新人教版高中数学选修1-1(A文)充分条件与必要条件

充分条件与必要条件
教学目标：
1.理解推断符号“⇒”的含义。

2.理解掌握充分条件、必要条件的意义及应用。

3.培养学生的逻辑推理能力。

教学重点：
充分条件、必要条件的判断。

教学难点：
理解充分条件、必要条件的判断方法。

教具准备：
多媒体教案。

教学过程：
复习回顾
命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q。

四种命题及相互关系：
互
二、新课§1.8.1 充分条件与必要条件
1.推断符号“⇒”的含义：
例如命题（2）、（3）、（4）为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“p⇒q”。

又例如命题（1）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p q”。

请同学用推断符号“⇒”写出上述命题。

答：（1）a>b⇒ac>bc； (2)a>b⇒a+c>b+c；
(3)x≥0⇒x2≥0；（4）两三角形全等⇒两三角形面积
相等。

2.充分条件与必要条件
下面给出充分条件与必要条件的定义。

一般地，如果已知p ⇒q ，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的
必要条件。

由上述定义中，“p ⇒q ”即如果具备了条件p ，就足以保证q 成立，
所以p 是q 的充分条件，这点容易理解。

但同时说q 是p 的必要
条件是为什么呢？请同学们讨论。

（不很理解的较多，特别是q 是结论，怎么又变为条件呢？）
应注意条件和结论是相对而言的。

由“p ⇒q ”等价命题是“┐q ⇒
┐p ”，即若q 不成立，则p 就不成立，故q 就是p 成立的必要条
件了。

但还必须注意，q 成立时，p 可能成立，也可能不成立，即
q 成立不保证p 一定成立。

回答上述问题（2）、（3）、（4）中的条件关系。

（2）中：“a>b”是“a+c>b+c”的充分条件；“a+c>b+c”是“a>c”
的必要条件。

（3）中：“x ≥0”是“x2≥0”的充分条件；“x2≥0”是“x ≥0”
的必要条件。

（4）中：“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件。

“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。

3.从集合角度理解：
①p ⇒q ，相当于Q P ⊆，即 P Q 或 P 、Q
即：要使x ∈Q 成立，只要x ∈P 就足够了——有它
就行。

②q ⇒p ，相当于Q P ⊇，即 Q P 或 P 、Q
即：为使x ∈Q 成立，必须要使x ∈P ——缺它不行。

q ⇒p 等价于q p ⌝⇒⌝。

*（下一课时）③p ⇔q ，相当于P=Q ，即 P 、Q
即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物。

例：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件：
（1）p ：x=y ；q ：x2=y2;
(2)p:三角形的三条边相等；q:三角形的三个角相等；
（3）p ：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0；
x
-3
(4) p ：x=2或x=3,q:x-3= .
答：（1）因x=y ⇒x2=y2,即p ⇒q.所以p 是q 的充分条件，q 是p
的必要条件。

（2）因三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，即p ⇒q 。

所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

又因：三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，即q ⇒p 。

则q 也是p 的充分条件，p 也是q 的必要条件。

（3）因x=1或x=2⇒x2-3x+2=0,即p ⇒q 。

则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

又因2
x -3x+2=0⇒x=1或x=2.
则q 也是p 的充分条件，p 也是q 的必要条件。

（4）因x=2或x=3⇒x-3= ,但x-3= ⇒x=2
或x=3.
即p q ，而q ⇒p 。

所以q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件。

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按
条件和结论的充分性、必要性可分为几类？请同学讨论。

可分为四类：（1）充分不必要条件，即p ⇒q,而q p;(2)必要不
充分条件，即p ⇐q,而p q;(3)既充分又必要条件，即p ⇒q ，又
有q ⇒p;(4)既不充分也不必要条件，即p q ，又有q p 。

*4、探讨下列生活中名言名句的充要关系。

（1）水滴石穿
（2）骄兵必败
（3）有志者事竞成
（4）头发长，见识短
（5）名师出高徒
（6）放下屠刀，立地成佛
（7）兔子尾巴长不了
（8）不到长城非好汉
（9）春回大地，万物复苏
（10）海内存知己
（11）蜡炬成灰泪始干
（12）玉不琢，不成器
说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同
观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提
或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，x -3x -3
⇒⇒
不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维” 。

三、课堂练习：课本P35 1、2题
补充：判断下列问题中，p 是q 成立的什么条件？
p q
（1）x2>1 x<-1
（2）|x-2|<3 -x2+4x+5>0
（3）xy ≠0 x ≠0或y ≠0
解：（1）p q ，q ⇒p （2）p ⇔q
（3）p ⇒q ，q p (原问题。

，则且000===⇔xy y x )
2、判别步骤
（1）认清条件和结论。

（2）考察p ⇒q 和q ⇒p 的真假。

3、判别技巧
（1）可先简化命题。

（2）否定一个命题只要举出一个反例即可。

（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

四、课时小结：
推断符号⇒，⇐
本节课主要研究了三点内容：充分条件的意义 命题充分性、必要性的判断。

必要条件的意义
1、定义：
如果已知p ⇒q ，则说p 是q 的充分条件。

如果已知q ⇒p ，则说p 是q 的必要条件。

如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，则说p 是q
的充要条件。

2、从集合角度理解：
①p ⇒q ，相当于Q P ⊆，即 P Q 或 P 、Q
即：要使x ∈Q 成立，只要x ∈P 就足够了——有它
就行。

②q ⇒p ，相当于Q P ⊇，即 Q P 或 P 、Q
即：为使x ∈Q 成立，必须要使x ∈P ——缺它不行。

q ⇒p 等价于q p ⌝⇒⌝。

*③p ⇔q ，相当于P=Q ，即 P 、Q
即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物。

四、课后作业
1.书面作业：课本P36，习题1.8:1（1）、（2）；2：（1）、（2）、（3）。

2、写出生活中有四种关系的名言名句各1句。

3、名句探微——名言名句充要关系之剖析。

（500字左右）
4.预习：下节内容，预习提纲：
（1）充分必要条件的意义是什么？
（2）怎样判断命题的充要条件？。