北京大兴区兴华中学高二数学理上学期期末试题含解析

北京大兴区兴华中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．
【分析】由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率．
【解答】解：由题，∴即
∴，
∴，
解之得：（负值舍去）．
故答案选A．
2. 下列命题中正确的是（）
A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线
B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交
C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行
D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直
参考答案：
A
3. 若则＝（）A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
4. 在中，下列关系式不一定成立的是（）。

A． B．
C． D．
参考答案：
D
略
5. 函数的最小值是( )
A． B． C． D．参考答案：
C
6. 若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（）
A．内的所有直线都与直线异面 B．内不存在与平行的直线
C．内的直线都与相交 D．内必存在直线与垂直
参考答案：
D
略
7. 函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，
则函数在内有极小值点
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案：
A
略
8. 由十个数码和一个虚数单位可以组成虚数的个数为（）
A. B． C． D．
参考答案：
D 解析：复数为虚数，则有种可能，有种可能，共计种可能
9. 在数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+ln（1+），则a n=( )
A．3+lnn B．3+（n﹣1）lnn C．3+nlnn D．1+n+lnn
参考答案：
A
【考点】数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．
【解答】解：∵a1=3，a n+1=a n+ln（1+）=a n+ln，
∴a2=a1+ln2，a3=a2+ln，
a4=a3+ln，
…，
a n=a n﹣1+ln，
累加可得：a n=3+ln2+ln+ln+…+ln=3+lnn，
故选：A 【点评】数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．
10. 若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（）
A．（0，3] B．[﹣1，3] C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】根据指数函数的性质求出函数的值域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：集合A={y|y=2x}=（0，+∞），B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}=（﹣∞，﹣1）∪（3，
+∞），
∴A∩B=（3，+∞）
故选C．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的
离心率为▲ .
参考答案：
因为由于题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即为y=-x，那么根据焦点在x轴上，那么说明是b与a的比值，那么，利用，可知双曲线的a,c的关系式为，
，那么可知离心率e=，故答案为。

考点：本试题主要考查了双曲线的方程以及性质的运用。

点评：解决该试题的关键是先把直线方程整理成y=-x，进而可知a和b的关系，利用c与a,b
的关系
进而求得a和c的关系式，则双曲线的离心率可得。

12. 若圆与圆相外切，则实数= ．参考答案：
±3
圆的圆心为，半径为
圆的标准方程为：(x
－m )2+y 2=1
其圆心为，半径为，
两圆外切时，圆心距等于半径之和，即：
，
求解关于实数的方程可得：.
13. 设的最小值为，则
参考答案：
14. 设函数y=lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为A，函数y=，x∈（0，m）的值域为B．（1）当m=2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的定义域．
【专题】简易逻辑．【分析】（1）先求出A=（1，3），再求出B=（，2），取交集即可；（2）根据：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得不等式解出即可．
【解答】解：（1）由﹣x2+4x﹣3＞0，解得：1＜x＜3，∴A=（1，3），
又函数y=在区间（0，m）上单调递减，
∴y∈（，2），即B=（，2），
当m=2时，B=（，2），∴A∩B=（1，2）；
（2）首先要求m＞0，
而“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
∴B?A，即（，2）?（1，3），
从而≥1，解得：0＜m≤1．
【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．
15. 若复数是实数，则实数．
参考答案：
1
略
16. 高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__________．
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__________．
参考答案：
乙；数学
①观察散点图可知，甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生是乙． ②观察散点图，作出对角线
，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成
绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙的成绩名次靠前的科目是数学． 17. 命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc .”的逆命题是 ．
参考答案：
当
时，若
，则
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
参考答案：
19. (本小题满分10分)在下面三个图中，右面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观
图，它的正视图和侧视图在左面画出(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
参考答案：
(1)如图．
(2)所求多面体的体积
V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝(cm3)．
20. 设
（Ⅰ）求的单调区间.
（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.
参考答案：
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.
【分析】
（Ⅰ）对分三种情况讨论，利用导数求的单调区间；（Ⅱ）先求出函数h(x)在
上单调递减，在上单调递增，再求出，即得解. 【详解】解：（I）
时，令令
故在单调递增，在上单调递减；
0≤≤1时，恒成立，故单调递增.
时，令令
故在单调递减，在上单调递增；
综上：在单调递增，在上单调递减；
时在单调递增.
时，在单调递减，在上单调递增.
（II）当时，
由于在上单调递增且
故唯一存在使得即
故h(x)在上单调递减，在上单调递增，故
又且在上单调递增，
故即
依题意：有解，故
又故
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21. 在平面上⊥，||=||=1， =+，||＜，则的取值范围是
（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知作出图形，设出点O（x，y），|AB1|=a，|AB2|=b，则点P（a，b），结合
求出x2+y2的范围得答案．
【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，
以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设点O（x，y），|AB1|=a，|AB2|=b，则点P（a，b），
由，得，则，
∵，∴，
∴，得，
∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1．
同理x2≤1，∴x2+y2≤2．
综上可知，，则．
故选：B．22. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，点P为椭圆C上任意一点，且△PF1F2面积最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A、B两点（点A在第一象限），M、N是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）根据条件便可得到关于a，b的方程组：，可解出a，b，从而可得出椭圆的方程为；
（2）根据条件可得A的坐标为，可设直线MN的方程为y=kx+m，联立椭圆的方程便可得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，可设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理便可得到
，而根据条件可得到k AM+k AN=0，这样便可得出关于k，m的式子，并可整理成（2k﹣1）（2m+2k﹣3）=0，从而得出直线MN的斜率为定值．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为；
即；
∴①；
△PF1F2面积的最大值为，即；
∴（a2﹣b2）b2=3②；
①②联立解得a2=4，b2=3；
∴椭圆C的方程为；
（2），设直线MN的方程为：y=kx+m，联立椭圆方程可得：
（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0；
设M（x1，y1），N（x2，y2），则：
；
由∠MAB=∠NAB知，k AM+k AN=0；
∴；
即；
∴=；化简得，（2k﹣1）（2m+2k﹣3）=0；
∴为定值．。