中国石油大学物理2-1作业习题解答7章

中国石油大学物理2-1作业习题解答7章
习题7
7-3．在体积为2.0×10-3m 3 的容器中，有内能为6.75×102
J 的刚性双原子分子理想气体。

求：
(1) 气体的压强；(2)设分子总数为5.4×1022 个，则分子的平均平动动能及气体的温度。

[解] (1)理想气体的内能 kT i N E 2
= (1)
压强 kT V
N nkT p =
= (2)
由(1)、(2)两式可得 5
1035.152?==
V
E p Pa
(2) 由 kT i N E 2?= 则 36252==kN
E T K
又 21
23
10
5.736210
38.12
323--?==
=kT w J
7-4．容器内储有氧气，其压强为p = 1.01×10 5 Pa ，温度为 t = 27℃。

求：(1)单位体积内的分子数；(2)分子的平均平动动能。

解：（1）由nkT p = 5
25-1
1.0110
2.4410m 1.3810300
p n kT
-?=
=
=
（2）
J 1021.763001038.12
32321
23--?===kT w
7-5．容器内某理想气体的温度T ＝273K ，压强p =1.00 ×10-3atm ，密度为3
1.25g m
ρ-=?，求：
(1)气体的摩尔质量；(2)气体分子运动的方均根速率；(3)气体分子的平均平动动能和转动动能；(4)单位体积内气体分子的总平动动能；
(5)0.3mol 该气体的内能。

[解] (1) 气体的摩尔质量
p
kT
N m N M ρ0
0mol ==
m o l kg 028.010
013.11000.1273
10
38.110
25.110
02.65
3
3
23
=
=---
所以该气体是2N 或CO (2) 由nkT P = 得 kT P n =
所以 P kT
n m ρρ
=
=
所以 49310
25.110
013.110
00.133333
3
3
2
==
=
=
=
---ρ
ρυ
P
P kT
kT
m
kT s m
(3) 气体分子的平均平动动能
65.527310
38.12
32321
23
--?==
=
kT ε
气体分子的转动动能
J 10
77.327310
38.12
221
23
2--?=??==
kT ε
(4) 单位体积内气体分子的总平动动能3
2
5
3
1m
J 10
52.110
013.110
00.12
32323?==
=
=
=-p kT kT
p n E ε
(5) 该气体的内能
J 10701.127331.82
53.02
3.03.03
mol ?=
=?
==RT i E E
（删除）7-6．设N 个粒子的系统的速率分布函数为:dN v =kdv (V >v >0，k 为常量)，dN v =0 (v > V)，
(1) 画出分布函数图； (2)用N 和v 定出常量k ； (3) 用V 表示出算术平均速率和方均根
速率。

7-7．有N 个质量均为m 0的同种气体分子，f (v )是速率分布函数，N f (v )随速率的分布如图7-7所示。

(1)说明曲线与横坐标所包围面积的含义；(2)由N 和v 0求a 值；(3)求在速率0
2v 到0
32
v 间隔内的分子数；(4)
求分子的平均平动动能。

解：（1）曲线下的面积表示总分子数（2）根据图可得 00
00(0)()(2)
()
a v v v v N f v a v v v ?>>??=?
>>其他
总分子数可表示为：0
()d Nf v v N ∞=?， 0001(2)2
av a v v N +-= 032
v a N =, 0
23N a v =
（3）在速率0
2
v 到0
32
v 间隔内的分子数为：
0000
33220002
2
317()d d d 8
2
12
v v v v v v a N f v v v v a v av av av v = +
=
+
=
（4）速率分布函数为
00
00(0)()(2)0
()a
v
v v N v f v a v v v N ?>> =?>>?
其他
习题7-7图
00
a
则分子的平均平动动能为：
000
3
22
2
2
3
3
0000000000
0711131()d d d 2
2
2
8624
v v v m a m a m av a a w m v f v v m v v v m v
v v v v N
N
N
N
N
∞=
=
+
+
=
又因为0
23N a v =
，
3
2
00000
3123124
336
m v N w m v N
v =
=
7-8．设地球大气是等温的，温度为17℃，海平面上的气压为P 0=1.0×105pa ，已知某地的海拔高度为h =2000 m ，空气的摩尔质量31kg mol 2910--??，求该地的气压值。

解：3
02910
102000
5
4
8.31(27317)00 1.01107.9510Pa m gz
M gz
kT RT p p e p e e --
-
+===??=?
7-9．试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率，取分子有效直径为
3.5×10-10
m ，空气平均摩尔质量为3
1
kg mol 2910--??。

解：()m 1085.610
01.110
5.314.32273
10
38.1π28
-5
2
10
-23
-2
==
=
p d kT λ
1
2
1
3
s m 1046.4s
m 10
2914.327331.88π8---??==
=
M
RT v
1
9
1
8
2s 1054.6s
10
85.61046.4---?=??=
=
λ
v
z
7-10．设氮分子的有效直径为10-10m ，(1)求氮气在标准状态下的平均碰撞次数；(2)如果温度不变，气压降到1.33×10-4 Pa ，则平均碰撞次数又为多少？解：（1）分子的平均速率 1
21
3
s
m 1054.4s m 10
2814.3273
31.88π8---??==
=
M RT
v
由气体的压强公式可求得气体分子的数密度
3
25
3
23
5
10
69.2m
273
10
38.110013.1---?==
=
kT
p n
平均碰撞次数
()
1
-8
2
2
10
-25
2
s
1042.510
54.410
3.14 1069.222??==
=
次v d n z π
（2）温度不变的情况下，分子的平均速率不变，又因为kT
v d p v d n z 2
2
22ππ==
，所以
12
1p p z z =
1
-7
8
5
411
22s 1014.71042.510
01.11033.1??==
=次z p p z
7-11．设电子管内温度为300 K ，如果要管内分子的平均自由程大于10cm 时，则应将它抽到多大压强？(分子有效直径约为3.0×10-8 cm)。

解：气体分子的平均自由程为： p
d kT n
d 2
2
π2π21=
=
λ，要使自由程大于=0λ10cm ，
则有
02
π2λ>p
d kT ，最大气压为
Pa 1036.01
.0100.314.32300
10
38.1π22
10
2
==
=
--λd kT p
补充：
1. 一容积为3cm 10的电子管，当温度为300K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为
mmHg 10
56
-?的真空，问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总转
动动能是多少?总动能是多少?
[解] 由理想气体状态方程 kT V
N P =
得 12
23
6
5
6
10
61.1300
10
38.1760101010
013.110
5?==
=---kT
PV N
一个理想气体分子的平均平动动能为： kT kT i e 2
32
=
所以总的平均动能为：
8
6
5
6
110
110
0.1760
10013.11052
3232323---?==
=
=
=PV kT kT
PV kT N
E J
将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，而每一个双原子分子的平均转动动能为
kT kT kT r e ==
=
2
222
所以总的转动动能为：
8
6
5
6
2210
667.010
10760
10013.110
5---?==
==
=PV kT kT
PV e N E J
总动能82110667.1-?=+=E E E k J
2. 容积为3
3m 1010-?的容器以速率s m 200匀速运动,容器中充有质量为50g ，温度为18℃
的氢气。

设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子。

[解] 由能量守恒定律知 k 2
2
1E Mv
= 又因 RT M
M RT i M
M E 2
52
mol
mol
k =
=
所以 K 9.110
38.1510
410
35.35523
4
27
2
2
mol
==
=
=
--k
mv v
R
M
T
由 kT V
N p =
Pa 1095.310
101035.39
.110
38.110504
3
27
23
3
==
=
=?----mV
T Mk T k V
N p
3. 容积为33m 1030-? 的容器中，贮有kg 10203-?的气体，其压强为Pa 107.503?。

求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。

[解] 设容器内气体分子总数为N ，则有kT
pV N =
该气体分子质量为 pV kT M
N
M m ==
最概然速率为 s m 10 89.310
2010
3010
7.5022222
3
3
3
p ?==
=
=
=
--M
pV kT
pV M
kT m
kT v
平均速率为 s m 10 39.410
2010
3010
7.5060.160
.160
.182
3
3
3
=
====
--M
pV m
kT m
kT
v π
方均根速率m 10 77.410 2010 3010
7.5073.173 .173
.132
3
3
3
2
=
====
--M
pV m
kT m
kT v。