弹性力学平面问题

2 平衡方程
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz + + + fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
张量表示： 张量表示：
σ ij , j + X j = 0,
1 0 0 0
或：
{σ } = [ D]{ε },
2G + λ λ 2G + λ 对 称 λ 2G + λ λ [ D] = 0 0 0 G 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 G
λ=
E (1 + µ )(1 − 2µ ) E 2(1 + µ )
应力
{σ } = {σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yx ,τ zx }T
σ x τ xy τ xz [σ ij ] = τ yz σ y τ yz τ τ σ z zx zy
应变
{ε } = {ε x , ε y , ε z , ε xy , ε yx , ε zx }T
(i, j = x, y, z)
( x, y , z ) ∈ Ω
3 几何方程
εx =
∂u ∂u ∂v , γ xy = + ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂w ε y = , γ yz = + ∂y ∂z ∂y ∂w ∂w ∂u ε z = , γ zx = + ∂z ∂x ∂z
张量表示： 张量表示：
66
12
悬臂深梁
o
1
2
3 a = 2m
11
单元和结点划分
三、平面问题的三角形常应变单元
3、单元的位移模式 、 单元的结点位移
{d } = {ui vi u j v j um vm }T
vi
y
vm
m
v
( x, y)
um
vj
u
设单元内部位移为： 设单元内部位移为：
u = a1 + a2x + a3 y v = a4 + a5x + a6 y
共计15个基本未知量，都是坐标的函数。 共计 个基本未知量，都是坐标的函数。 个基本未知量
γ γ xz ε x xy 2 2 γ yz γ [ε ij ] = yz ε y 2 2 γ zx γ zy σz 2 2
弹性力学基本方程
ar (r = 1, 2.,...,6)
i
ui
j
uj
o
x
（1）
单元及其位移表示
为待定常数
ui = a1 + a2xi + a3 yi vi = a4 + a5xi + a6 yi
（2）
位移(1)在结点上有： 位移 在结点上有： 在结点上有
uj = a1 + a2xj + a3 yj vj = a4 + a5xj + a6 yj uk = a1 + a2xm + a3 ym vm = a4 + a5xm + a6 ym
{}
(e)
= [ B]
( e)
(e) d} （4） {
5、单元的应力 、
{σ }(e) = [ D]{ε }(e)
⇒
{σ }
(e)
= [ D][ B]
( e)
{d} = [ S ] {d}
e (e)
e
（5）
应力矩阵： 应力矩阵： [ S ] = [ D][ B]
1 E µ 平面应力问题： 平面应力问题： [ D ] = 1− µ2 0 µ 0 1 0 1− µ 0 2
弹性力学平面问题的有限元法
一 弹性力学的基本方程 二 弹性力学的变分原理 三 平面问题的三角形单元 四 平面问题的四边形等参单元
一 弹性力学基本方程
1、基本物理量
位移
{u} = {u( x, y, z), v( x, y, z), w( x, y, z )}
ui (i = 1, 2,3)
张量表示： 张量表示：
ε ij = (ui, j + u j ,i )
1 2 (i, j = x, y, z)
( x, y , z ) ∈ Ω
弹性力学基本方程
4 物理方程
1 2(1 + µ ) τ xy E E 1 2(1 + µ ) ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )], γ yz = τ yz E E 1 2(1 + µ ) ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )], γ zx = τ zx E E
ε x , ε y , γ xy ≠ 0,
σ x , σ y , τ xy ε x , ε y , γ xy
平面问题的三角形常应变单元
2、区域离散，单元和结点划分 、区域离散，
q = 1kN/ m2
56 45 34 23 b = 1m
(2) (1) (3) (4) (20) (19)
57
(82) (81) (100) (99)
G=
二 弹性力学的变分原理
弹性体的应变能（弹性势能） 弹性体的应变能（弹性势能）
U = 1 1 {ε }T {σ }dV = ∫∫∫ {ε }T [ D ]{ε }dxdydz 2 ∫∫∫ 2 Ω Ω
外力功势能： 外力功势能：
V = − ∫∫∫ ( f x u + f y v + f z w)dxdxdz − ∫∫ ( f x u + f y v + f z w)dS
1 ( ai +bx + ci y) i 2∆
Ni 0 N j 0 N m 0 [N ] = 0 Ni 0 N j 0 N m
可证： 可证：
1, i = j Ni ( x j , y j ) = 0, i ≠ j Ni + N j + N m = 1
4、单元的应变 、
∂u ∂x εx bi 0 bj 0 bk 0 ∂v 1 e 0 ci 0 c j 0 ck {d} {ε } = ε y = = ε γ ∂y 2∆ c b c b c b xy ∂u ∂v i i j j k k + ∂y ∂x bi 0 1 应变矩阵： 应变矩阵： [ B] = [ Bi ][ B j ][ Bm ] , [ Bi ] = 2∆ 0 ci (i, j,m) ci bi
1 a2 = 1 vj 2∆ 1 vm
1 vi
yi yj ym
a3 =
1 1 xj vj 2∆ 1 xm vm
1 xi
vi
代入(1)得 代入 得：
u=
1 ( ai +bx + ci y) ui +( aj +bj x + cj y) uj +( am +bmx + cm y) um i 2∆
{
}
v=
Ω Sσ
对于平面问题：
{ε * }T {σ }dxdy = ∫∫ {u * }T { f }dxdy + ∫ {u * }{ f }dS ∫∫
Ω Ω Sσ
相容位移：即为满足位移边界条件的位移。 相容位移：即为满足位移边界条件的位移。
最小势能原理 在一切可能位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值； 在一切可能位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；反 使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。 之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。
E←
平面应力问题： 平面应力问题：
µ←
E 1− µ2
µ
1− µ
6、位移函数的收敛条件 、 （1）位移函数要包含刚体位移 ） （2）位移函数包含常应变 ） （3）位移函数保证相邻单元在公共边界上的连续性 ）
解得： 由(2)解得： 解得
ui 1 a1 = uj 2∆ um
vi 1 a1 = vj 2∆ vk
1 xi 2∆ = 1 x j 1 xk
xi xj xm
xi xj xm
yi yj yk
yi yj ym
yi yj ym
a2 =
1 1 uj 2∆ 1 um
1 ui
yi yj ym
1 xi ui 1 a3 = 1 xj u j 2∆ 1 xm um
Sσ
或者： 或者：
∫∫ (σ
Ω
x
δε x + σ y δε y + τ xy δγ xy )dxdy = ∫∫ (f x δu + f y δv )dxdy +
Ω
∫ (f δu + f δv)dS
x y Sσ
说明： 为变分符号， 的含义。 说明： δ 为变分符号，有类似与微分符号 d 的含义。
三、平面问题的三角形常应变单元
1、两种平面问题 、 平面应力问题（薄板） 平面应力问题（薄板）
σ z = τ xz = τ yz = 0,
σ x ,σ y ,τ xy ≠ 0,
平面应变问题（长柱体） 平面应变问题（长柱体）
ε z = γ xz = λ yz = 0,
基本未知量： 基本未知量：
u ( x, y ), v( x, y )
(i, j , m)
am bm cm
1 xi yi
1 xj yj
1 xm ym
的代数余子式
将（3）式整理可得 ） 形函数： 形函数：
Ni =
u = Nui + Njuj + Nmum = ∑Nui i i v = Nvi + Njvj + Nmvm = ∑Nvi i i
(i, j, m)
{u} = [ N ]{d }
{ε } = [α ]{σ }
1 −µ 1 1 − µ −µ [α ] = 0 E 0 0 0 0 0 对 称 2(1 + µ ) 0 2(1 + µ ) 0 0 2(1 + µ )
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )], γ xy =
Ω Sσ
= − ∫∫∫ {u}T { f }dxdxdz − ∫∫ {u}T { f }dS
Ω Sσ
对于平面问题： 对于平面问题：
U=
1 {ε }T {σ }dxdy 2 ∫∫ Ω
Sσ
V = −∫∫{u}T { f }dxdy − ∫∫{u}T { f }dS
Ω
弹性体的总是能： 弹性体的总是能：
Π体处于平衡状态的必要与充分条件：对于任意的、满足相容条 弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：对于任意的、满足相容条 外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。 件的虚位移 ，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。
U* =W*
∫∫∫ {ε
Ω
* T
} {σ }dxdydz = ∫∫∫ {u * }T { f }dxdydz + ∫∫ {u * }T { f }dS
1 ( ai +bx + ci y) vi +( aj +bj x + cj y) vj + ( am +bmx + cm y) vm i 2∆
{
}
（3）
式中：ai =
ai bi ci aj bj cj
xj y j 1 yj 1 xj , bi = − , ci = xk yk 1 yk 1 xk
为
δΠ = 0
Ω Ω
或 δU = δW
δ{ε }T {σ }dxdydz = ∫∫∫ δ{u}T { f }dxdydz + ∫∫ δ{u}T { f }dS ∫∫∫
Sσ
对于平面问题：
δ{ε }T {σ }dxdy = ∫∫ δ{u}T { f }dxdy + ∫∫
Ω Ω
δ{u}T { f }dS ∫