九年级数学期末试卷中考真题汇编[解析版]

九年级数学期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、选择题
1．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）
A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1，﹣2）
D ．（1，2） 2．有一组数据5，3，5，6，7，这组数据的众数为（ ） A ．3 B ．6 C ．5 D ．7 3．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．18π
D ．24π
4．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ） A ．
13
B ．
512
C ．
12
D ．1
5．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1
B ．m ≤1
C ．m ≥－1
D ．m ≤－1
6．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若
26ADC ∠=︒，则B 的度数为（ ）
A ．30
B ．42︒
C ．46︒
D ．52︒
7．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ） A ．23
B ．1.15
C ．11.5
D ．12.5
8．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下： 年龄(单位：岁)
14 15 16 17 18 人数
1
5
3
2
1
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A ．15，16
B ．15，15
C ．15，15.5
D ．16，15
9．如图，抛物线2
144
y x =
-与x 轴交于A 、B 两点，点P 在一次函数6y x =-+的图像上，Q 是线段PA 的中点，连结OQ ，则线段OQ 的最小值是（ ）
A ．
22
B ．1
C ．2
D ．2
10．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠ABC ＝60°，则∠AOC 的度数是（ ）
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
1y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <>
12．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且∠D ＝40°，则
∠PCA 等于（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．65°
D ．75°
二、填空题
13．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，CD CB =.若100C ∠=︒，则ABC ∠的度数为______.
14．当a≤x≤a+1时，函数y=x 2﹣2x+1的最小值为1，则a 的值为_____．
15．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2
(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则
1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）
16．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是h=12t ﹣6t 2，则小球运动到的最大高度为________米；
17．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）
18．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.
19．二次函数2
y x bx c =-++的部分图像如图所示，要使函数值3y >，则自变量x 的取
值范围是_______.
20．若⊙O 的直径是4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是_________．
21．如图，将二次函数y ＝
1
2
(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A (1，m )，B (4，n )平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．
22．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是2
S 甲、2
S 乙，且
22S S >甲乙，则队员身高比较整齐的球队是_____．
23．已知
234x y z x z
y
+===，则_______ 24．如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝
k
x
（k ＞0）的图像在第一象限交于点A ，点C 在以B （7，0）为圆心，2为半径的⊙B 上，已知AC 长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为__________________________.
三、解答题
25．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如：如图，已知
O 的两条弦AB CD ⊥，则AB 、CD 互为
“十字弦”，AB 是CD 的“十字弦”，CD 也是AB 的“十字弦”.
（1）若
O 的半径为5，一条弦8AB =，则弦AB 的“十字弦”CD 的最大值为______，
最小值为______. （2）如图1，若
O 的弦CD 恰好是O 的直径，弦AB 与CD 相交于H ，连接AC ，
若12AC =，7DH =，9CH =，求证：AB 、CD 互为“十字弦”；
（3）如图2，若
O 的半径为5，一条弦8AB =，弦CD 是AB 的“十字弦”，连接AD ，
若60ADC ∠=︒，求弦CD 的长.
26．如图，在矩形纸片ABCD 中，已知2AB =，6=BC ，点E 在边CD 上移动，
连接AE ，将多边形ABCE 沿AE 折叠，得到多边形AB C E ''，点B 、C 的对应点分别为
点B '，C '.
（1）连接AC .则AC =______，DAC ∠=______°； （2）当B C ''恰好经过点D 时，求线段CE 的长；
（3）在点E 从点C 移动到点D 的过程中，求点C '移动的路径长.
27．某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y 个．
（1）求y 与x 之间的关系式；
（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 420个以上？
28．如图1，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 交y 轴于点A (0，4)，交x 轴于点B (4，0)，点P 是抛物线上一动点，试过点P 作x 轴的垂线1，再过点A 作1的垂线，垂足为Q ，连接AP ． (1)求抛物线的函数表达式和点C 的坐标； (2)若△AQP ∽△AOC ，求点P 的横坐标；
(3)如图2，当点P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点Q ′，请直接写出当点Q ′落在坐标轴上时点P 的坐标．
29．如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为（4,3），抛物线2
38
y x bx c =-
++与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C E ，两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同
时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒5
3
个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接DP DQ PQ 、、，设运动时间为t （秒）.
①当t 为何值时，DPQ ∆得面积最小？
②是否存在某一时刻t ，使DPQ ∆为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.
30．解下列方程： （1）（y ﹣1）2﹣4＝0； （2）3x 2﹣x ﹣1＝0．
31．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）： 小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，10，10． （1）填写下表：
平均数（环） 中位数（环） 方差（环2） 小华 8 小亮
8
3
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）
32．如图，在10×10的网格中，有一格点△ABC(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形).
(1)将△ABC 先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到△A'B'C'，请直接画出平移后的△A'B'C'；
(2)将△A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°，得到△A''B''C'，请直接画出旋转后的△A''B''C'； (3)在(2)的旋转过程中，求点A'所经过的路线长(结果保留π).
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据顶点式2
()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】
∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ）， ∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）． 故选D ．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据众数的概念求解． 【详解】
这组数据中5出现的次数最多，出现了2次，
则众数为5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【详解】
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×6＝12π，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用红灯亮的时间除以以上三种灯亮的总时间，即可得出答案.
【详解】
解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴红灯的概率是：
301 302552
=
++
.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是简单事件的概率问题，熟记概率公式是解题的关键.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
【详解】
解：∵函数的对称轴为x=
2
22
b m
m
a
-=-=-，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x ＞1时，y 随x 的增大而增大， ∴-m≤1，即m ≥-1 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据平行得到∠OCB ，利用圆内等腰三角形即可求解. 【详解】 连接CO ， ∵26ADC ∠=︒ ∴∠AOC=252ADC ∠=︒ ∵//OA BC ∴∠OCB=∠AOC=52︒ ∵OC=BO ， ∴
B =∠OCB=52︒
故选D.
【点睛】
此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数． 【详解】
解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5， 故选：C ． 【点睛】
此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.
．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】
解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
∴中位数为(1516)2+÷=15.5岁，
故选：C ．
【点睛】
本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
先求得A 、B 两点的坐标，设()6P m m -，
，根据之间的距离公式列出2PB 关于m 的函数关系式，求得其最小值，即可求得答案.
【详解】
令0y =，则21404
x -=， 解得：4x =±，
∴A 、B 两点的坐标分别为：()()4040A B -，
、，， 设点P 的坐标为()6m m -，
， ∴()()2222246220522(5)2PB m m m m m =-+-=-+=-+，
∵20>，
∴当5m =时，2PB 有最小值为：2，即PB ，
∵A 、B 为抛物线的对称点，对称轴为y 轴，
∴O 为线段AB 中点，且Q 为AP 中点，
∴12OQ PB ==． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及到的知识有：两点之间的距离公式，三角形中位线的性质，二次函数的最值问题，利用两点之间的距离公式求得2PB 的最小值是解题的关键.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用圆周角定理求解．
【详解】
解：∵∠ABC 和∠AOC 所对的弧为AC ，∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】
解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），
∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，
则函数图象如图所示，
抛物线开口向下，
∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b a
-
> ， ∴b ＞0，
故选D 12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由
∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以
1
25
2
A COD
∠=∠=︒，然后根据三角形外角性
质计算∠PCA的度数．【详解】
解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COD＝∠A+∠ACO，
∴
1
25
2
A COD
∠=∠=︒，
∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知
识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．
二、填空题
13．50
【解析】
【分析】
连接AC，根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理求出，，计算即可. 【详解】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形,
∴
∵DC=CB
∴
∵AB是直
解析：50
【解析】
【分析】
连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，再利用圆周角定理求出ACB ∠，CAB ∠，计算即可. 【详解】
解：连接AC ，
∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,
∴DAB 180DCB 80∠∠=︒-=︒
∵DC=CB
∴1CAB 402
DAB ∠=∠=︒ ∵AB 是直径
∴ACB 90∠=︒
∴ABC 90CAB 50∠∠=︒-=︒
故答案为：50.
【点睛】
本题考查的知识点有圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，熟记知识点是解题的关键. 14．2或﹣1
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x 的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
当y=1时，有x
解析：2或﹣1
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x 的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
当y=1时，有x 2﹣2x+1=1，
解得：x 1=0，x 2=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x 的值是解题的关键．
15．【解析】
抛物线的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .
故答案为>
解析：12y y >
【解析】
抛物线()2
y x 11=-+的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .
故答案为> 16．6
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得，即可得到答案.
【详解】
，
∴当t=1时，h 有最大值6.
故答案为：6.
【点睛】
此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开 解析：6
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得2
21266(1)6h t
t t =--=+﹣，即可得到答案. 【详解】 221266(1)6h t t t =--=+﹣，
∴当t=1时，h 有最大值6.
故答案为：6.
【点睛】
此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.
17．60π
【解析】
试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
由题意得圆锥的母线长
∴圆锥的侧面积．
考点：勾股定理，圆锥的侧面积
点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧
解析：60π
【解析】
试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
由题意得圆锥的母线长
∴圆锥的侧面积．
考点：勾股定理，圆锥的侧面积
点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线. 18．16
【解析】
【分析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】
解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠C
解析：16
【解析】
【分析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】
解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD ∥OE ，
∴∠CDA=∠OBA ，
∴△AOB ∽△ECD ， ∴
CE OA 16OA ,DE AB 220
==， 解得OA=16．
故答案为16． 19．【解析】
【分析】
根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可.
【详解】
根据二次函数的图象可知：
对称轴为，已知一个点为，
根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称
解析：20x -<<
【解析】
【分析】
根据3y >，则函数图象在直线3y =的上方，所以找出函数图象在直线3y =的上方x 的取值范围即可.
【详解】
根据二次函数的图象可知：
对称轴为1x =-，已知一个点为()03，
， 根据抛物线的对称性，则点()03，
关于对称性对称的另一个点为()23-，， 所以3y >时，x 的取值范围是20x -<<．
故答案为：20x -<<．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对
称轴求出点()03，
的对称点是解题的关键． 20．相离
r=2,d=3, 则直线l与⊙O的位置关系是相离
解析：相离
【解析】
r=2,d=3,则直线l与⊙O的位置关系是相离
21．y=0.5(x-2)+5
【解析】
解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC
解析：y=0.5(x-2)2+5
【解析】
解：∵函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象过点
A（1，m），B（4，n），∴m=1
2
（1﹣2）2+1=11
2
，n=1
2
（4﹣2）2+1=3，∴A（1，11
2
），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则
C（4，11
2
），∴AC=4﹣1=3．∵曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部
分），∴AC•AA′=3AA′=12，∴AA′=4，即将函数y=1
2
（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移4
个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=1
2
（x﹣2）2+5．故答案
为y=0.5（x﹣2）2+5．
点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题的关键．
22．乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解：∵，
∴队员身
解析：乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵22S S >甲乙，
∴队员身高比较整齐的球队是乙，
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查方差．解题关键在于知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量
23．2
【解析】
【分析】
设，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，设，
∴，，，
∴；
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的
解析：2
【解析】
【分析】 设234
x y z k ===，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】 解：根据题意，设234
x y z k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =， ∴2423x z k k y k
++==； 故答案为：2.
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k来表示x、y、z. 24．或
【解析】
【分析】
过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），则根据A在y=x上得m=n，由AC长的最大值为，可知AC过圆心B交⊙B于C，进而可知AB=5，在Rt△ADB中，AD=m ，BD=
解析：
9
y
x
=或
16
y
x
=
【解析】
【分析】
过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），则根据A在y=x上得m=n，由AC长的最大值为7，可知AC过圆心B交⊙B于C，进而可知AB=5，在Rt△ADB中，
AD=m，BD=7-m，根据勾股定理列方程即可求出m的值，进而可得A点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.
【详解】
过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），
∵A在直线y=x上，
∴m=n，
∵AC长的最大值为7，
∴AC过圆心B交⊙B于C，
∴AB=7-2=5，
在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，AB=5，
∴m2+(7-m)2=52，
解得：m=3或m=4，
∵A点在反比例函数y＝k
x
（k＞0）的图像上，
∴当m=3时，k=9；当m=4时，k=16，
∴该反比例函数的表达式为：
9
y
x
=或
16
y
x
=，
故答案为
9
y
x
=或
16
y
x
=
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC的最长值是通过圆心的直线是解题关键.
三、解答题
25．（1）10，6；（2）见解析；（3）3.
【解析】
【分析】
（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小；
（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA,由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；
（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F,利用垂径定理得出OE=3，由正切函数得出
设DH=x，在Rt△ODF中，利用线段和差将边长用x表示，根据勾股定理列方程求解.
【详解】
解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10，
∴弦AB的“十字弦”CD的最大值为10；
当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度,过O点作ON⊥AM,垂足为N,作OG⊥AB，垂足为G,则四边形AGON为矩形，
∴AN=OG,
∵OG⊥AB,AB=8，
∴AG=4，
∵OA=5，
∴由勾股定理得OG=3，
∴AN=3，
∵ON⊥AM,
∴AM=6，
即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6.
（2）证明：如图，连接AD ，
∵12AC =，7DH =，9CH =，
∴
AC CH CD
AC
, ∵∠C=∠C, ∴△ACH ∽△DCA,
∴∠CAH=∠D,
∵CD 是直径，
∴∠CAD=90°,
∴∠C+∠D=90°,
∴∠C+∠CAH=90°,
∴∠AHC=90°,
∴AH ⊥CD,
∴AB 、CD 互为“十字弦”.
（3）如图，过O 作OE ⊥AB 于点E ，作OF ⊥CD 于点F ，连接OA ，OD ，则四边形OEHF 是
矩形，∴OE=FH,OF=EH, ∴AE=4， ∴由勾股定理得OE=3， ∴FH=3， ∵tan ∠ADH=
AH HD , ∴tan60°=3AH
HD ,
设DH=,则AH=3x,
∴FD=3+x,OF=HE=4 -3x,
在Rt △ODF 中，由勾股定理得，OD 2=OF 2+FD 2，
∴(3+x)2+(4 -3x)2=52,
解得，x=3232-
, ∴FD=3323
32322, ∵OF ⊥CD,
∴CD=2DF=3223
4332
即CD=433+
【点睛】
本题考查圆的相关性质，利用垂径定理，相似三角形等知识是解决圆问题的常用手段,对结合学过的知识和方法的基础上，用新的方法和思路来解决新题型或新定义的能力是解答此题的关键.
26．（1）2，30；（2）2322CE =；（3）CC '的长223=
【解析】
【分析】
(1)直接利用勾股定理可求出AC 的长，再利用特殊角的三角函数值可得出∠DAC 的度数
(2)设CE=x ，则2x ，根据已知条件得出AD B DEC '',再利用相似三角形对应线
段成比例求解即可. (3)点C?运动的路径长为´CC 的长，求出圆心角，半径即可解决问题. 【详解】
解：(1)连接AC
22AC 2622AB BC =+=+=
∵21sin 302
22AB AC ===︒ ∴ACB DAC 30∠∠==︒ （2）由已知条件得出，A 2B '=
,D 2B '=,D 62C '=- 易证AB D DC E ''∆∆∽
∴
C E DC B
D AB ''='' ∴6222
CE -= ∴2322CE =-
（3）如图所示，C'运动的路径长为CC '的长
由翻折得：30C AD DAC '∠=∠=︒
∴60CAC '∠=︒
∴CC '的长60221803
π⋅=
= 【点睛】
本题考查的知识点有相似三角形的判定与性质，特殊的三角函数值，弧长的相关计算等，解题的关键是弄清题意，综合利用各知识点来求解.
27．（1）y=600-5x（0≤x＜120）；（2）7到13棵
【解析】
【分析】
（1）根据增种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，然后根据函数关系式y=-5x2+100x+60000=60420，结合一元二次方程解法得出即可．
【详解】
解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：
y=600-5x（0≤x＜120）；
（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，
则w=（600-5x）（100+x）
=-5x2+100x+60000
当y=-5x2+100x+60000=60420时，
整理得出：x2-20x+84=0，
解得：x1=14，x2=6，
∵抛物线对称轴为直线x=
100
2(5)
-
⨯-
=10，
∴增种7到13棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．
28．(1)y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)；(2)P的横坐标为13
4
或
11
4
.(3)点P的坐标为(4，0)或(5，﹣
6)或(2，6).
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标；
(2)利用△AQP∽△AOC得到AQ＝4PQ，设P(m，﹣m2+3m+4)，所以m＝4|4﹣(﹣
m2+3m+4|，然后解方程4(m2﹣3m)＝m和方程4(m2﹣3m)＝﹣m得P点坐标；
(3)设P(m，﹣m2+3m+4)(m＞3
2
)，当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则
PQ＝m2﹣3m，证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B＝4m﹣12，则OQ′＝12﹣3m，在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+(12﹣3m)2＝m2，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q′落在y轴上，易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，利用PQ＝PQ′得到|m2﹣3m|＝m，然后解方程m2﹣3m＝m和方程m2﹣3m＝﹣m 得此时P点坐标．
【详解】
解：(1)把A (0，4)，B (4，0)分别代入y ＝﹣x 2
+bx +c 得41640c b c =⎧⎨-++=⎩，解得34b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4，
当y ＝0时，﹣x 2+3x +4＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝4，
∴C (﹣1，0)；
故答案为y ＝﹣x 2+3x +4；(﹣1，0)；
(2)∵△AQP ∽△AOC ， ∴AQ PQ AO CO ∴
=， ∴441
AQ AO PQ CO ===，即AQ ＝4PQ ， 设P (m ，﹣m 2+3m +4)，
∴m ＝4|4﹣(﹣m 2+3m +4|，即4|m 2﹣3m |＝m ，
解方程4(m 2﹣3m )＝m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝134，此时P 点横坐标为134
； 解方程4(m 2﹣3m )＝﹣m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝
114，此时P 点坐标为1175,416⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上所述，点P 的坐标为(134，5116)或(114，7516
)； (3)设()23,342P m m m m ⎛
⎫-++> ⎪⎝
⎭， 当点Q ′落在x 轴上，延长QP 交x 轴于H ，如图2，
则PQ ＝4﹣(﹣m 2+3m +4)＝m 2﹣3m ，
∵△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点Q '，
∴∠AQ ′P ＝∠AQP ＝90°，AQ ′＝AQ ＝m ，PQ ′＝PQ ＝m 2﹣3m ，
∵∠AQ ′O ＝∠Q ′PH ，
∴Rt △AOQ ′∽Rt △Q ′HP ， ∴AO AQ Q H PQ
'
''=，即243m Q H m m '=-，解得Q ′H ＝4m ﹣12， ∴OQ ′＝m ﹣(4m ﹣12)＝12﹣3m ，
在Rt △AOQ ′中，42+(12﹣3m )2＝m 2，
整理得m 2﹣9m +20＝0，解得m 1＝4，m 2＝5，此时P 点坐标为(4，0)或(5，﹣6)； 当点Q ′落在y 轴上，则点A 、Q ′、P 、Q 所组成的四边形为正方形，
∴PQ ＝AQ ′，
即|m 2﹣3m |＝m ，
解方程m 2﹣3m ＝m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝4，此时P 点坐标为(4，0)；
解方程m 2﹣3m ＝﹣m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝2，此时P 点坐标为(2，6)，
综上所述，点P 的坐标为(4，0)或(5，﹣6)或(2，6)
【点睛】
本题考查了待定系数法，相似三角形的性质，解一元二次方程，三角形折叠，题目综合性较强，解决本题的关键是：①熟练掌握待定系数法求函数解析式；②能够熟练掌握相似三角形的判定和性质；③能够熟练掌握一元二次方程的解法；④理解折叠的性质.
29．（1）233384y x x =-
++；（2）① 32t =；②123453172417145,3,,,26176
t t t t t ===== 【解析】
【分析】
（1）根据点B 的坐标可得出点A ，C 的坐标，代入抛物线解析式即可求出b ，c 的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，推出△QFA ∽△CBA ，
△CGP ∽△CBA ，用含t 的式子表示OF ，PG ，将三角形的面积用含t 的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）由题意知：A (0,3),C (4,0)，
∵抛物线经过A 、B 两点，
∴3316408
c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得，343b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为：233384
y x x =-++． (2)① ∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90O ， ∴AC 2=AB 2+BC 2=5； 由2333384
x x -++=，可得120,2x x ==，∴D （2,3）． 过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，
∵∠FAQ =∠BAC ， ∠QFA =∠CBA ，
∴△QFA ∽△CBA ．
∴AQ QF AC BC =， ∴5335AQ QF BC t t AC =⋅=⋅=． 同理：△CGP ∽△CBA ，
∴PG CP AB AB =∴CP PG AB AB =⋅，∴45
PG t =， 1154162(5)2(3)22352
DPQ ABC QAD PQC PBD S S S S S t t t t ∆∆∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-222229323323(3)3()3342322
t t t t t =-+=-+-+=-+ 当32t =时，△DPQ 的面积最小.最小值为32
． ② 由图像可知点D 的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC 的解析式为：3y 34x =-
+． 三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：
当DPG 90∠=︒时，根据勾股定理可得出：
()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 整理，解方程即可得解；
当DGP 90∠=︒时，可知点G 运动到点B 的位置，点P 运动到C 的位置，所需时间为t=3；
当PDG 90∠=︒时,同理用勾股定理得出：
()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 整理求解可得t 的值．
由此可得出t 的值为：132t =,23t =,3176t =,42417t =,517145t -=．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．
30．（1）y 1＝3，y 2＝﹣1；（2）x 1113+x 2113-
【解析】
【分析】
（1）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）（y ﹣1）2﹣4＝0，
（y ﹣1）2＝4，
y ﹣1＝±2，
y ＝±2+1，
y 1＝3，y 2＝﹣1；
（2）3x 2﹣x ﹣1＝0，
a ＝3，
b ＝﹣1，
c ＝﹣1，
△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，
x ＝16
±，
x 1x 2 【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法和公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
31．（1）8，8，
23；（2）选择小华参赛．（3）变小 【解析】
【分析】
（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【详解】
（1）解：小华射击命中的平均数:
7+8+7+8+9+96=8, 小华射击命中的方差:2222122(78)2(88)2(98)63S ⎡⎤=
-+-+-=⎣⎦, 小亮射击命中的中位数:8+8=82
； （2）解：∵x 小华＝x 小亮，S 2小华＜S 2小亮
∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．
（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.
【点睛】
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．
32．（1）见解析，（2）见解析，（3）13 2
π
【解析】
【分析】
（1）将三个顶点分别向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到对应点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作出点A′，B′绕点C顺时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接可得；（3）根据弧长公式计算可得．
【详解】
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）如图所示，△A″B″C′即为所求．
（3）∵A′C22
23
+13A′C′A″＝90°，
∴点A
90?·13
π13
，
13
π．
【点睛】
本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了弧长公式．。