理科数学2010-2019高考真题分类训练专题四三角函数与解三角形第十讲三角函数的图象与性质

专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质
2019年
1.解析：因为2
1
cos 411
sin 2cos 422
x f x x x -==
=-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤
+
∈π+⎢⎥⎣⎦
， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265
ωπ
ππ+<π„， 所以
1229510
ω<„，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,
)10x π
∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
若()f x 在0,10π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增， 则
(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510
ω<„，故③正确． 故选D ．
3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.
将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1
sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 因为()g x 的最小正周期为2π，所以
2212
ωπ
=π，得2
ω=， 所以()sin g x A x =，()
sin 2f x A x
=.
若4g π⎛⎫
=
⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
2A =，
所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫
=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选C ．
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是
A ．
π4
B ．
π2
C ．
3π4
D ．π
2．(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+
的图象向右平移10
π
个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[
,]44
ππ
上单调递增
B ．在区间3[
,]4
π
π上单调递减 C ．在区间53[
,]42
ππ
上单调递增 D ．在区间3[
,2]2
π
π上单调递减 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，
当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．（2017新课标Ⅰ）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin(2)3
y x π
=+
，则下面结论正确的是
A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
6
π
个单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12
π
个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6
π 个
单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12
π
个单位长度，得到曲线2C
5．（2017新课标Ⅲ）设函数()cos()3
f x x π
=+
，则下列结论错误的是
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图像关于直线83
x π
=对称 C ．()f x π+的一个零点为6
x π=
D ．()f x 在(
,)2
π
π单调递减
6．（2017天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(
)28
f π
=，()08
f 11π
=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=
，12
ϕπ= B ．23ω=
，12
ϕ11π
=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13
ω=，24ϕ7π
=
7．（2016北京）将函数sin(2)3y x π
=-
图像上的点(,)4
P t π
向左平移s (0s >)个单位长度
得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则
A ．12t =
，s 的最小值为6π B ．t =，s 的最小值为6
π
C ．12t =
，s 的最小值为3π D ．t =，s 的最小值为3
π
8．（2016山东）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是
A ．
2
π
B ．π
C ．
32
π
D ．2π
9．（2016全国I ）已知函数π
π
()sin()(0),24
f x x+x ωϕωϕ=>=-，
≤为()f x 的零点，π4x =
为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π
()1836
，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 10．（2016全国II ）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移
12
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为
A ．()26k x k Z ππ=
-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212
k x k Z ππ
=+∈
11．(2015山东)要得到函数4sin(4)3
y x π
=-
的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像
A ．向左平移
12π个单位 B ．向右平移12π
个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3
π
个单位
12．（2015四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是
A ．cos(2)2y x π
=+
B ．sin(2)2
y x π
=+
C ．sin 2cos 2y x x =+
D ．sin cos y x x =+
13．（2015新课标Ⅱ）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减
区间为．
A ．13(,)44k k ππ-
+，k Z ∈ B ．13
(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13
(2,2)44
k k -+，k Z ∈
14．（2015安徽）已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+（Α，ω，ϕ均为正的常数）的最小正
周期为π，当23
x π
=
时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是 A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<- 15．（2014新课标Ⅰ）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)6
2cos(π
+
=x y ，
④)4
2tan(π
-
=x y 中，最小正周期为π的所有函数为
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
16．（2014浙江）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像
A ．向右平移
12π个单位 B ．向右平移4π
个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4
π
个单位
17．(2014安徽)若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y
轴对称，则ϕ的最小正值是
A ．
8π B ．4π C ．83π D ．4
3π 18．（2014福建）将函数sin y x =的图象向左平移2
π
个单位，得到函数()y f x =的函数图
象，则下列说法正确的是
A ．()y f x =是奇函数
B ．()y f x =的周期是π
C ．()y f x =的图象关于直线2
x π
=对称 D ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
19．（2014辽宁）将函数3sin(2)3
y x π
=+
的图象向右平移
2
π
个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间7[
,
]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ
上单调递增
C ．在区间[,]63ππ
-
上单调递减 D ．在区间[,]63
ππ
-上单调递增 20．（2013广东）已知51
sin()25πα+=，那么cos α=
A ．25-
B ．15-
C ．15
D ．2
5
21．（2013山东）将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶
函数的图像，则ϕ的一个可能取值为
A ．
34π B ．4
π
C ．0
D ．4π- 22．（2013福建）将函数)2
2)(2sin()(π
θπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位
长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)2
3
,0(P ，则ϕ的值可以是
A ．
3
5π
B ．
6
5π
C ．
2
π
D ．
6
π
23．（2012新课标）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =
4
π
和x =54π是函数()sin()
f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=
A ．π4
B ．π3
C ．π2
D ．3π
4
24．（2012安徽）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向左平移
12个单位 D ．向右平移1
2
个单位 25．（2012浙江）把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标
不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
26．（2012山东）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝
⎭的最大值与最小值之和为
A ．23
B ．0
C ．－1
D ．13--27．（2012天津）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移
4
π
个单位长度，所得图像经过点3(
,0)4
π
，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．5
3
D ．2
28．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(π
ω+
=x x f 在),2(ππ
单调递减，则ω的取
值范围是 A ．]4
5,21[
B ．]4
3,21[
C ．]2
1,0(
D ．]2,0(
29．（2011山东）若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω=
A ．
23 B ．3
2
C ．2
D ．3
30．（2011新课标）设函数()sin(2)cos(2)44
f x x x π
π
=+
++，则
A ．()y f x =在(0,)2
π
单调递增，其图象关于直线4
x π
=对称
B ．()y f x =在(0,)2
π
单调递增，其图象关于直线2
x π
=对称
C ．()y f x =在(0,)2
π
单调递减，其图象关于直线4
x π
=对称
D ．()y f x =在(0,
)2
π
单调递减，其图象关于直线2
x π
=
对称
31．（2011安徽）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6
f x f π
≤对x R ∈
恒成立，且()()2
f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是
A ．,()3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦ C ．2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤+
+
∈⎢⎥⎣
⎦ D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
32．（2011辽宁）已知函数)(x f =A tan （ω+ϕ）（2
||,0π
ϕω<
>），y =)(x f 的部分图像如下
图，则=)24
(
π
f
A ．3
B 3
C 3
D ．23 二、填空题
33．(2018北京)设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4
f x f ≤对任意的实数x 都成
立，则ω的最小值为___．
34．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π
=+
在[0,]π的零点个数为_____． 35．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3
x π
=对称，则ϕ的
值是 ．
36．（2016年全国III ）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图
像至少向右平移_____________个单位长度得到．
37．(2015浙江)函数2
()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是________，单调递减区
间是_______．
38．（2014山东）函数22cos 2
y x x =
+的最小正周期为 . 39．（2014江苏）已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标
为
3
π
的交点，则ϕ的值是 ． 40．（2014重庆）将函数()()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<
≤->+=22
0sin πϕπ
ωϕω，
x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原的一半，纵坐标不变，再向右平移
6
π
个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛6πf ______． 41．（2014安徽）若将函数()sin 24f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移ϕ个单位，
所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________．
42．(2013新课标Ⅰ)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ= ． 43．（2013新课标Ⅱ）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移
2
π
个单位后，与函数sin(2)3
y x π
=+
的图象重合，则ϕ=_________．
44．（2013江西）设()cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有()f x a ≤，则实数
a 的取值范围是 ．
45．（2013江苏）函数)4
2sin(3π
+
=x y 的最小正周期为 .
46．（2011江苏）函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如
图所示，则(0)f = ．
47．(2011安徽)设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若
()()6
f x f π
≤对一切则x ∈R 恒成立，则
①11(
)012
f π
= ②7(
)10f π＜()5
f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数
④()f x 的单调递增区间是2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)． 48．（2010江苏）定义在区间⎪⎭
⎫
⎝
⎛
20π,
上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作1PP ⊥x 轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于点2P ，则线段
12P P 的长为 ．
49．（2010福建）已知函数()=3sin()(>0)6
f x x π
ωω-
和g()=2cos(2+)+1x x ϕ的图象的对
称轴完全相同．若[0,]2
x π
∈，则()f x 的取值范围是 ．
三、解答题
50．（2018上海）设常数a R ∈，函数2
()sin 22cos f x a x x =+．
(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；
(2)若()14
f π
=，求方程()1f x =-ππ-［，］
上的解．
51．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．
（1）若∥a b ，求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 52．（2017山东）设函数()sin()sin()62
f x x x π
π
ωω=-
+-，其中03ω<<．
已知()06
f π
=．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原的2倍（纵坐标不变），再将得
到的图象向左平移4
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]
44ππ-上的最小值．
53．（2016年天津）已知函数()4tan cos cos()3
f x x x x π
=-
(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期； (Ⅱ)讨论()f x 在区间[,
44ππ
-
]上的单调性．
54．（2015北京）已知函数2()cos 222
x x x
f x =．
(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．
55．（2015湖北）某同学用“五点法”画函数π
()sin()(0,||)2
f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期
内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
((Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π
(
,0)12
，求θ的最小值．
56．（2014福建）已知函数
()2cos (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）求5()4
f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．
57．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函
数关系：ππ()10sin 1212
f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．
58．（2014福建）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-
. (Ⅰ)若02π
α<<
，且sin 2
α=，求()f α的值； (Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．
59．（2014北京）函数()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；
（Ⅱ）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值．
60．（2014天津）已知函数(
)2cos sin 34
f x x x x π⎛⎫=⋅+
+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． 61．（2014重庆）已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π
=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（I ）求ω和ϕ的值；
（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭
⎫ ⎝⎛+23cos πα的值．
62．(2013山东)设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
4π． (Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2
ππ上的最大值和最小值．
63． (2013天津)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝
⎭∈R ． (Ⅰ) 求f ()的最小正周期；
(Ⅱ) 求f ()在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． 64．（2013湖南）已知函数()cos cos 3f x x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
（1）求2(
)3
f π的值； （2）求使 1()4f x <成立的的取值集合．
65．(2012安徽) 设函数2())sin 4
f x x x π=++ （I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π
∈时， 1()()2
g x f x =-； 求()g x 在[,0]π-上的解析式． 66．（2012湖南）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>,0)2π
ϕ<<的部分图像如
图所示．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间．
67．（2012陕西）函数()sin()16f x A x π
ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3，
其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π
．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）设(0,)2πα∈，则()22f α
=，求α的值．。