机工社控制工程基础2023教学课件第2章03拉普拉斯变换的基本定理

拉普拉斯变换的基本定理
证明：根据拉氏变换的定义，有
L[ df (t)] df (t)estdt estdf (t)
dt
0 dt
0
est
f (t)
0
s
0
f (t)estdt
sF (s) f (0)
L[ d 2 f (t)] L[ f (t)] L{[ f (t)]} dt 2 sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0) s2F (s) sf (0) f (0)
0
拉普拉斯变换的基本定理
7.终值定理 如果函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，且以下极限值均存在，则有
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，可知下式成立
L[df (t)] df (t) estdt sF(s) f (0) dt 0 dt
解：三角波可表达为：
f (t) 5t 5(t 2) 101(t 2)
利用实数域的平移定理，对上式求拉氏变换，得：
F(s)
5 s2
5 s2
e2s
10 s
e2s
拉普拉斯变换的基本定理
3.复数域的平移定理
如果函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，则对任一常数 a ，有
L[eat f (t)] F (s a)
s2
s 1 ，求
2s 1
f
() 。
解：根据终值定理，可求得
解：
f () lim sF(s) lim
s 1
1
s0
s0 s2 2s 1
小结
1.微分定理 2.平移定理 3.初值定理 4.终值定理
对等式两边取极限：令 s 0 ，则有
lim df (t) estdt lim[sF(s) f (0)]
s0 0 dt
s0
f
(t)
0
lim sF (s)
s0
f
(0)
f () lim f (t) lim sF(s)
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s0
拉普拉斯变换的基本定理
【例
5】已知： L[
f
(t)]
F (s)
f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有
L[ df (t)] df (t) estdt sF(s) f (0)
dt
0 dt
对等式两边取极限：令 s ，则有
lim df (t) estdt lim[sF (s) f (0)]
证明：根据拉氏变换的定义
L[k1 f1(t) k2 f2 (t)]
0
[k1
f1(t
)
k2
f2
(t
)] e st
dt
0
k1
f1 (t )e st dt
0
k2
f2
(t )e st
dt
k1F1(s) k2F2 (s)
拉普拉斯变换的基本定理
【例 1】已知 f (t) 4t 2 3sin 2t et ，求其拉氏变换 F(s) 。
s
0
0
1 F (s) 1 f (1) (0)
s
s
当函数 f (t) 的各重积分的初始值均为零时，积分定理转换为
L[
f
(t)dt]
1 s
F (s)
L[
f
2
(t)(dt) ]
1 s2
F (s)
L[
f
n
(t)(dt) ]
1 sn
F (s)
拉普拉斯变换的基本定理
6.初值定理
如果函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，且以下极限值均存在，则有
解：由拉氏变换定义及线性定理可知：
F (s) L(4t2 3sin 2t et )
4(
2s3!)
3(
s2
2
) 4
s
1
1
8 s3
6 s2
4
s
1 1
拉普拉斯变换的基本定理
2.实数域的平移定理
如果函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，则对任一正实数 a ，有
L[ f (t a)] eas F (s)
证明：由于 0 t a 时， f (t a) =0，则有
L[ f (t a)] f (t a)estdt 0 f ( )es(a )d (a ) (令t a ) 0 eas f ( )es d 0 easF (s)
拉普拉斯变换的基本定理
【例2】 求所示三角波的拉氏变换。
证明：
L[eat f (t)] eat f (t)estdt 0 f (t)e(as)tdt 0 F(s a)
拉普拉斯变换的基本定理
【例 3】求 eat sint 的拉氏变换。
解： 由正弦函数的拉氏变换可知
L[sin t]
s2
2
运用复数域的平移定理，有
L[eat
sin t]
(s
a)2
L[ f (t)dt] 1 F(s) 1 f (1) (0)
s
s
式中， f (1) (0) ——积分 f (t)dt 在 t 0 时的值
拉普拉斯变换的基本定理
证明：根据拉氏变换的定义，有
L[
f (t)dt]
[
f (t)dt]estdt
0
1 [ f (t)dt est f (t)estdt]
2
拉普拉斯变换的基本定理
4.微分定理（非常重要）
如果函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，则有
L[df (t)] L[ f '(t)] sF(s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s2F (s) sf (0) f (0) dt 2
L[ d n f (t)] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1) (0) dt n
拉普拉斯变换 的基本定理
学习目标
➢ 微分定理 ➢ 平移定理 ➢ 初值定理、终值定理
拉普拉斯变换的基本定理
1. 线性定理 如果 k1 、k1 为任意常数，函数 f1(t) 、f2(t) 的拉氏变换为 F1(s) 、F2 (s)
则有：
L[k1 f1(t) k2 f2 (t)] k1F1(s) k2F2 (s)
拉普拉斯变换的基本定理
当函数 f (t) 的各阶导数的初始值均为零时，微分定理转换为：
L[ df (t)] sF(s) dt
L[
d
2f dt
(t
2
)
]
s
2
F
(s)
L[
d
nf dt
(t
n
)
]
s
n
F
(
s)
注意：运用微分定理可将函数的求导运算转化为代数运算
拉普拉斯变换的基本定理
5.积分定理
如果函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，则有
s 0 dt
s
0 lim sF(s) f (0) s
f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
拉普拉斯变换的基本定理
【例
4】已知： L[ f (t)] F(s)
s2
1 a2
，求
f
(0) 。
解：根据初值定理，可求得 解：
f
(0)
lim
s
sF
(s)
lim
s
s
s
2
1 a2