《数学(基础模块)上册》课件 第4章 指数函数与对数函数

1.1 n次根式
例如，32 的 5 次方根只有一个，是 2； 27 的 3 次方根只有一个，是 3 ；16 的 4 次方根有
两个，分别是 2 和 2（其中 2 称为 16 的 4 次算术根）．即
5
32
2
；
3
27
3
；
4
16
2
．
此外，0 的 n 次方根是 0，记作 n 0 0 ． 我们把形如 n a （ a R ， n N 且 n 1 ）的代数式称为 n 次根式，其中，n 称为根指数，a
（3） 3 ( 8)3 ． （3） 8 ．
1.2 分数指数幂
我国农业科学家在研究某种农作物的生长状况时，发现该农作物的生长时间 x（单位：周） 与植株高度 y（单位：cm）之间的关系为 y 4 3x ．当该农作物生长了 1 周、2 周、3 周、5 周时， 植株高度分别为 4 3 ， 4 32 ， 4 33 ， 4 35 ．
（2）计算 3 40 的值：按 SHIFT 键→按 x■ 键（ ■ 键）→输入根指数“4”→按 ▶ 键→输 入被开方数“40”→按 键，即可显示计算结果，为“2.514 866 859”（计算结果显示的小数位数默认为 9 位，可根据需要自行设定）．
1.2 分数指数幂
用计算器求 n 次根式与分数指数幂的值
称为被开方数．
例 1 求下列各式的值．
（1） 6 64 ；
（2） 3 64 ；
解 （1）2．
（2） 4 ．
（3） 3 ( 8)3 ． （3） 8 ．
1.1 n次根式
例如，32 的 5 次方根只有一个，是 2； 27 的 3 次方根只有一个，是 3 ；16 的 4 次方根有
两个，分别是 2 和 2（其中 2 称为 16 的 4 次算术根）．即
2
这里用 CASIO fx-82ES PLUS A 型函数计算器，以求 4 40 与 24 3 的值为例，介绍用计算器求 n 次根式与分数指数幂的值的一般方法．
2
（3）计算 24 3 的值：按 ON 键（清屏）→按 x■ 键→输入底数“24”→按 ▶ 键→按 键（将 指数设置为分数形式）→输入指数中的分子“2”→按 ▼ 键→输入指数中的分母“3”→按 键， 即可显示计算结果，为“8.320 335 292”．
用计算器求 n 次根式与分数指数幂的值
2
这里用 CASIO fx-82ES PLUS A 型函数计算器，以求 4 40 与 24 3 的值为例，介绍用计算器求 n 次根式与分数指数幂的值的一般方法．
（1）按 ON 键，打开计算器，将计算模式设置为“COMP”，然后依次按 SHIFT 键和 MODE 键，再按 1 键，将计算器的显示格式设置为“MthIO”（普通显示），接着再按一次 1 键，将计算 结果的显示格式设置为“MathO”．
这个函数有什么特点？随着死亡年数的增加，死亡生物体内碳 14 含量的变化趋势是怎样的？
指数函数及其图像和性质
某种生物细胞分裂时，第一次由 1 个分裂成 2 个（即 21 个），第二次由 2 个分裂成 4 个（即 22 个），第三次由 4 个分裂成 8 个（即 23 个），以此类推，按照这个规律，当细胞分裂 x 次后，得到 的细胞个数 y 可用含 x 的函数解析式表示为
1 7 a6
；
解
（1）因为 m 5 ， n
4 ，所以
4
x5
5
x4
．
2
（2）因为 m 2 ， n 5，所以 5 (x 2)2 (x 2)5 ．
（4）
1 2 a3
．
（3）因为 m
6 ， n 7 ，所以
1 7 a6
6
a 7
．
（4）因为 m
3，n
2 ，所以
1 2 a3
3
a 2
．
1.2 分数指数幂
可以证明，这些运算法则同样适用于有理数指数幂，前提是必须使运算法则中出现的每个有理数 指数幂都有意义．
于是，当 a ，b 0 ，p，q 为有理数时，有
ap aq apq ，
（4-3）
(a p )q a pq ，
（4-4）
(a b)p a p bp ．
（4-5）
事实上，还可以将有理数指数幂推广到实数指数幂．当 p，q 为实数时，上述运算法则也成立．
02 指数函数
指数函数及其图像和性质
当生物死亡后，其机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减，大约每经过 5 730 年会衰减为原
t
来的一半，据此规律，人们得出生物体内碳
14
含量
P
与死亡年数
t
之间的关系为
P
1 2
5 730
，
每个死亡年数 t 都有唯一的 P 值与之对应，因此，死亡生物体内碳 14 的含量 P 是死亡年数 t 的 函数．
点，即可得到函数
y
1 2
x
和
y
1 3
x
的图像，如图
4-2
所示．
一般地，指数函数 y ax (a 0 且 a 1) 具有下列性质．
（1）函数的定义域为 R，值域为 (0，∞) ；
（2）当 x 0 时， y 1 ，即函数图像经过点 (0 ，1) ； （3）当 a 1 时，函数在 (∞，∞) 上是增函数；当 0 a 1 时，函数在 (∞，∞) 上是减函数．
《数学（基础模块）上册》
第4章 指数函数与对数函数
目录
ONTENTS
1 实数指数幂 2 指数函数 3 对数的概念与运算 4 对数函数
01 实数指数幂
1.1 n次根式
很多人都喜欢极限运动，如蹦极．在蹦极时，若不考虑空气阻力等因素的影响，人的降 落过程就是自由落体的过程，自由落体的下落高度 s 与下落时间 t 具有 s gt2 （g 为重力加
图4-2
指数函数及其图像和性质
例 1 判断下列函数在 (∞，∞) 上的单调性．
（1） y 2.5x ；
x
（2） y 72 ；
（3） y 42x ．
解 （1）因为底数 a 2.5 1，所以函数 y 2.5x 在 (∞，∞) 上是增函数．
x
1
x
（2）因为 y 72 (72 )x ( 7)x ，底数 a 7 2.65 1 ，所以函数 y 72 在 (∞，∞) 上是
2 速度，约为 9.8 m/s2）的关系．
若已知下落高度 s，求下落时间 t，可列出公式 t 2s ． g
你见过类似于上式等号右边的代数式吗？它称为什么？若开的不是平方根，而是 3 次、4 次， 甚至更多次根，用代数式应如何表示？
1.1 n次根式
我们知道，如果 x2 a （ a 0 ），则称 x 为 a 的平方根（2 次方根），例如， 2 是 4 的平方 根；如果 x3 a ，则称 x 为 a 的立方根（3 次方根），例如，2 是 8 的立方根．
下面，我们来研究指数函数的图像和性质． 首先，我们用描点法作出函数 y 2x 和 y 3x 的图像． 指数函数的定义域为 R，在定义域内取若干个 x 值，分别求出对应的 y 值，然后列出表格， 如表 4-1 所示．
表 4-1
x y 2x
2
1
0
1
2
1
1
1
2
4
4
2
y 3x
1
1
1
3
9
9
3
指数函数及其图像和性质
3
（2）因为 m 3 ， n 8 ，所以 a 8 8 a3 ．
（3）因为 m
1，n
6
，所以
a
1 6
1 6a
．
（4）因为 m 5 ， n
2
，所以
a
5 2
1 2 a5
．
（4）
5
a2
．
1.2 分数指数幂
例 3 将下列各根式写成分数指数幂的形式．
（1） 4 x5 ；
（2） 5
(x 2)2
；
（3）
(a5b4 )2
1
11
1
（2） (x3 y 3 )(x3 y 3 ) ．
解
（1）
(a2b3 )3
1
(a5b4 )2
23 33
a b 51 41 a 2b 2
a6b9
5
a 2b2
a
6
5 2
b92
7
a 2b7 ．
1
11
1
1
1
2
2
（2） (x3 y 3 )(x3 y 3 ) (x3 )2 (y 3 )2 x 3 y 3 ．
增函数．
（3）因为
y
42 x
(42 )x
1
x
16
，底数 a
1 16
，0
1 16
1 ，所以函数
y
42 x
在 (∞，∞)
上是减函数．
指数函数及其图像和性质
例 2 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小．
（1） 51.2 ， 52.1 ；
（2） 31.5 ， 32.3 ；
（3）
1 3
2
1.2 分数指数幂
例 4 计算下列各式．
1
（1） (27)3 ；
（2） 2 4 8 8 64 ．
解
1
（1） (27)3
1
[(3)3]3
31
(3) 3
3 ．
（2）
2
4
8
8
64
1
22
3
24
6
2 8
1 36
22 4 8
1
22
．
1.2 分数指数幂
例 5 化简下列各式．
（1）
(a2b3 )3
1
；
5
32
2
；
3
27
3
；
4
16
2
．
此外，0 的 n 次方根是 0，记作 n 0 0 ． 我们把形如 n a （ a R ， n N 且 n 1 ）的代数式称为 n 次根式，其中，n 称为根指数，a
称为被开方数．
例 1 求下列各式的值．
（1） 6 64 ；
（2） 3 64 ；
解 （1）2．
（2） 4 ．
且能够看出其指数为被开方数的指数与根指数的比值，因此，可以将其表示为分数指数幂的形式．
那么，当根式中被开方数的指数不能被根指数整除时，是否仍能用这种形式表示根式呢？
我们可以将整数指数幂的概念进行推广，利用分数指数幂来示根式，规定
m
a n n am
（4-1）
其中 m，nN*且 n 1 ．当 n 为奇数时， a R ；当 n 为偶数时， a 0 ．
以此类推，一般地，如果 xn a （ a R ， n N 且 n 1 ），则称 x 为 a 的 n 次方根． 当 n 为奇数时，实数的 n 次方根只有一个，正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数， 这时 a 的 n 次方根可以记作 n a ． 当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，它们互为相反数，分别用 n a 和 n a 表示，其中 n a 称为 a 的 n 次算术根．负数没有偶次方根．
m
当an
有意义且 a
0
时，规定
a
m n
n
1 am
（4-2）
规定了分数指数幂的定义后，指数幂的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂．
1.2 分数指数幂
例 2 将下列各分数指数幂写成根式的形式．
2
（1） a 7 ；
3
（2） a8 ；
（3）
a
1 6
；
解
（1）因为 m
2，n
2
7 ，所以 a 7
7
a2
．
，
1 3
3
．
解 （1）分析函数 y 5x ，因为底数 a 5 1 ，所以它在 (∞，∞) 上是增函数，又因为1.2 2.1 ， 所以 51.2 52.1 ．
（2）分析函数 y 3x ，因为底数 a 3 1 ，所以它在 (∞，∞) 上是增函数，又因为 1.5 2.3 ， 所以 31.5 32.3 ．
指数函数的定义域为 R，在定义域内取若干个 x 值，分别求出对应的 y 值，然后列出表格，如 表 4-2 所示．
表 4-2
x
y
1 2
x
y
1 3
x
2
1
0
1
2
1
1
4
2
1
2
4
1
1
9
3
1
3
9
指数函数及其图像和性质
以表中的 x 值为横坐标，对应的 y 值为纵坐标，在直角坐 标系中描出相应的点 (x ，y) ，然后用光滑的曲线依次连接这些
以表中的 x 值为横坐标，对应的 y 值为纵坐标，在直角 坐标系中描出相应的点 (x ，y) ，然后用光滑的曲线依次连接 这些点，即可得到函数 y 2x 和 y 3x 的图像，如图 4-1 所 示．
接下来，我们用描点法作出函数
y
1 2
x
和
y
1 3
x
的
图像．
图4-1
指数函数及其图像和性质
若要将这些数表示为指数幂的形式，该如何表示呢？
首先，我们来看下面的例子．根据 n 次方根的定义和数的运算，有
8
4 a8 4 (a2 )4 a2 a 4 (a 0) ，
15
5 a15 5 (a3)5 a3 a 5 (a 0) ．
1.2 分数指数幂
可以看出，当根式中被开方数的指数能被根指数整除时，根式很容易用指数幂的形式来表示，
y 2x ， 在这个函数中，指数 x 为自变量，底数 2 为常数．
一般地，我们把形如
y ax (a 0 且 a 1)
（4-6）
的函数称为指数函数．其中，底数 a 为常数．指数函数的定义域为 R，值域为 (0，∞) ．
例如，
y
0.6x
，
y
3x
，
y
1 5
x
，
y
10x
都是指数函数．
指数函数及其图像和性质
（4）依次按 SHIFT 键和 AC 键，关闭计算器．
1.2 分数指数幂
李明研究某种细胞的生长规律时，发现细胞数量 c（单位：个）在某种特定环境下随时间 t
（单位：h）的变化规律可用
c
1
000
21
(5 t
)2
来表示．
那么这个公式该如何简化呢？
1.2 分数指数幂
我们已知，整数指数幂的运算法则为
am an amn ， (am )n amn ， (ab)n an bn ， 其中， a 0 ，m，nZ．