一元二次方程及其解法应用
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3
拓展与提高：
2、解方程：4 ((xx 1)22)2 4((xx21))22
练习 (1) (x 1)2 36(12x)2 0 (2) 4(3x 1)2 9(3x 1)2 0
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
1、x2－3x－10=0
2、(x+3)(x-1)=5
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0
x2+2x－8=0
(x－2)(x+4)=0
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ,x2=-2
∴ x1=2 ,x2=-4
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x2)0 x10,x22
(1 ) ( x 1 ) 2 4
(2) 1 (y 2)2 3 0 3
(3) 4(3 2 x)2 49 0
小结
(4) 1 (2 x 3)2 10 0 2
如何解形如 (xh)2 k 的一元二次方程?
例 2、 解 下 列 方 程 ： (1) ( y 1) 2 2 (2) 9(x 2)2 25 0 (3) 1 (2 x 3)2 4 0
解： 3 x 2 7 ,
x2 7 , 3
x 7, 3
x 21 , 3
x1
21 3
,x2
21 . 3
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
x 102,x 102
2
2
解下列方程：
是一元二次方程, 求：m的取值范围.
解：∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
方程的解的定义
❖ 使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方 程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方 程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X2－5X＋6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就 一定有两个解。
（A）-2 （B）2 （C）2 （D）2、2
3、方程(x-1)²=(1-x)的根是(D ) （A）0 （B）1 （C）-1和0 （D）1和0
1.用因式分解法解下列方程：
①(x－5)(x+2)=18
②(2a－3)2=(a－2)(3a－4)
③ 2 y2=3y
④x2+7x+12=0
⑤t(t+3)=28
1、 什么样的一元二次方程可以 用因式分解法来解？
学 2、用因式分解法解一元二次方
检 程，其关键是什么？
测 3、用因式分解法解一元二次方
题 程的理论依据是什么?
4、用因式分解法解一元二方程，
必须要先化成一般形式吗？
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
4、一元二次方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
5、一元二次方程分类
a2xb xc0(a0) a2 xc0(a0 ,b0 ,c0) a2 xb x 0 (a 0 ,b 0 ,c 0 ) a2x 0(a0,bc0)
探究交流
❖ （1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元 二次方程？
x .
x1
3
1 3
3 ,
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
x2 3.
心动 不如行动
成功者是你吗
用配方法解下列方程.
6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ;
10. 3x2 - 9x +2 = 0 ;
7. 3x2 + 2x – 3 = 0 ; 11. 2x2 +6=7x ;
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m
4
3.x2＋4x＝2；
你能行吗
5.3x2 +8x –3=0 ; 这个方程与前4个方程不 一样的是二次项系数不是 1,而是3. 基本思想是: 如果能转化为前4个方程 的形式,则问题即可解决.
4.x2－6x＋1＝0 ；
你想到了什么办法?
师生合作 1
配方法
例2 解方程 3x2+8x-3=0.
解 x:23x2 8 x8 x1 30 . 0.
(1) x 2 3 x 2 0 ;
解
a1 ,b 3 ,c2
b24ac32412
(2)x2 2 2x 2; (3)4 x2 3x 2 0.
10
x3 131
21
2
x12,x21.
用公式法解下列方程，根据方程根的 情况你有什么结论？
(1)2 x 2 5 x 3 0; (2)8 y(2 y 5) 25; (3)x2 x 1 0.
例：解方程：x2=3x 解：移项，得x2-3x=0
将方程左边分解因式，得x(x-3)=0 ∴x=0 或x-3=0
∴原方程的解为：x1=0 x2=-3
这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
特点：在一元二次方程的一边是0， 而另一 边易于分解成两个一次因式时，就可以用因 式 分解法来解。
例1、解下列方程
8. 2x2 + x – 6 = 0 ;
12. x2 _x +56 = 0 ;
9.4x2+4x+10 =1-8x . 13. -3x2+22x-24=0.
小结 拓展 回味无穷
本节课复习了哪些旧知识呢？ 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a .
（2）当m=
时，方程（m2－1）x2－（m
－1）x＋1=0是关于x的一元一次方程。 答案：m=－1
（3）已知关于x的一元二次方程（m－1） x2＋ 3x＋㎡－1=0有一个解是0，求m的值。答案：m=－1
（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2＋ m2x－1= x2＋x 没有一次项？ 答案：m=－1
3、说明多项式 x 2 2 m 2 m x 2 1的值恒大于0
xm2m21
4、先用配方法说明：不论x取何值，代数式 x25x7 值总大于0，再求出当x取何值时，代数式 x25x7的值
最小？最小值是多少？
随堂练习 1 解下列方程. 1.x2 – 2 = 0;
2.x2 -3x- 1 =0 ;
(2)y (2)y (3)0y12,y23
(3 )3 (x2 )2 (x 1 )0x1
2, 3
x2
1 2
(4)x2 x
x10,x2 1
例2 解下列方程： （1） x2-3x-10=0 （2） （x+3）·（x-1）=5
(3 )3 x (x 2 ) 5 (x 2 )
(4)(3x1)250
填空题练习：
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二Βιβλιοθήκη 1.化1:把二次项系数化为1;
x2 38 x 1.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x28x342 142. 3 3 3
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
x
4
2
52.
3 3
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
x 4 5. 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
34 53
一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0)的 求根公式
b b2 4ac
x=
2a
（b2-4ac≥0）
例： 解方程步骤 ( 1 ) 3y2-2y=1
（2） 2x22x3 00
一般步骤： （1）先把方程化为一般形式 （2）确定a,b,c （3）判定△=b2-4ac的值 （4）代入求根公式
利用公式法解下列方程，从中你能发现么？
次方程解应用题).
设a≠0，a,b,c 都是已知数，并且
b2-4ac≥0，试用配方法解方程：
解
ax2
a2 xbxc
+bx+cx=0b.2
2a
b2 4ac 4a2
x2 b x c aa
因为 b2-4ac≥0
x2bxb2cb2 a 2a a 2a
x b b24ac
2a
2a
xb b2 4ac 2a
x=± p 或mx+n= ± p （p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
用配方法解下列方程:
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3) －x2＋4x－3=0
1.在用配方法解 同时加上( C )
x2
1 2
x
1
时,方程的两边应
A.1
B.1
C. 1
D. 1
4
16
64
2.解方程: ① x24x30
一元二次方程及其解法
知识点回顾
1、整式方程
等号两边都是关于未知数的整式的方程，叫做 整式方程．
2、一元二次方程
一个整式方程整理后如果只含有一个未知数，且未 知数的最高次项的次数为2次的方程，叫做一元二次方 程．
3、一元二次方程的一般形式
方程ax2＋bx＋c=0(a、b、c为常数，a≠0)称为一 元二次方程的一般形式，其中ax2，＋bx，＋c分别叫做 二次项，一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和 一次项系数．
结论1
（1）当 b24ac0时，一元二次方程
ax2bxc0(a0)
有实数根
x1 b
b24ac 2a
b b24ac
x2
2a
结论2
（2）当 b24ac0时，一元二次方程
ax2bxc0(a0)
有实数根
x1
x2
b 2a
结论3
（3）当 b24ac0时，一元二次方程
ax2bxc0(a0)
无实数根.
自
⑥(4x－3)2=(x+3)2
(7 )x 2 (3 2 )x 6 0
根的作用： 可以使等号成立.
活动3
巩固练习
1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1） x2 360；
（2） 4x2 90.
形如 ax2c0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
ax2 c.
x2 c .
a
当ac<0时 ， x
c.
a
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
-3x2+7=0.
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对 吗？
答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。 （2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前 面的性质符号。
练习：
（1）方程（m＋2）X|m|＋3mx＋1=0是关于X 的一元二次方程，求m的值。 答案：m=2
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2)x2－3x＋
9 4
=(x－
3 2
)2
(3)x2－12x＋ 36 =(x－ 6)2
配方时,若二次项系数为1，则配上的
常数是一次项系数一半的平方.
请同学解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式， 那么可得
活动2
猜测下列方程的根是什么？
x2x560
方程的根：使一元二次方程等号两边相等 的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.
活动2
4.（1）下列哪些数是方程 x2x60
的根？从中你能体会根的作用吗？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
（2）若x＝2是方程 ax24x50的一个
根，你能求出a的值吗？
（1）方程x（x+1）=0的根是______.
（2）已知x=0是关于x的一元二次方程 （m+1）x2+3x+m2-3m-4=0的一个根， 则m=_______.
（3）若方程ax2+bx+c=0的各项系数 之和 满足a-b+c=0，则此方程必有一 根是________.
选择题训练 1.对于方程(x-a)(x-b)=0,下列结论正确的是( B ) （A） x-a=0 （B）x-a=0或x-b=0 （C） x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 2、方程x(x-2)=2(2-x)的根为(C )
拓展与提高：
2、解方程：4 ((xx 1)22)2 4((xx21))22
练习 (1) (x 1)2 36(12x)2 0 (2) 4(3x 1)2 9(3x 1)2 0
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
1、x2－3x－10=0
2、(x+3)(x-1)=5
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0
x2+2x－8=0
(x－2)(x+4)=0
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ,x2=-2
∴ x1=2 ,x2=-4
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x2)0 x10,x22
(1 ) ( x 1 ) 2 4
(2) 1 (y 2)2 3 0 3
(3) 4(3 2 x)2 49 0
小结
(4) 1 (2 x 3)2 10 0 2
如何解形如 (xh)2 k 的一元二次方程?
例 2、 解 下 列 方 程 ： (1) ( y 1) 2 2 (2) 9(x 2)2 25 0 (3) 1 (2 x 3)2 4 0
解： 3 x 2 7 ,
x2 7 , 3
x 7, 3
x 21 , 3
x1
21 3
,x2
21 . 3
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次方程，得
x 102,x 102
2
2
解下列方程：
是一元二次方程, 求：m的取值范围.
解：∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
方程的解的定义
❖ 使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方 程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方 程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X2－5X＋6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就 一定有两个解。
（A）-2 （B）2 （C）2 （D）2、2
3、方程(x-1)²=(1-x)的根是(D ) （A）0 （B）1 （C）-1和0 （D）1和0
1.用因式分解法解下列方程：
①(x－5)(x+2)=18
②(2a－3)2=(a－2)(3a－4)
③ 2 y2=3y
④x2+7x+12=0
⑤t(t+3)=28
1、 什么样的一元二次方程可以 用因式分解法来解？
学 2、用因式分解法解一元二次方
检 程，其关键是什么？
测 3、用因式分解法解一元二次方
题 程的理论依据是什么?
4、用因式分解法解一元二方程，
必须要先化成一般形式吗？
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
4、一元二次方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
5、一元二次方程分类
a2xb xc0(a0) a2 xc0(a0 ,b0 ,c0) a2 xb x 0 (a 0 ,b 0 ,c 0 ) a2x 0(a0,bc0)
探究交流
❖ （1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元 二次方程？
x .
x1
3
1 3
3 ,
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
x2 3.
心动 不如行动
成功者是你吗
用配方法解下列方程.
6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ;
10. 3x2 - 9x +2 = 0 ;
7. 3x2 + 2x – 3 = 0 ; 11. 2x2 +6=7x ;
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m
4
3.x2＋4x＝2；
你能行吗
5.3x2 +8x –3=0 ; 这个方程与前4个方程不 一样的是二次项系数不是 1,而是3. 基本思想是: 如果能转化为前4个方程 的形式,则问题即可解决.
4.x2－6x＋1＝0 ；
你想到了什么办法?
师生合作 1
配方法
例2 解方程 3x2+8x-3=0.
解 x:23x2 8 x8 x1 30 . 0.
(1) x 2 3 x 2 0 ;
解
a1 ,b 3 ,c2
b24ac32412
(2)x2 2 2x 2; (3)4 x2 3x 2 0.
10
x3 131
21
2
x12,x21.
用公式法解下列方程，根据方程根的 情况你有什么结论？
(1)2 x 2 5 x 3 0; (2)8 y(2 y 5) 25; (3)x2 x 1 0.
例：解方程：x2=3x 解：移项，得x2-3x=0
将方程左边分解因式，得x(x-3)=0 ∴x=0 或x-3=0
∴原方程的解为：x1=0 x2=-3
这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
特点：在一元二次方程的一边是0， 而另一 边易于分解成两个一次因式时，就可以用因 式 分解法来解。
例1、解下列方程
8. 2x2 + x – 6 = 0 ;
12. x2 _x +56 = 0 ;
9.4x2+4x+10 =1-8x . 13. -3x2+22x-24=0.
小结 拓展 回味无穷
本节课复习了哪些旧知识呢？ 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a .
（2）当m=
时，方程（m2－1）x2－（m
－1）x＋1=0是关于x的一元一次方程。 答案：m=－1
（3）已知关于x的一元二次方程（m－1） x2＋ 3x＋㎡－1=0有一个解是0，求m的值。答案：m=－1
（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2＋ m2x－1= x2＋x 没有一次项？ 答案：m=－1
3、说明多项式 x 2 2 m 2 m x 2 1的值恒大于0
xm2m21
4、先用配方法说明：不论x取何值，代数式 x25x7 值总大于0，再求出当x取何值时，代数式 x25x7的值
最小？最小值是多少？
随堂练习 1 解下列方程. 1.x2 – 2 = 0;
2.x2 -3x- 1 =0 ;
(2)y (2)y (3)0y12,y23
(3 )3 (x2 )2 (x 1 )0x1
2, 3
x2
1 2
(4)x2 x
x10,x2 1
例2 解下列方程： （1） x2-3x-10=0 （2） （x+3）·（x-1）=5
(3 )3 x (x 2 ) 5 (x 2 )
(4)(3x1)250
填空题练习：
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2. 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二Βιβλιοθήκη 1.化1:把二次项系数化为1;
x2 38 x 1.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x28x342 142. 3 3 3
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
x
4
2
52.
3 3
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
x 4 5. 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
34 53
一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0)的 求根公式
b b2 4ac
x=
2a
（b2-4ac≥0）
例： 解方程步骤 ( 1 ) 3y2-2y=1
（2） 2x22x3 00
一般步骤： （1）先把方程化为一般形式 （2）确定a,b,c （3）判定△=b2-4ac的值 （4）代入求根公式
利用公式法解下列方程，从中你能发现么？
次方程解应用题).
设a≠0，a,b,c 都是已知数，并且
b2-4ac≥0，试用配方法解方程：
解
ax2
a2 xbxc
+bx+cx=0b.2
2a
b2 4ac 4a2
x2 b x c aa
因为 b2-4ac≥0
x2bxb2cb2 a 2a a 2a
x b b24ac
2a
2a
xb b2 4ac 2a
x=± p 或mx+n= ± p （p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
用配方法解下列方程:
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3) －x2＋4x－3=0
1.在用配方法解 同时加上( C )
x2
1 2
x
1
时,方程的两边应
A.1
B.1
C. 1
D. 1
4
16
64
2.解方程: ① x24x30
一元二次方程及其解法
知识点回顾
1、整式方程
等号两边都是关于未知数的整式的方程，叫做 整式方程．
2、一元二次方程
一个整式方程整理后如果只含有一个未知数，且未 知数的最高次项的次数为2次的方程，叫做一元二次方 程．
3、一元二次方程的一般形式
方程ax2＋bx＋c=0(a、b、c为常数，a≠0)称为一 元二次方程的一般形式，其中ax2，＋bx，＋c分别叫做 二次项，一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和 一次项系数．
结论1
（1）当 b24ac0时，一元二次方程
ax2bxc0(a0)
有实数根
x1 b
b24ac 2a
b b24ac
x2
2a
结论2
（2）当 b24ac0时，一元二次方程
ax2bxc0(a0)
有实数根
x1
x2
b 2a
结论3
（3）当 b24ac0时，一元二次方程
ax2bxc0(a0)
无实数根.
自
⑥(4x－3)2=(x+3)2
(7 )x 2 (3 2 )x 6 0
根的作用： 可以使等号成立.
活动3
巩固练习
1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1） x2 360；
（2） 4x2 90.
形如 ax2c0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
ax2 c.
x2 c .
a
当ac<0时 ， x
c.
a
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
-3x2+7=0.
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对 吗？
答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。 （2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前 面的性质符号。
练习：
（1）方程（m＋2）X|m|＋3mx＋1=0是关于X 的一元二次方程，求m的值。 答案：m=2
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2)x2－3x＋
9 4
=(x－
3 2
)2
(3)x2－12x＋ 36 =(x－ 6)2
配方时,若二次项系数为1，则配上的
常数是一次项系数一半的平方.
请同学解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式， 那么可得
活动2
猜测下列方程的根是什么？
x2x560
方程的根：使一元二次方程等号两边相等 的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.
活动2
4.（1）下列哪些数是方程 x2x60
的根？从中你能体会根的作用吗？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
（2）若x＝2是方程 ax24x50的一个
根，你能求出a的值吗？
（1）方程x（x+1）=0的根是______.
（2）已知x=0是关于x的一元二次方程 （m+1）x2+3x+m2-3m-4=0的一个根， 则m=_______.
（3）若方程ax2+bx+c=0的各项系数 之和 满足a-b+c=0，则此方程必有一 根是________.
选择题训练 1.对于方程(x-a)(x-b)=0,下列结论正确的是( B ) （A） x-a=0 （B）x-a=0或x-b=0 （C） x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 2、方程x(x-2)=2(2-x)的根为(C )