高中数学 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征学案 新人教A版必修2

经典习题
例1 下列命题中错误的是（ ）
A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
【解析】圆锥的母线长相长，设为l ，若圆锥截面三角形顶角为α，圆锥轴截面三角形顶角为θ，则0＜α≤θ. 当θ≤90°时，截面面积S = αsin 212l ≤θsin 2
12l . 当90°＜θ＜180°时.截面面积S ≤222190sin 21
l l =︒⋅，故选B. 例2 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.
（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；
（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.
【分析】要判断几何体的类型，首先应熟练掌握各类几何体的结构特征.
【解析】（1）如图1，该几何体满足有两个面平行，其余
六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故
该几何体是六棱柱.
（2）如图2，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为
两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该
几何体为圆台.
点评：对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要对原平面图形作适当的分割，再根据圆柱、圆 锥、圆台的结构特征进行判断.
例3 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm ，求圆锥的母线长.
【分析】 画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解.
【解析】 设圆锥的母线长为y cm ，圆台上、下底面半径分别是x cm 、
4x cm.作圆锥的轴截面如图. 在R t△SOA 中，O′A′∥OA ，∴SA ′∶SA=
O′A′∶OA ，即（y -10）∶y=x ∶4x . ∴y =133
1.
∴圆锥的母线长为1331cm 图2
图1 图4—1—8
【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.。