新人教A版必修32022-2021学年高中数学综合质量检测

综合质量检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是( )
A．分层抽样 B．抽签抽样
C．随机抽样 D．系统抽样
[解析]号码顺序以一定的间隔抽取，这样的抽样是系统抽样．
[答案] D
2．下列程序的含义是( )
A．求方程x3＋3x2－24x＋30＝0的根
B．求输入x后，输出y＝x3＋3x2－24x＋30的值
C．求一般三次多项式函数的程序
D．作y＝x3＋3x2－24x＋30的作图程序
[解析]由程序知，输入x后，输出y＝x3＋3x2－24x＋30的值，应选B.
[答案] B
3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
[解析]甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．[答案] C
4．把“二进制”数101101(2)化为“八进制”数是( ) A ．40(8) B ．45(8) C ．50(8) D ．55(8)
[解析] ∵101101(2)＝1×25
＋0＋1×23
＋1×22
＋0＋1×20
＝45(10)．再利用“除8取余法”可得：45(10)＝55(8)．故选D.
[答案] D
5．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据
一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )
A ．y 与x 具有正线性相关关系
B ．回归直线过点(x ，y )
C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg
[解析] 由回归直线方程定义知：因为斜率大于零，所以y 与x 具有正线性相关关系；回归直线过点(x ，y )；身高每增加1 cm ，则其体重约增加k ＝0.85 kg ；身高为160 cm ，则可估计其体重为0.85×160－85.71＝50.29 kg ，但不可确定．选D.
[答案] D
6．关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不可能有两个众数；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
③调查剧院中观众的观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；
④一组数据的方差一定是正数；
⑤如图所示是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60]的汽车大约是60辆．
则这五种说法中错误的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析]一组数中可以有两个众数，故①错；根据方差的计算法可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零；⑤正确．故错误的说法有3个．[答案] B
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]若x≤2，则x2－1＝3，∴x＝±2.
若x＞2，则log2x＝3，∴x＝8.故选C.
[答案] C
8．如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻
的任意一格(若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是( )
A.1
2
B.
1
4
C.3
16
D.
1
6
[解析]按规则，小青蛙跳动一次，可能的结果共有4种，跳动三次，可能的结果共有16种，而三次跳动后首次跳到5的只有3－1－3－5,3－2－3－5,3－4－3－5,3种可能，所
以，它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是3
16
.
[答案] C
9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 s与19 s之间，将测试结果分成如下六组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18)，[18,19]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17 s的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩在[15,17)中的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为( )
A ．90%,35
B ．90%,45
C ．10%,35
D ．10%,45
[解析] 易知成绩小于17 s 的学生人数占全班人数的百分比为[1－(0.04＋0.06)×1]×100%＝90%，成绩在[15,17)中的学生的频率为(0.36＋0.34)×1＝0.7，人数为50×0.7＝35人．
[答案] A
10．某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y
2.9
3.3 3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
若y 关于t 的线性回归方程为y ＝0.5t ＋a ，则据此该地区2021年农村居民家庭人均纯收入约为( )
A ．6.3千元
B ．7.5千元
C ．6.7千元
D ．7.8千元
[解析] 由所给数据计算得，t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝1
7
(2.9＋3.3＋3.6
＋4.4＋ 4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，a ^
＝y －b ^
t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ^
＝
0.5t ＋2.3.将2021年的年份代号t ＝11代入回归方程，得y ^
＝0.5×11＋2.3＝7.8，故预测
该地区2021年的农村居民家庭人均纯收入为7.8千元．故选D.
[答案] D
11．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y ＝a x 2
－2b x ＋1在⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12上为减函数的概率是( )
A.14
B.34
C.16
D.5
6
[解析] 由题意，函数y ＝a x 2
－2b x ＋1在⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12上为减函数满足条件
⎩
⎨⎧
a>0b a ≥12
.
∵第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，
∴a 取1,2时，b 可取1,2,3,4,5,6；a 取3,4时，b 可取2,3,4,5,6；a 取5,6时，b 可取3,4,5,6，共30种．
∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6×6＝36种等可能发生的结果， ∴所求概率为3036＝5
6.故选D.
[答案] D
12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )
A.
110 B.715 C.815 D.13
15
[解析] 根据频率分布直方图，可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4.设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选
取2位工人的结果有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)，共15种.2位工人不在同一组的结果有(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，共8种．故选取的2位工人不在同一组的概率为8
15
.
[答案] C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
[解析] 由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为3
10×50＝15.
[答案] 15
14．在正方形围栏内均匀散布着米粒，一只小鸡在其中随意啄食，则此刻小鸡正在正方形的内切圆中啄食的概率为________．
[解析] 设正方形的边长为1，则其内切圆的半径r ＝12，∴S 正方形＝1，S 内切圆＝πr 2
＝π4
，
∴所求概率P ＝S 内切圆S 正方形＝π
41＝π
4.
[答案]
π
4
15．已知一个5次多项式为f(x )＝4x 5
－3x 3
＋2x 2
＋5x ＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x ＝3时的值为________．
[解析] 由f (x )＝((((4x ＋0)x －3)x ＋2)x ＋5)x ＋1， ∴v 0＝4，
v 1＝4×3＋0＝12， v 2＝12×3－3＝33， v 3＝33×3＋2＝101， v 4＝101×3＋5＝308， v 5＝308×3＋1＝925，
故这个多项式当x ＝3时的值为925. [答案] 925
16．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
三分球个数a1a2a3a4a5a6
应填__________，输出的s＝__________.
[解析]由题意可知，程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知，判断框应填i≤6？，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，故输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.
[答案]i≤6？(i<7？) a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m.
[解](1)第二种生产方式的效率更高，理由如下：
①由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分
钟．因此第二种生产方式的效率更高．
②由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
③由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
④由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．) (2)由茎叶图知m ＝79＋81
2
＝80.
18．(本小题满分12分)为了了解某地区高二年级男生的身高情况，从该地区中的一所高级中学里选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：
(1)求出表中a ，m 的值；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．
[解] (1)因为m 60＝0.1，即m ＝6，又∵a＝60－6－21－660＝27
60
＝0.45，所以a ＝0.45，m
＝6.
(2)身高在151.5～158.5的频率为660＝1
10＝0.1，
身高在158.5～165.5的频率为2160＝7
20＝0.35.
根据频率分布表画出频率分布直方图和折线图如图．
19．(本小题满分12分)一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品．
(1)求恰好有一件次品的概率； (2)求都是正品的概率； (3)求抽到次品的概率．
[解] 将6件产品编号，abcd (正品)，ef (次品)，从6件产品中选2件，其包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种．
(1)设恰好有一件次品为事件A ，事件A 包含的基本事件为ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，
de ，df ，共有8种，
则P(A)＝8
15
.
(2)设都是正品为事件B ，事件B 包含的基本事件数为6，则P(B)＝615＝2
5
.
(3)设抽到次品为事件C ，事件C 与事件B 是对立事件，则P(C)＝1－P(B)＝1－25＝3
5.
20．(本小题满分12分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日
温差x (℃) 10 11 13 12 8 发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
(1)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？
[解] (1)∵x ＝12，y ＝27，∑i ＝2
4
x i y i ＝977，∑i ＝2
4
x 2
i ＝434，
∴b ^
＝
∑i ＝2
4
x i y
i －3x
y
∑i ＝2
4
x 2i －3x 2
＝
977－3×12×27434－3×122
＝5
2
， ∴a ^＝y －b ^
x ＝27－5
2×12＝－3.
故所求的线性回归方程为y ＝5
2
x －3.
(2)当x ＝10时，y ＝52×10－3＝22；当x ＝8时，y ＝5
2
×8－3＝17，
与检验数据的误差都是1，满足题意，故认为(1)中所得的线性回归方程是可靠的． 21．(本小题满分12分) 把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25,6.15)，[6.15,7.05)，[7.05,7.95)，[7.95,8.85)，[8.85,9.75)，[9.75,10.65]，并绘制出频率分布直方图，如下图所示是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；
(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a 、b 两位同学的成绩均为优秀，求a 、b 两位同学中至少有1人被选到的概率．
[解] (1)∵第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14. ∴参加这次铅球投掷的总人数为7
0.14＝50，
根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为 (0.28＋0.30＋0.14)×50＝36.
(2)∵成绩在笫1、2、3组的人数为(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成绩在第5、6组的
人数为(0.30＋0.14)×50＝22，参加这次铅球投掷的总人数为50，
∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95,8.85)内，即第4组．
(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a 、b 、c 、d 、e ，则选出2人的所有可能的情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中a 、b 至少有1人的情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共有7种，
∴a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率为P ＝7
10
.
22．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2
最大时，写出a 、b 、c 的值(结论不要求证明)，并求出此时s 2
的值．
[解] (1)厨余垃圾投放正确的概率为
P ＝“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝2
3
.
(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )＝400＋240＋601000＝7
10
，
所以P(A)＝1－P(A )＝1－710＝3
10
.
(3)当a ＝600，b ＝0，c ＝0时，方差s 2
取得最大值． 因为x ＝1
3
(a ＋b ＋c)＝200，
所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2
]＝80000.。