反比例函数与几何图形的综合应用九年级数学上册重难点专题提优训练

专题03反比例函数与几何图形的综合应用
考点一反比例函数与三角形的综合应用考点二反比例函数与平行四边形的综合应用
考点三反比例函数与矩形的综合应用考点四反比例函数与菱形的综合应用
考点五反比例函数与正方形的综合应用
考点一反比例函数与三角形的综合应用
3
【分析】根据ABC是等腰直角三角形，轴，得到AOB是等腰直角三角形，再根求出A点，点坐标，将
数解析式即可求得k．
∵ABC是等腰直角三角形，
︒-∠=
90ABC
∵AOB是等腰直角三角形．
本体解题关键是得到AOB 如图，OAB是等腰直角三角形，
1
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识
【答案】42
-
∵点C(-2,0)，
【答案】12
+
+##21
∵∵OAB是等腰直角三角形，
(1)求a和k的值；
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性
(1)求反比例函数的关系式；
AMN CON S S =，可得AMO ACO S S =，从而得到直线，再求出直线AB 解析式，即可求解；）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论，即可求解．
∵∵BCA ＝90°，
∵AMN
CON S
S =， AMN AON CON AON S
S S S +=+ AMO ACO S S =，
点M 到y 轴的距离等于点C 到y 轴的距离，直线CM y ∥轴 ，
点M 横坐标为-1
若AP =AC 5=，
考点二反比例函数与平行四边形的综合应用
(1)求出反比例函数的表达式；
∵四边形OABC是平行四边形，
ABD
∵四边形OABC是平行四边形，OA BC
BD y
(1)求k值和点D的坐标；
C=
OABC
【分析】（
析式为y=
C=
OABC
【点睛】本题考查反比例函数与平行四边形的综合．利用数形结合的思想是解题关键．．（2022·
(1)直接写出点C、D的坐标；
S，即可求解．
ABD
A、C，点
（5，0
，
(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．
解：直线
C、D为双曲线上的两点，
∴点(2,
C
四边形CABD
AD
∴与BC
∴02
2
m
++
C、D为双曲线上的两点，
解：6
k，
()
a a m
+，
12
am=，
4d
m a
a
=-+，
2(
a a a
∴+
2
d a
∴=-
∴当1
a=
【点睛】本题是反比例函数综合题，
(1)若2
a=，求反比例函数的关系式．
（2）解：分别过点A ，F ，C 作x 轴的垂线交x 轴于点D ，E ，G ，AD 交OF 于点
H ．∵点A ，F 在反比例函数图像上，∵ΔΔAOD EOF S S =又
ΔΔΔAOD AOH ODH S S S =+，ΔΔOEF ODH HDEF S S S =+四边形∴ΔAOH HDEF S S =四边形，∵∵AOF 的面积S =9，
四边形OACB 是平行四边形，∴Δ9AOF ADEF S S ==四边形，18OACB S =平行四边形，∵点A 的坐标为
()3,4a a ，AC ∵x 轴，∵点C 的纵坐标为4a ，
点F 为BC 的中点，k =12a 2，∵点F 的纵坐标为
2a ，∵点F 的横坐标为2
1262a a a
=， ∴点F 的坐标为（6a ，2a ），∴
1
246392
ADEF S a a a a =+-⨯
=四边形（）（），解得a ＝1，∵点A （3，4），F （6，2），∴OD ＝3 AD ＝4，∴OA ＝5，∵18OACB S OB AD =⋅=平行四边形，∵AC =OB ＝ 9
2，∵点93,42C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即15,42C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
（3）解：存在，根据题意得：
∵APO =90°，∵四边形OACB 为平行四边形，∵OE ∵BF ，OA =BC ，
∵EF ∵OB ，∵四边形OBFE 为平行四边形，∵OE =BF ，∵BF =CF ，∵AE =OE =15
22OA =，∵PE =
1522OA =，由（2）得：点A （3，4），∵点E 3,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，∵ON =32，EN =2，如图，当点P 在线段
OA 的右侧上时，过点P 作PM ∵x 轴于点M ，过点E 作EN ∵x 轴于点N ，
∵EN ∵x 轴，PM ∵x 轴，∵EN ∵PM ，∵四边形ENMP 为
平行四边形，∵PE =MN =5
2
，PM =EN =2，∵OM =4，∵点P （4，2）；如图，当点P 在线段OA
的作侧上时，过点P 作PT ∵x 轴于点T ，过点E 作ES ∵x 轴于点S ，
同理：四边形PEST 为平行四边形，∵PT =ES =2，
TS =PE =52，OS =3
2
，∵OT =1，∵点P （-1，2）；综上所述，点P 的坐标为（4，2）或（-1，2）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形考点三 反比例函数与矩形的综合应用
(1)若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；
由菱形和矩形的性质可知，PC=BC=OA＝6，
由菱形和矩形的性质可知，
A ．25a =
B ．3a =
C ．2a =
D ． 3.5a =
【答案】10
【详解】D E 、是122OAGD S =+10=，
反比例函数k
y x
=
G OAGD y S =矩形
(1)求k 的值及直线DE 的解析式；
PQE
S 、PQD
S
,最后根据2AB =BC =
【点睛】本题属于反比例综合题，主要考查了反比例函数解析式、最短路径以及三角形的面
(1)如图1，若BE＝3AE．
(1)若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标；
(3)
PQ AB y轴，
)
Q
221,14，点
2
的下方时，由BP=
2
=，
10
=，
14
)
PQ AB y轴，
)6-，点
Q的坐标为
4
、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点
)6-或()
-．
14,6
【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴考点四反比例函数与菱形的综合应用
(1)求反比例和一次函数解析式．
（1）解：延长AD 交x 轴于F ，∵四边形ABCD 是菱形，∵OB =OD =AD ，AD ∵OB ，则AF ∵x 轴，∵点D 坐标为（4，3），∵OF =4，DF =3，∵OD =5，即OB =AD =5，∵A （4，8），B （0，5），∵k =4×8=32，∵反比例函数的解析式为()32
0y x x
=
>；将A 、B 坐标代入y ax b =+中，得485a b b +=⎧⎨
=⎩，解得：345
a b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，∵一次函数的解析式为3
54y x =+；
（3）解：存在，理由为：如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH∵y轴于H，则∵NHO=∵OFD=90°，
由题意，∵ONB=∵NOD=∵HOF=90°，则∵NOB=∵FOD，又
∵ONB=∵OFD=90°，OB=OD，∵∵ONB∵∵OFD（AAS），∵S△ONB=S△OFD，则11
534 22
NH
⨯=⨯⨯，
∵NH=12
5
，∵点N在直线AB上，∵当x=
12
5
-时，
31216
()5
455
y=⨯-+=，∵点N坐标为（
12
5
-，
16 5）；设M（x，
3
5
4
x+），则x+0=
12
5
-+4，解得：x=
8
5
，
33831
55
4455
x+=⨯+=，∵点M的
坐标为（8
5
，
31
5
）．
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数
【答案】123
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，用待定系数法求反比例函数的解析式和菱
【答案】()3,2-
设DE =n ，由四边形ABCD 是菱形可知：//,//,AD BC AB CD AB BC CD AD ===，
(1)求该反比例函数的解析式及m的值；
⨯=
2816
∴点B在双曲线上．
【点睛】此题是反比例函数综合题，
m表示出点
（1）求一次函数与反比例函数的解析式； OAP
S
S =1x -+，四边形(1,2)D --1OE ∴=四边形AE DE ∴=(1,2)A ∴-将(1,2)A -
）2OC OE =1
2OACD OC =菱形OAP
OACD S
S =菱形4OAP
S
∴=，
设P 点坐标为(a 则(0,1)F ，
1OF ∴=，1OAF S =△当P 在A 11
22
a ∴--9a ∴=-
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、
（1）求k的值．
4,3 D()
将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，
D处，
D作x轴的垂线，垂足为
=，
3
=，
3
D的纵坐标为
D落在函数
32
=，
x
32
考点五反比例函数与正方形的综合应用
例题：（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，A、B分别是x轴正半轴上和y轴正半轴上的点，
(1)若点C坐标为（2，3），则k的值为______；
∵A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）
在ABO 和BCE 中，ABO ECB AOB BEC AB BC ∠=∠∠=∠=，
∵ABO ∵BCE （AAS OA EB =，OB EC =同理可得出：ABO ∵DAF △OA EB DF ==，OB =设OA a =，OB b =
(,)C a a b +，(,)D a b b +两点都在函数y =
)b b +
【答案】-9
【答案】3
直线y ＝﹣2x +4与x 轴，y 轴分别相交于点A 、B ，
四边形90,AB =90DAE =
90ADE DAE ∠+=
BAO ADE ∴∠=
在AOB 和中，
BAO BOA BA AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AOB DEA ∴≅
2DE AO ∴== ,AE 6,2OE DE ∴==
∴ D 点坐标为（6，把D 点坐标代入双曲线则双曲线的解析式为：同理，CGD AED BOA ≅≅
4,2OB DG OA ====
90DGF GFE FED ∠=∠=∠= 且DE ∴ 四边形DEFG 是正方形
624OF OE DG ∴=-=-=
()
、、
，进而得到BEC AOB DFA
4
BEC
∠=，
90
∴∠+∠+∠=
，，
EBC ECB EBC
9090
∴∠=
ECB
∠，
同理可得：OBA
()
∴≅≅
BEC AOB DFA AAS
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
3
=
AD DB
AD
∴=
3,
∴
D
(4,3),
把点D的坐标代入
∴反比例函数的解析式为
【答案】（1）5；（2）A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）．。