14年高考 数学 限时训练 7.1 不等关系与不等式 [含答案解析] (2)

双基限时练
巩固双基,提升能力
一、选择题
1．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则( ) A ．a 2＜b 2
B ．a 2b ＜ab 2
C ．2a －2b
＜0
D.1a ＞1b
解析：取a ＝－4，b ＝2即可判断选项A 、B 、D 错，故选C. 答案：C
2．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b
＞
2.其中正确的不等式是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④ 解析：取a ＝－1，b ＝－2，验证即可． 答案：C
3．(2013·泉州调研)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.
1
ab ＞12 B.1a ＋1b
≤1
C.ab ≥2
D.1a 2＋b 2≤18
解析：取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D. 答案：D
4．(2013·广东潮州质检)已知0＜x ＜y ＜a ＜1，m ＝log a x ＋log a y ，则有( ) A ．m ＜0 B ．0＜m ＜1 C ．1＜m ＜2
D ．m ＞2
解析：由0＜x ＜y ＜a ，得0＜xy ＜a 2
.又0＜a ＜1， 故m ＝log a x ＋log a y ＝log a xy ＞log a a 2＝2.故选D. 答案：D
5．(2013·阳江联考)已知a ，b 满足0＜a ＜b ＜1，下列不等式中成立的是( )
A ．a a ＜b b
B ．a a ＜b a
C ．b b ＜a b
D ．b b ＞b a
解析：取特殊值法．
令a ＝14，b ＝12，则a a
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
1
2 ，
b b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 12
，故A 错．
a b
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12 ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 12 ＝b b ，故C 错．
b b
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 12 ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 14 ＝b a ，故D 错.
答案：B
6．(2013·怀化调研)若0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1
B ．log 12 b ＜log 12 a ＜0
C ．2b ＜2a ＜2
D ．a 2＜ab ＜1
解析：∵y ＝2x 是单调递增函数，且0＜b ＜a ＜1， ∴2b ＜2a ＜21，即2b ＜2a ＜2. 答案：C 二、填空题 7．下列四个不等式：
①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a .
其中使1
a ＜1
b
成立的充分条件有__________．
解析：1a ＜1b ⇔b －a
ab
＜0⇔b －a 与ab 异号，依题设，知①②④能使b －a 与ab
异号.
答案：①②④
8．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＜1，则4a 5－3a 3与a 1
的大小关系是__________．
解析：4a5－3a3－a1＝4a1q4－3a1q2－a1
＝a1(4q4－3q2－1)
＝a1(q2－1)(4q2＋1)．
∵0＜q＜1，∴q2＜1，即q2－1＜0.
又a1＞0,4q2＋1＞0，∴4a5－3a3－a1＜0，即4a5－3a3＜a1.
答案：4a5－3a3＜a1
9．(2013·广州调研)设a＞b＞c＞0，x＝a2＋b＋c2，y＝b2＋c＋a2，z＝c2＋a＋b2，则x，y，z的大小顺序是__________．
解析：方法一：y2－x2＝2c(a－b)＞0，∴y＞x.
同理，z＞y.∴z＞y＞x.
方法二：令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝18，y＝20，z＝26，故z＞y＞x.
答案：z＞y＞x
三、解答题
10．已知－1
2＜a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝
1
1＋a
，D＝
1
1－a
，试比较A，B，
C，D的大小．
解析：∵－1
2
＜a＜0，不妨取a＝－
1
4
，
这时A ＝
1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45
， 由此猜测：C ＞A ＞B ＞D .
下面再来证明这个结论：C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝
－a
a 2＋a ＋11＋a
＝
－a ⎣⎢⎡⎦⎥
⎤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a
.
∵1＋a ＞0，－a ＞0，⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34
＞0，∴ C ＞A . A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B . B －D ＝1－a 2
－11－a
＝
a
a 2－a －1
1－a
＝
a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫a －122－541－a
.
∵－1
2
＜a ＜0，∴1－a ＞0.
⎝
⎛
⎭⎪⎫a －122－54＜⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－122－54＜0，∴B ＞D . 综上所述，C ＞A ＞B ＞D .
11．已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝
mx x －1
，试比较f (a )与f (b )的大小．
解析：f (x )＝mx
x －1＝m ⎝
⎛
⎭
⎪⎫1＋1x －1，
所以f (a )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋
1a －1，f (b )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b －1. 由a ＞b ＞1，知a －1＞b －1＞0，
所以1＋
1a －1＜1＋1b －1
. ①当m ＞0时，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋
1a －1＜m ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1b －1，f (a )＜f (b )； ②当m ＝0时，f (a )＝f (b )；
③当m ＜0时，m ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋
1a －1＞m ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1b －1，f (a )＞f (b )． 综上，当m ＞0 时，f (a )＜f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m ＜0时，f (a )＞f (b )．
12．设x ＞0，且x ≠1，f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2.试比较f (x )与g (x )的大小．
解析：比较两对数的大小，应联系对数的性质及对数函数的单调性． f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x －log x 4＝log x 3
4
x .
①当log x 3
4
x ＞0，即⎩⎨⎧
x ＞1，3
4x ＞1，
或⎩⎨⎧
0＜x ＜1，0＜3
4
x ＜1，
也就是x ＞4
3
，或0＜x ＜1时， f (x )＞g (x )．
②当log x 3
4
x＝0，即
3
4
x＝1，
也就是x＝4
3
时，f(x)＝g(x)．
③当log x 3
4
x＜0，即
⎩
⎨
⎧x＞1，
0＜
3
4
x＜1，
或
⎩
⎨
⎧0＜x＜1，
3
4
x＞1，
也就是1＜x＜4
3
时，f(x)＜g(x)．
综上，当x＞4
3
，或0＜x＜1时，f(x)＞g(x)；
当x＝4
3
时，f(x)＝g(x)；
当1＜x＜4
3
时，f(x)＜g(x)．。