(6)双曲线测试卷

（6）双曲线测试卷
姓名：___________班级：___________成绩：___________
一、单选题(共20分)
1．(本题5分)双曲线2
214y x -=的渐近线方程是（ ）
A ．20x y ±=
B ．40x y ±=
C ．20x y ±=
D ．40x y ±=
2．(本题5分)若方程22
2141x y m m
-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．()2-∞-，
B ．()21--，
C ．()22-，
D ．()11-，
3．(本题5分)已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的一条渐近线方程为y =，则双曲线C 的离心
率为（ ）
A
B C D 4．(本题5分)中心在坐标原点，离心率为5
3
的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A ．4
3
y x =±
B ．43y x =
C ．4
3
y x =-
D ．34
y
x 二、多选题(共10分)
5．(本题5分)已知点P 在双曲线22
1169
x y -=上，12,F F 分别是左､右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判
断正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为
203 B ．12503
PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形 D ．123
F PF π
∠=
6．(本题5分)已知双曲线22
22:1x y M a b -=的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（ ）
A ．M
B ．M 的标准方程为2
213x y -=
C ．M 的渐近线方程为y =
D ．直线20x y +-=经过M 的一个焦点 三、填空题(共10分)
7．(本题5分)经过点()4,1A ，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为__________. 8．(本题5分)设双曲线22
154
x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，则12PF PF -=________.
四、解答题(共36分)
9．(本题12分)求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是()4,0-、()4,0，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10的椭圆方程；
(2)已知双曲线的渐近线方程为3
4
y x ，焦距为10．
10．(本题12分)双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右焦点为(),0F c .
(1)若双曲线C 为等轴双曲线，且过点(P ，求双曲线C 的方程；
(2)经过原点O 倾斜角为45的直线l 与双曲线C 的右支交于点,M OMF 是以线段OF 为底边的等腰三角形，求双曲线C 的离心率.
11．(本题12分)已知双曲线C 的焦点坐标为()
1F ，)
2F ，实轴长为4，
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．
参考答案：
1．A
【分析】根据22
221y x a b
-=的渐近线方程为a y x b =±进行求解.
【详解】双曲线2
214
y x -=中，2,1a b ==，故渐近线方程为2a y x x b =±=±，
即20x y ±=. 故选：A 2．A
【分析】原方程可变形为22
2141y x m m ---=-，根据已知有2
1040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程22
2141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，
222
141x y m m -=-+可变形为22
214
1y x m m ---=-. 所以有2
1040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 3．B
【分析】直接代入公式即可求解.
【详解】∵双曲线C 的一条渐近线方程为y x =，
∴b a =2222229b c a a a -==，
∴3e ==. 故选：B. 4．D
【分析】设双曲线方程22
221y x a b
-=，根据已知得到43b a =，即可得到渐近线的方程.
【详解】由已知可设双曲线的标准方程为22
221y x a b
-=()0,0a b >>.
由已知可得53c e a ==，所以53c a =，则222
2169b c a a =-=，所以43b a =.
所以，双曲线的渐近线方程为3
4
a y x x
b =±=±. 故选：D.
5．BC
【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P 的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．
【详解】设点(),P P P x y ．因为双曲线22
:1169
x y C -
=
，所以5c ==． 又1211
2102022PF F P P S c y y =⨯=⨯⨯=△，所以4P y =，故A 错误．
将4P y =代入22
1169x y -=得22
41169
P x -=，得203P x =．
由双曲线的对称性，不妨取点P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
，得2133PF =．
由双曲线的定义得1213372833PF PF a =+=+=，所以12371350333
PF PF +=+=，故B 正确． 在12PF F △中，123713
21033
PF c PF =
>=>=，且2
2
2
2121
21212
5
cos 0213
PF F F PF PF F PF F F +-∠=
=-
<⋅， 则21PF F ∠为钝角，所以12PF F △为钝角三角形，故C 正确．
由余弦定理得2
2
2
1212
1212
3191
cos 22
481PF PF F F F PF PF PF +-∠==
≠⋅，所以12π3F PF ∠≠，故D 错误．
故选：BC ． 6．ABD
【分析】A 选项，求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式求出1b =，
从而得到a =ABC 选项，
()2,0在直线20x y +-=上，D 正确.
【详解】由题意得：双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-，渐近线方程为b y x a
=±
，即0ay bx ±=，
1=，解得：1b =，
则222413a c b =-=-=
，解得：a =
所以M
，A 正确； M 的标准方程为2
213
x y -=，B 正确；
M 的渐近线方程为
y x ==，C 错误；
()2,0在直线20x y +-=上，故20x y +-=经过M 的一个焦点，D 正确.
故选：ABD
7．22
11515
x y -=
【分析】设所求等轴双曲线的方程为22x y λ-=，将点A 的坐标代入双曲线的方程，求出λ的值，即可得出所求双曲线的方程.
【详解】设所求等轴双曲线的方程为22x y λ-=， 将点A 的坐标代入等轴双曲线的方程可得224115λ=-=，
故所求等轴双曲线的方程为2
2
15x y -=，即22
11515
x y -=.
故答案为：22
11515x y -=.
8．【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解.
【详解】由题意可得：a =
∵点P 在双曲线的右支上，则12PF PF >，
∴122PF PF a -==
故答案为：9．(1)22
1259
x y +=；
(2)22
1169
x y -=或22
1916
y x -=.
【分析】（1）结合椭圆的定义求得,a b ，由此求得椭圆的标准方程；
（2）分焦点在x 轴，y 轴讨论，结合条件即得. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，
∴设它的标准方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
又椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10，故210a =， ∴5a =，又∵4c =，
∴22222549,3b a c b =-=-==，
∴所求椭圆的标准方程为22
1259
x y +=；
（2）当双曲线的焦点在x 轴时，可设双曲线标准方程为22
221(0,0)x y a b a
b
-=>>，
则2223
4210b a c c a b ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
，解得4,3a b ==， 所以双曲线的标准方程为22
1169
x y -=；
当双曲线的焦点在y 轴时，可设双曲线标准方程为22221(0,0)y x
m n m n
-=>>，
则2
2234102m n m n ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭
⎩，解得3,4m n ==， 所以双曲线的标准方程为22
1916
y x -=；
所以双曲线的标准方程为22
1169
x y -=或
22
1916
y x -=. 10．(1)221x y -=
【分析】（1）设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求解即可；
（2）法一：表达出,22c c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，利用双曲线定义求出2a ∴=，从而求出离心率；
法二：表达出,22c c M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，将其代入双曲线方程，得到关于e 的齐次方程，求出离心率.
【详解】（1）双曲线C 为等轴双曲线，
22
221x y a a
∴-=， ∵
双曲线过点(P ，将其代入得：221
11a a
=⇒= 22:1C x y ∴-=；
（2）法一：OMF 是以线段OF 为底边的等腰三角形，45MOF ∠=，
OMF ∴是等腰直角三角形，OF c =，
过M 作MA x ⊥轴于点A ，则,0,,222c c c A M ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
设左焦点()1,0F c -，由双曲线定义知12MF MF a -=，
2a ∴==，
于是e =
. 法二：前同法一得,22c c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在22
22:1(0,0)x y
C a b a b
-=>>上，
2222222
222222
2
11444
1441c c c c c e e a b a b c a e -=⇒-=⇒-=⇒-=--， 整理得：42640e e -+=
，解得：23e =±，
21,3e e e >∴==
=
==，
于是e =
. 11．（1）2
214
x y -=；（2）1．
【分析】（1）由题可知,c a 的值即可求出双曲线C 的标准方程； （2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.
【详解】（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b
-=>>，
由条件知c =24a =， ∴2,1a b ==，
∴双曲线C 的方程为2
214
x y -=．
（2）由双曲线的定义可知，124PF PF -=±． ∵12PF PF ⊥，
∴22
212420PF PF c +==，即2
1212()220PF PF PF PF ⨯-+=
∴122PF PF ⋅=， ∴12PF F △的面积1211
2122
S PF PF =⋅=⨯=．。