专题3数列(解析版)-十年(2011-2020年)全国1卷高考数学(理)真题章节汇编

专题3 高考真题 数列
一、单选题
1．记为等差数列的前n 项和．已知4505S a ==，，则
A ．
B ．
C ．
D ． 答案 A
【分析】
等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，，44(72)1002
S -+=
=-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522
S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】
由题知，，解得，∴，故选A ．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 2．设为等差数列的前项和，若3243S S S =+，，则
A ．
B ．
C ．
D ． 答案 B
【解析】
分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得32433(32)224222
d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
3．（2017新课标全国I 理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 C
【解析】 设公差为，，611656615482
S a d a d ⨯=+=+=，联立解得，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若
m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.
4．已知等差数列前9项的和为27，，则
A ．100
B ．99
C ．98
D ．97
答案 C
【解析】
试题分析：由已知，所以故选C.
【考点】等差数列及其运算
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
5．设等差数列的前n 项和为，若，则( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案 C
【分析】
由又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果.
【详解】
是等差数列 ()102
ms m m a a S +∴=
= 又113m m m a S S ++=-=，
∴公差11m m d a a +=-=，
，故选C ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…
若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝，c n ＋1＝，则( )
A ．{S n }为递减数列
B ．{S n }为递增数列
C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列
答案 B
【详解】
且，，，
111111120b a a c a a c ∴-=--=->，，
又，11112a c c a ∴--<，，， 由题意，112n n n n n b c b c a ++++=+，1112(2)2
n n n n n n b c a b c a ++∴+-=+-， 1112b c a +=，11120b c a ∴+-=，
20n n n b c a ∴+-=，122n n n b c a a ∴+==，12n n b c a +∴=，
由此可知顶点在以、为焦点的椭圆上， 又由题意，，111112(2)2
n n n n n a b b b a b a b ++----=
=-， 1111()2
n n b a a b +∴-=-，， 11111()()2n n b a b a -=+--，1111112()()2n n n c a b a b a -=-=---，
2212111131[()()]424
n a a b a -=--单调递增（可证当时 故选：．
7．已知为等比数列,,,则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案 D
【分析】
由条件可得的值，进而由和可得解.
【详解】
或.
由等比数列性质可知 2274101478,1a a a a a a ==-==或227410147
1,8a a a a a a ====-
故选D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
8．设为等差数列的前n 项和，若，公差，则k=
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
答案 D
【解析】
D.由，公差，得，从而，所以，解得k=5
二、填空题
9．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若，则S 5=____________．
答案 .
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为，由已知，所以又， 所以所以55
151(13)(1)12131133a q S q --===--．
【点睛】
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
10．记为数列的前项和，若，则_____________．
答案
【分析】
首先根据题中所给的，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.
【详解】
根据，可得1121n n S a ++=+，
两式相减得1122n n n a a a ++=-，即，
当时，11121S a a ==+，解得，
所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以66(12)6312
S --==--，故答案是. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
11．设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．
答案
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
考点：等比数列及其应用
12．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋，则数列{a n }的通项公式是a n =______.
答案 ；
【详解】
试题分析：解：当n=1时，a 1=S 1=a 1+，解得a 1=1,当n≥2时，a n =S n -S n-1=（）-（）=-整理可得a n ＝−a n−1，即=-2，故数列{a n }是以1为首项，-2为公比的等比数列，故a n =1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．
考点:等比数列的通项公式．
13．数列满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则的前项和为
答案 1830
【解析】
试题分析：()()11121211n n
n n n n a a n a n a +++--∴---＝，＝，令则，即数列是以16为公差的等差数列，的前60项和为即为数列{b n }的前15项和
1123415141010151618302
b a a a a S ⨯=+++=∴⨯+
⨯=＝ 考点：数列递推式，数列求和 【名师点睛】本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，属难题.解题时要注意等差数列的求和公式的应用，解题的关键是有已知条件的特征构造等差数列，利用等差数列求和.
三、解答题
14．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
答案 （1）；（2）1(13)(2)9
n
n n S -+-=. 【分析】
（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】
（1）设的公比为，为的等差中项，
212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，
1,2q q ≠∴=-；
（2）设的前项和为，111,(2)n n a a -==-，
21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-+
+-，①
，②
①②得，
，
1(13)(2)
9n
n n
S -+-
∴=.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
15．为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
答案（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：
（Ⅱ）求出b n，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．
【详解】
解：（I）由a n2+2a n＝4S n+3，可知a n+12+2a n+1＝4S n+1+3
两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）＝4a n+1，
即2（a n+1+a n）＝a n+12﹣a n2＝（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），
∵a n＞0，∴a n+1﹣a n＝2，
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，
则{a n}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{a n}的通项公式a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵a n＝2n+1，
∴b n（），
∴数列{b n}的前n项和T n（）（）.
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
16．已知数列的前项和为，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
答案 （1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（I ）对于含递推式的处理，往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式．结合结论，该题需要转换为项的递推式．故由得1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得结论；（II ）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由，，，列方程得，从而求出．得，故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列的通项公式，再证明等差数列．
试题解析：（I ）由题设，，1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得，121()n n n n a a a a λ+++-=．
由于，所以．
（II ）由题设，，1211a a S λ=-，可得，由（I ）知，．令，解得．
故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，211(1)443n a n n -=+-⋅=-；
是首项为3，公差为4的等差数列，．
所以，．
因此存在，使得为等差数列．
【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．。