 时，)(,0)(x f x h <单调递减，
……………………7分
所以当0=a 时，)(x f 的减区间为]43,0(，增区间为（),4
3[+∞。

当1≥a 时，)(x f 的减区间为),0(+∞。

当10<<a 时，)(x f 的减区间为))4)(1(2,
0(a a a +---，),)
4)(1(2(+∞+--+a
a a
增区间为,)4)(1(2(
a a a +---))
4)(1(2a a a +--+。

……………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知)(x f 在]2,21
[上的最大值为62
3
2ln 4)21(++
-=a f ， ………10分 ,42)('-=x e x g 令0)('=x g ，得.2ln =x
)2ln ,21
[∈x 时，0)('<x g ，)(x g 单调递减，
]2,2(ln ∈x 时，0)('>x g ，)(x g 单调递增，
……………………12分
所以)(x g 在]2,2
1[上的最小值为a g 22ln 44)2(ln +-=，
……………………13分
由题意可知>++-62
3
2ln 4a a 22ln 44+-，解得 4<a ………………14分。