浙江省台州市2012-2013学年高一数学下学期期末质量评估试题(含解析)新人教A版

某某市2012学年
第二学期高一期末质量评估试题数 学
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是
A ．
π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π
2．已知1e ，2e 是不共线的两个向量，则下列各组中的a ，b 不能构成基底的是
A ．12a e =，23b e =-
B ．1222a e e =+，12b e e =-
C ．122a e e =-，1224b e e =-+
D ．122a e e =+，122b e e =+
3．若关于x 的不等式2
112
x ax -
+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ A ．
12B ．1
2
- C ．2- D ． 2
4．在等差数列{}n a 中，且34914a a a ++
+=，则6a ＝
A ．1
B ．2
C ．4
D ． 7
5．已知π
(,π)2
α∈，3sin 5α=
，则πsin()4
α+＝ A ．7210 B ．7210- C ．210 D ．210
-
6．已知实数x 满足20x x +<，则x ,x -,2x 的大小关系是
A ．2x x x -<<
B ．2x x x
<-<
C ．2x x x <<-
D ．2x x x <<-
7．平面向量a 与b 的夹角为60，,1b =，则2a b +＝
A ．3
B ．23
C ．4
D ．12
8．已知向量(34)a =-，　，(11)a =-，　，则向量a 在b 方向上的投影为
A ．722-
B ．722
C ．75-
D ．7
5
9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两个解，那么x 的取值X 围
A ．1x >
B ．01x <<
C ．12x <<
D ．12x <≤
故选答案C
10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1313n n n
a a a ++=
-，则2013a ＝
A ．23
B ．3
C ．0
D ．3-
11．定义
12n
n x x x ++
为n 个正数12,,
,n x x x 的“平均倒数”
．若正项数列{}n a 的前n 项的“平均倒数”为
1
21
n +，则数列{}n a 的通项公式为n a ＝ A ．21n + B ．21n - C ．41n - D ． 41n +
12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
故选答案A
13．数列{}1n n a a +-是一个首项为2，公差为2的等差数列，1=1a ，若4373m a <<，则m ＝
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
故选答案C
14．已知O 是△ABC 的外心，且OA OB OC +=，23AB =，P 是线段AB 上任一点（不含端点），实数λ，μ满足CA CB CP CA
CB
λ
μ
=+，则
1
1
λ
μ
+
的最小值是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
故选答案B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 15．若tan 2α=，则tan 2α＝▲．
16．已知点(3,4)M -和向量(1,2)a =-，若2MN a =-，则点N 的坐标为▲．
17．已知等比数列{}n a 满足542a a =，21a =，数列{}n a 的前n 项和n S ，则6S ＝▲．
18．已知二次函数2()f x ax bx c =++，且(1)f a =-，又 23a c b >>，则b
a
的取值X 围是▲．
19．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点
A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝▲．
20．已知数列}{n a 满足:114a =
，2122n n n a a a +=+，用][x 表示不超过x 的最大整数，则12201311
1[
]22
2
a a a ++++++的值等于▲． （第19题图）
E
D
B
A C
三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（本小题满分7分）
已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若
35b =，且//b a ，求b 的坐标；
（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为5
10
()(9)a c a c +⊥-，求c . 解：（Ⅰ）
//b a , 设(,2)b a λλλ==, ……………… 1分
则2
22
445b λλ=+=, ∴29λ=……………… 2分
∴3λ=±
∴(3,6)b =或(3,6)b =--. ………………
3分 （Ⅱ）
5
cos 10
θ=，5a =， ∴1
cos 2
a c a c c θ⋅==-
． ………………4分 又
()(9)a c a c +⊥-，∴()(9)0a c a c +⋅-=……………… 5分
∴2
2
890a c a c -⋅-=∴2
5490c c +-=……………… 6分
解得1c =或5
9
c =-
（舍） ∴1c =………………7分
22．（本小题满分7分）
已知函数22π
()cos ()sin 6
f x x x =--． （Ⅰ）求π
(
)12
f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在π
[0,]2上的最大值． 解：（Ⅰ）22
(
)cos ()sin 12
12
12
f π
π
π
=-
-……………… 1分
cos
6
π
=……………… 2分
=
……………… 3分
（Ⅱ）11
()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x π=
+---……………… 4分 1[cos(2)cos 2]23x x π
=-+
132cos 2))223x x x π=
+=+……………… 5分 因为[0,]2
x π
∈，所以42[,]333
x π
ππ
+
∈， ……………… 6分
所以当23
2
x π
π
+
=
，即12
x π
=
时，()f x ． …………… 7分 23．（本小题满分8分）
已知2
()f x ax bx c =++．
（Ⅰ）当1a =-，2b =，4c =时，求()1f x ≤的解集；
（Ⅱ）当(1)(3)0f f ==，且当(13)x ∈，时，()1f x ≤恒成立，某某数a 的最小值． 解：（Ⅰ）当1a =-，2b =，4c =时，2
()241f x x x =-++≤
即2230x x --≥， ………………
1分
()()310x x ∴-+≥，
1x ∴≤-，或3x ≥． ………………
3分
（Ⅱ）因为(1)(3)0f f ==，所以()()()13f x a x x =--， ……………… 4分
()()()131f x a x x =--≤在()1,3x ∈恒成立，
即()()
1
13a x x -≤
--在()1,3x ∈恒成立， ………………
5分
而2
(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤
<--≤=⎢⎥⎣⎦
当且仅当13x x -=-，即2x =时取到等号． ……………
6分
()()
1
113x x ∴
≥--， ………………
7分
所以1a -≤，即1a ≥-．
所以a 的最小值是1-……………… 8分
（Ⅱ）或解：()()()131f x a x x =--≤在()1,3x ∈恒成立，
即()()1310a x x ---≤在()1,3x ∈恒成立．
令()()2
2
()131431(2)1g x a x x ax ax a a x a =---=-+-=---．…………
4分
①当0a =时，()10g x =-<在()1,3x ∈上恒成立，符合； ………………
5分
②当0a >时，易知在()1,3x ∈上恒成立，符合； ………………
6分
③当0a <时，则10a --≤，所以10a -≤<． ………………
7分
综上所述，1a ≥- 所以a 的最小值是1-． ………………
8分
24．（本小题满分8分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．
cos sin B b A +=，求角A ；
（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC a 的值．
解：（Ⅰ）
3cos sin a B b A +=，由正弦定理可得
cos sin sin A B B A C +=)A B =+． ………………
1分
cos sin sin cos sin A B B A A B A B +=+． ……………… 2分
即sin sin sin B A A B =，sin A A ∴=……………… 3分
tan A ∴=，60A ∴=︒． ……………… 4分
注：利用A b B a c cos cos +=直接得A A cos 3sin =
同样给分
（Ⅱ）
b =，ABC ∆，∴1
sin 2
ABC S ab C ∆=
=． 2sin 2a C ∴=，22
sin C a
∴=
①……………… 5分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-
∴2
2
4cos 4a C -=，cos C ∴=
6分
由①，②得：2
2
221a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得42
8160a a -+=，……………… 7分
()2
240a ∴-=， ∴2a =……………… 8分
（Ⅱ）或解：由1
sin 2
ABC S ab C ∆=
=得 2sin 2a C =①……………… 5分
由2
2
4cos 4a C -=得 2(2)2a C =②……………… 6分
由①，②得：sin 2C C =-，即π
sin()13
C +
=， ………………
7分
π6C ∴=
，224sin a C
==． ∴2a =． ………………
8分
25．（本小题满分10分）
已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n n a a b a a ++=
+，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设12()n n n a c n
λ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，某某数λ的取值X 围． 解：（Ⅰ）由题知2317a a a =，设{}n a 的公差为d ，
则()()211126a d a a d +=+，212a d d =，0d ≠
∴12a d =． ………………1分
又23a =，∴13a d +=
12,1a d ==……………… 2分
1n a n ∴=+．
……………… 3分 （Ⅱ）11121122112
n n n n n a a n n b a a n n n n ++++=
+=+=+-++++． ……………… 4分 12111111222233412n n S b b b n n =++=+-++-+++
-++ 1122222(2)
n n n n n =+-=+++． ……………… 6分 （III ）1(2)2()=2()n n n n a n c n n
λλ++=--，使数列{}n c 是单调递减数列， 则12(3)22()01n n n n n c c n n
λ+++-=--<+对*∈N n 都成立 ……………… 7分
即
max 2(3)22(3)20()11n n n n n n n n
λλ++++--<⇒>-++……………… 8分 设2(3)2()1n n f n n n ++=-+
2(4)32(3)2(1)()211n n n n f n f n n n n n +++++-=--++++ 2(4)23(3)21n n n n n n +++=+-++ 4
26
21321n n n =+++--++ ()
()()2212n n n n -=++……………… 9分
(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>> 当2n =或3n =时，max 4
()3f n =
所以max 2(3)2
4
()13n n
n n ++-=+
所以4
3λ>．
……………… 10分。