难点解析：人教版九年级数学下册第二十七章-相似必考点解析试卷(含答案详解)

人教版九年级数学下册第二十七章-相似必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如果线段2cm a =，18cm b =，那么a 和b 的比例中项是（ ） A ．3cm
B ．4cm
C ．6cm ±
D ．6cm
2、如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，3S ：2S 的值为（ ）
A ．1
2
B ．23
C D 35
2
3、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿着AD 和BC 边的中点连线EF 对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（ ）
A ．4：1
B
C ．
D ．2：1
4、甲、乙两城市的实际距离为500km ，在比例尺为1：10000000的地图上，则这两城市之间的图上距离为（ ） A ．0.5cm
B ．5cm
C ．50cm
D ．500cm
5、下列四条线段中，成比例的是（ ） A ．1a =，2b =，3c =，4d = B ．1a =，2b =，3c =，6d = C ．2a =，3b =，4c =，12d =
D ．3a =，2b =，5c =，6d =
6、已知3
2
a b =，那么下列等式中正确的是（ ）
A ．
5
3
a b b += B ．
1
3
a b b -= C ．23a b = D ．23
a
b =
7、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，DB x ⊥轴于点B ，AC 所在直线交x 轴于点F ，点
A 、E 同时在反比例函数()0k y x x =<的图象上，已知直线AC 的解析式为34
y x b =+，矩形ABCD 的面积为
120，则k 的值是（ ）
A ．20-
B ．452
-
C ．40-
D ．160
3
-
8、如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A ′B ′C ′，已知BB ′＝2OB ′，则△A ′B ′C ′
与△ABC的面积之比（）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
9、如图，点P是▱ABCD边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知▱ABCD面积为16，那么
△PEF的面积为（）
A．8 B．6 C．4 D．2
10、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边在△ABC外部作正方形ADEB，CBFG，ACHI．将正方形ABED沿直线AB翻折，得到正方形ABE'D'，AD'与CH交于点N，点E'在边FG上，D'E'与CG交于点M，记△ANC的面积为S1，四边形'
BCME的面积为S2，若CN＝2NH，S1+S2＝14，则正方形ABED的面积为（）
A．25 B．26 C．27 D．28
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，AB＝5，则BD的长度为
_____．
2、如图，在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将△OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F．若△PDF为直角三角形，则PD的长为______．
3、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，4
AB=，6
AD=，M是线段CE上的动点，则BM的最小值是___________．
4、在△ABC中，AB＝8，点D、E分别是AC、BC上点，连接DE，将△CDE沿DE翻折得△FDE，点C的对
应点F正好落在AB上，若∠1
1
2
+∠2＝90°，S△ADF1
2
=S△CDE，△BEF的而积为12，则点D到BC的距
离为 _____．
5、将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3...A2020和点M，M1，M2 (2019)
正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3…AM2019分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2…A2019M2018于点N1，N2，
N3…N2019，四边形M1N1A1A2的面积是S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…，则S2019为 _____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在三角形ABC中，AC＝AB，∠CAB＝α，点D是平面内不与B，C重合的任意一点，连接CD，将线段绕点C逆时针旋转α得到线段CE，连接AD，BE，DE．
（1）如图1，当α＝60°时，
AD
BE
＝ ，并求出直线BE 与直线AD 所夹的劣角是多少度？ （2）如图2，当α＝90°时，若点P ，Q 分别是AC ，AB 的中点，点D 在直线PQ 上，求点A ，D ，E 在同一直线上时
CE
AD
的值． 2、如图，点()3,M m -是一次函数1y x =+与反比例函数k
y x
=（0k ≠）的图象的一个交点，点E 是一次函数与x 轴的交点． （1）求反比例函数表达式；
（2）点P 是x 轴正半轴上的一个动点，设()2OP a a =≠，过点P 作垂直于x 轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A ，B ，过OP 的中点Q 作x 轴的垂线，交反比例函数的图象于点C ，交一次函数的图象于点F ．
①当4a =时，求ABC 的面积； ②当a 为何值时，ACF 与EQF 相似．
3、定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD ，若
AD 2＝BD •CD ，则称点D 是ABC 中BC 边上的“好点”．
（1）如图2，ABC 的顶点是4×4网格图的格点，请在图中画出AB 边上的“好点”；
（2）如图3，ABC 是⊙O 的内接三角形，点H 在AB 上，连接CH 并延长交⊙O 于点D ．若点H 是BCD
中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；
②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求CH
DH
的值．
4、如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，当∠PCB
1
2
∠BCO时，求点P的横坐标．
5、矩形ABCD的周长为28（AB＜BC），对角线AC与BD相交于点O，对角线长为10，过点O作
OP⊥BD，且OP＝AO，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请画出符合题意的图形，并直接写出线段CE的长．---------参考答案-----------
一、单选题 1、D 【解析】 【分析】
由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，即可求解． 【详解】
解：设它们的比例中项是x cm ，根据题意得：
x 2=2×18，
解得：6x =±（线段是正数，负值舍去）． 故选：D 【点睛】
本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例中项的平方等于两条线段的乘积是解题的关键． 2、C 【解析】 【分析】
设正方形ABCD 的边长为a ，关键黄金分割点的性质得到512
AE
AB
和BE AE =，用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积，再求比例． 【详解】
解：设正方形ABCD 的边长为a ， ∵点E 是AB 上的黄金分割点，
∴
512
AE AB
，BE AE =
∴AE AB =
=，
∴2
BE a ==⎝⎭
，
∵2
221S AE ⎫===⎪⎪⎝⎭
，2
2S BE BC =⋅=，
∴)
222232S a a ==，
∴)
2232:2S S a ==
． 故选C ．
【点睛】
本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 3、B 【解析】 【分析】
根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】
根据条件可知：矩形AEFB ∽矩形ABCD ， ∴
AE AB
AB AD
=， ∵E 为AD 中点 ∴1
2
AE AD =
∴12AD
AB AB AD
=，
∴22
2
AD AB
=，
∴AD=，
故选B
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
先将千米换单位为厘米，然后设这两城市之间的图上距离为xcm，根据比例计算即可得．
【详解】
解：50050000000
km cm
=，
设这两城市之间的图上距离为xcm，
则：
1 1000000050000000
x
=，
解得：5
x cm
=，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查比例的计算，理解题意，注意单位变换是解题关键．5、B
【解析】
【分析】
通过验证a 、b 、c 、d 中，任意两两一组的比值是否相等，即可判断．
【详解】
解：A 、a 、b 、c 、d 中，任意两条线段的比值，与其他两个线段的比值都不相等，故错误
B 、a 、b 、c 、d 中有：::1:3a c b d ==，故正确
C 、a 、b 、c 、d 中，任意两条线段的比值，与其他两个线段的比值都不相等，故错误
D 、a 、b 、c 、d 中，任意两条线段的比值，与其他两个线段的比值都不相等，故错误
故选：B ．
【点睛】
本题主要是考查了线段长度是否构成比例，直接判断任意两条线段是否与剩余两条比值相等即可解决本题．
6、C
【解析】
【分析】
由题意设()30,a k k =≠ 则2,b k = 再逐一代入各选项进行计算与检验即可得到答案.
【详解】 解： 3
2
a b =， 设()30,a k k =≠ 则2,b k =
∴
55,22a b k b k +==故A 不符合题意； 321,22
a b k k b k --==故B 不符合题意； 263,a k b ==故C 符合题意；
32,,2233a k b k ==则,23
a b ≠故D 不符合题意； 故选C
【点睛】
本题考查的是比例的基本性质，掌握“设参数的方法解决比例问题”是解本题的关键.
7、C
【解析】
【分析】
过点A 作AF BD ⊥于点F ，设BC 与y 轴交于点G ，根据题意， EAF EFB ∽，GOF EBF ∽，求得
4(0,),(,0)3G b F b -，进而可得4,3OG b OF b ==，即EF GO AF FO =3=4
，设3,EF a =则4AF a =，根据面积为120求得a 的值，点A 、E 同时在反比例函数()0k y x x =<的图象上，表示出(
,5)5k E a a ，则(4,53)5k A a a a a --，即4,25k A a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，即可求得k 的值 【详解】
解：如图，过点A 作AF BD ⊥于点F ，设BC 与y 轴交于点G ，
DB x ⊥
//AF FB ∴，//DB GO
EAF EFB ∴∽，GOF EBF ∽
EF EB AF FB ∴=，GO EB FO FB
=
EF GO AF FO
∴= 直线AC 的解析式为34y x b =+，
令0x =，y b =，令0y =，43b x =- 4(0,),(,0)3
G b F b ∴- 4,3
OG b OF b ∴==， EF GO AF FO ∴=3=4
设3,EF a =则4AF a =
在Rt AEF 中，
5AE a =
四边形ABCD 是矩形
AC BD ∴=
5AE EB a ∴==，
矩形ABCD 的面积为120，
121202
BD AF ∴⨯⨯= 即104120a a ⨯=
解得23a =
根据题意，点A 、E 同时在反比例函数()0k y x x =<的图象上， 设(
,5)5k E a a ，则(4,53)5k A a a a a --，即4,25k A a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
∴425k k a a a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭
即可2
40403
a k =-=- 故选C
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形，相似三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，熟练运用以上知识是解题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
直接根据题意得出位似比，根据位似比等于相似比，进而根据面积比等于相似比的平方求得面积比．
【详解】
解答：解：∵以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A ′B ′C ′，BB ′＝2OB ′，
∴OB ′＝13
OB ，
∴△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比为：1：9．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了位似图形的性质，正确得出位似比是解题关键．
9、D
【解析】
【分析】
根据平行线间的距离处处相等，得到=8PBC S △，根据EF 是△PBC 的中位线，得到△PEF ∽△PBC ，EF =
12
BC ，得到1=4PEF PBC S S △△计算即可． 【详解】
∵点P 是▱ABCD 边AD 上的一点，且 ▱ABCD 面积为16， ∴1==82PBC ABCD S S △平行四边形；
∵E ，F 分别是BP ，CP 的中点，
∴EF ∥BC ，EF =12
BC ，
∴△PEF ∽△PBC ， ∴21=()4PEF PBC PBC EF S S S BC =△△△， ∴1=824PEF S ⨯=△，
故选D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握中位线定理，灵活运用三角形相似的性质是解题的关键．
10、B
【解析】
【分析】
设NH x =，则2CN x =，证明Rt ACN Rt BCA ∽，得出92BC x =，根据2ABED S
AB =，再证明'()Rt ABN Rt D AM ASA ≌，得出'Rt ABC CND M S S =四边形，可以得出12''214Rt ABC ABE D S S S S +=-=四边形，得出等式2117192314422
x x x -⨯⋅⋅=，求解即可得到． 【详解】
解：设NH x =，则2CN x =，
由题意知：3CA CH x ==，
在Rt ACN 和Rt BCA 中，
90ACN BCA ∠=∠=︒，
90CAN CNA CAN CAB ∠+∠=∠+∠=︒，
CNA CAB ∴∠=∠，
Rt ACN Rt BCA ∴∽，
2233
CN AC x AC BC x ∴===， 92BC x ∴=
， 在Rt ABC 中由勾股定理得：
22222281117944
AB AC BC x x x =+=+=， 2ABED S AB =，
2''1174
ABED ABE D S S x ∴==四边形， 在Rt ABN △和'Rt D AM 中，
'''AB D A ABN D AM BAN AD M =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
， '()Rt ABN Rt D AM ASA ∴≌，
'Rt ABC CND M S S ∴=四边形，
12'''14Rt ABC ABE D CND M S S S S S ∴+=--=四边形四边形，
12''214Rt ABC ABE D S S S S ∴∴+=-=四边形，
2117192314422
x x x ∴-⨯⋅⋅=， 解得：25663x =
， 211711756264463
ABED S x ∴==⨯=， 故选：B ．
【点睛】
本题考查正方形的性质、三角形相似、三角形全等、勾股定理，解题的关键是掌握相应的判定定理，通过转化的思想及等量代换的思想进行求解．
二、填空题
1、154
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出BC =3，然后证明△ABC ∽△BDC ，得到
AC AB BC BD =，即453BD =，由此求解即可． 【详解】
解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得，3BC = ，
∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ，
∴△ABC ∽△BDC ， ∴AC AB BC BD =，即453BD
=， ∴154BD =
，
故答案为：154
．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
2、5或252
【解析】
【分析】
分情况进行讨论，当∠DPF =90°时，过点O 作OH ⊥AD 于H ，先证△DHO ∽△DAB ，得到
1=2OH HD OD AB AD BD ==，求出1152OH AB ==，1202
HD AD ==，证明∠HOP =∠HPO =45°，得到OH =PH =15，
则PD =HD -PH =5；当∠PFD =90°时，先求出50BD =，得到
11=2522
OA OB OC OD AC BD =====，从而得到∠DAO =∠ODA ；证明△OFE ∽△BAD ，推出1152OF AB ==，则10DF OD OF =-=，最后证明△PDF ∽△BDA ，则12542
PD BD ==． 【详解】
解：如图1所示，当∠DPF =90°时，过点O 作OH ⊥AD 于H ，
∴∠HPF =90°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴BD =2OD ，∠BAD =∠OHD =90°，AD =BC =40，
∴OH ∥AB ，
∴△DHO∽△DAB，
∴
1
=
2 OH HD OD
AB AD BD
==，
∴
1
15
2
OH AB
==，
1
20
2
HD AD
==，
由折叠的性质可得：
1
==45
2
HPO FPO HPF
∠=∠︒
∠，
∴∠HOP=45°，
∴∠HOP=∠HPO=45°，
∴OH=PH=15，
∴PD=HD-PH=5；
如图2所示，当∠PFD=90°时，∴∠OFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=30，
∴50
BD=，
∴
11
=25
22
OA OB OC OD AC BD
=====，
∴∠DAO=∠ODA，
由折叠的性质可知：AO=EO=25，∠PEO=∠DAO=∠ODA，
又∵∠OFE=∠BAD=90°，∴△OFE∽△BAD，
∴
1
2 OF OE
AB BD
==，
∴
1
15
2
OF AB
==，
∴10
DF OD OF
=-=，
∵∠PFD=∠BAD，∠PDF=∠BDA，∴△PDF∽△BDA，
∴
1
4 PD DF
BD DA
==，
∴
125
42 PD BD
==，
∴综上所述，当△PDF为直角三角形，则PD的长为5或25
2
，
故答案为：5或25
2
．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
3、24 5
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出CE 的长，再根据垂线段最短可得当BM CE ⊥时，BM 取得最小值，然后根据相似三角形的判定证出BCM CED ，最后根据相似三角形的性质即可得．
【详解】
解：矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，4AB =，6AD =，
3,4,6,90,DE CD BC D AD BC ∴===∠=︒，
5,CE BCM CED ∴=∠=∠，
由垂线段最短可知，当BM CE ⊥时，BM 取得最小值，
在BCM 和CED 中，90BCM CED
BMC D ∠=∠⎧⎨
∠=∠=︒⎩
，
BCM
CED ∴，
BM BC CD CE ∴
=，即6
45
BM =， 解得24
5
=
BM ， 即BM 的最小值是
245
， 故答案为：245
． 【点睛】
本题考查了垂线段最短、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 4、
165
【解析】 【分析】
连接CF ，交DE 于H ，作DG ⊥AB 于G ，通过证明△AGD ≌△FGD ，得AD =DF ，从而可证D 是AC 中点，再证明E 是BC 中点，根据相似三角形的判定与性质，1
4
CDE
CAB
S S
=
△△．设S △CDE =m ，根据△BEF 的而积为12求出m ，然后根据三角形的面积公式和勾股定理求解即可． 【详解】
解：连接CF ，交DE 于H ，作DG ⊥AB 于G ，则∠AGD =∠DGF =90°，
∵∠11
2
+∠2＝90°，∠1+∠GDF ＝90°，
∴∠GDF ＝1
2∠2， ∴∠GDF ＝∠3． 在△AGD 和△FGD 中
3AGD DGF DG DG
GDF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AGD ≌△FGD ， ∴DA =DF ，∠A =∠1．
由折叠的性质知，△AGD ≌△FGD ， ∴FD =CD ，FE =CE ， ∴∠4=∠5，AD =CD ．
∵∠A +∠1+∠4+∠5=180°， ∴∠1+∠4=90°， ∴∠AFC =90°， ∴∠BFC =90°． ∵，FE =CE ， ∴∠6=∠7． ∵∠8+∠6=90°， ∴∠B +∠7=90°， ∴∠8=∠B ， ∴FE =BE ， ∴CE =BE ，
∴D 、E 分别为AC 、BC 的中点， ∴DE //AB ，1
2
DE AB =． ∴△CDE ∽△CAB ，
∴1
4CDE CAB
S S
=△△． 设S △CDE =m ，则S △ACB =4m ， ∵S △ADF 12
=S △CDE ，
∴S △ADF 12=m ．
∵ΔΔΔΔΔ+ADF FDE BFE DEC ABC S S S S S ++=，
∴1
2m +m +m +12=4m ，
∴S△CDE=8，S△ACB=32，S△BFE=32-8-8-4=12．
∵1
32
2
AB CF
⋅=，AB=8，
∴CF=8．
∵DE//AB，
∴△ABF与△BFE等高，
∴AF：BF=S△ABF：S△BFE=4:12=1:3，
∴BF=3
4
AB=6．
∵∠BFC=90°，
∴BC．
∵E为BC中点，
∴BE=CE=5．
设D到BC的距离为h，
∵1
8
2
CE h⋅=，
∴∴h=2816
=
55
⨯
．
故答案为：16
5
．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及两平行线间的距离等知识，证明、E分别为AC、BC的中点是解答本题的关键．
5、4039
4040
【分析】
设左边第一个正方形左上角的顶点为O，先判定△M1MN1∽△M1OA，利用相似三角形的性质求出MN1的长，进而得出S1，同理得出S2，按照规律得出Sn，最后n取2019，计算即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，设左边第一个正方形左上角的顶点为O
∵将2019个边长为1的正方形按如图所示的方式排列
∴OA∥MA1∥M1A2∥M2A3∥…∥M2018A2019
∴△M1MN1∽△M1OA
∴11
11 2
MM MN
OM OA
==
∴MN1=1
2
，
∴四边形M1N1A1A2的面积是S1=113
11
224
-⨯⨯=；
同理可得：1212
21 3
M M M N
OM OA
==
∴四边形M2N2A2A3的面积S2=115
11
236
-⨯⨯=；…
∴四边形MnNnAnAn+1的面积Sn=
121 1
2(1)22
n
n n
+ -=
++
∴S2019=4039
4040
；
故答案为：4039
4040． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质在规律型问题中的应用，数形结合并善于发现规律是解题的关键． 三、解答题 1、（1）1;60°（2）√6+√22或√6−√2
2
【解析】 【分析】
（1）证明△AAA ≌△AAA 即可求得AA
AA =1，延长AA ,AA 交于点F ，设∠AAA =A ，根据三角形内角和即可求得∠A 即直线BE 与直线AD 所夹的劣角；
（2）①当点E 在线段AD 上时，根据A ,A 分别为AA ,AA 的中点，可得AA 是ABC 的中位线，进而可得∠AAA =∠AAA =45°=∠AAA ,∠AAA =∠AAA ，证明△AAA ∽△AAA ，设
AA =A ，则AA =A ，设AA =2A ，则AA =AA =A ，代入比例式求得A =√2A ，进而证明
△AAA ∽△AAA ，设AA =A ，AA =(√3−1)A ，进而即可求得CE
AD
的值，②当D 在线段AE 上时，同理可得AA =√2A ，AA =(√3−1)A ，进而即可求得CE
AD
的值 【详解】
解：（1）在三角形ABC 中，AC ＝AB ，∠CAB ＝60° ∴△AAA 是等边三角形 ∴AA =AA ，60BAC ∠=︒
将线段绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，
∴∠AAA =60°,AA =AA
ADE ∴是等边三角形
∴AA =AA ，∠AAA =60°
∴∠AAA=∠AAA−∠AAA=∠AAA−∠AAA=∠AAA
∴∠AAA=∠AAA
∴△AAA≌△AAA
∴AA=AA，∠AAA=∠AAA
∴AA
AA
=1
如图，延长AA,AA交于点F
∵∠AAA=∠AAA，设∠AAA=A
则∠AAA=∠AAA−∠AAA=60°−A,∠AAA=∠AAA+∠AAA=60+A 在△AAA中，∠A=180°−∠AAA−∠AAA=60°
即直线BE与直线AD所夹的劣角是60°
（2）①当点E在线段AD上时，如图，
∵△AAA，CDE
△是等腰直角三角形，
∴∠AAA=45°,∠AAA=45°
A,A分别为AA,AA的中点，
∴AA∥AA
∠AAA=∠AAA=45°
∵∠AAA=∠AAA=45°=∠AAA,∠AAA=∠AAA
∴△AAA∽△AAA
设AA=A，则AA=A，AA=√2A，设AA=2A，则AA=AA=A
∴AA
AA
=
AA
AA
即A
A
=A
2A
∵A,A>0
∴A=√2A
∴AA=√2A=2A
∵∠AAA=45°
∴∠AAA=180°−∠AAA=135°
∵∠AAA=45°
∴∠AAA=180°−∠AAA=135°
∴∠AAA=∠AAA
又∠AAA=∠AAA
∴△AAA∽△AAA
则AA
AA
=AA
AA
设AA=A，
∴A
A
=
2A
2A+A
解得A1=(√3−1)A,A2=−(√3+1)A（舍）
∴AA=(√3−1)A
∴AA
AA =√2A
2A+(√3−1)A
=√6−√2
2
，
②如图，当D在线段AE上时，
同理可得AA =√2A ，AA =(√3−1)A
∴AA AA =√2A (√3−1)A =√6+√22
综上所述
CE AD
的值为√6−√22或√6+√2
2
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，设参数法求解是解题的关键． 2、（1）y =6
A ；（2）3.5；（3）当a ＝3或a ＝−1+√73
3
【解析】 【分析】
（1）由一次函数解析式可得点M 的坐标为（﹣3，﹣2），然后把点M 的坐标代入反比例函数解析式，求得k 的值，可得反比例函数表达式；
（2）①作CD ⊥AB 交AB 于点D ．当a ＝4时，利用函数解析式可分别求出点A 、B 、C 、D 的坐标，于是可得AB 和CD 的长度，即可求得△ABC 的面积；
②分∠ACF 为直角，∠FAC 为直角两种情况，利用数形结合即可求解．
【详解】
解：（1）把M （﹣3，m ）代入y ＝x +1，则m ＝﹣2．
将（﹣3，﹣2）代入y =A A ，得k ＝6，则反比例函数解析式是：y =6A ；
（2）①作CD ⊥AB 交AB 于点D ．
当a ＝4时，A （4，5），B （4，1.5），则AB ＝3.5．
∵点Q 为OP 的中点，
∴Q （2，0），
∴C （2，3），则D （4，3），
∴CD ＝2，
∴S △ABC 12 AB •CD =12×3.5×2＝3.5；
②∵点E ,F 在y ＝x +1上
∴点E （-1,0） F （A 2，A 2+1）
∵Q （A 2，0）
∴EQ=QF
∴△ EQF 为等腰直角三角形， ∴当ACF 与EQF 相似时，则ACF 为等腰直角三角形，
i 、当∠ACF 为直角时，则点C 和点A 的纵坐标相同，
∴AP ＝CQ =12A ，
又∵A 在直线y ＝x +1上，
∴12A =a +1，解得a ＝3或a ＝﹣4（舍去），
∴当a 的值为3时，ACF 与EQF 相似．
ii 、当∠FAC 为直角时，过A 作AN ⊥CQ 如图
由题意得A（a,a+1）,C（A
2，12
A
）
∵△ACF为等腰直角三角形
∴N（A
2
，a+1）
∵AN⊥CQ
∴AN=CN
∴A
2
=12
A
-a-1
解得：a＝−2+2√73
6=−1+√73
3
或a＝−2−2√73
6
=−1−√73
3
（舍去）
∴当a＝3或a＝−1+√73
3
时，ACF与EQF相似．
【点睛】
本题综合考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征以及相似的性质．难度较大，解题时需要注意数形结合．
3、（1）作图见解析；（2）①证明见解析；②2 3
【解析】
【分析】
（1）由“好点”定义知2CD AD BD =⋅；①在Rt ABC 中，D 在线段AB 上；若Rt ADC 与Rt CDB 全等，可得=CD BD AD CD
，此时可以得出点D 为Rt ABC 中，垂线CD 与线段AB 的交点，即“好点”；②在Rt ABC 中，由斜边上的中线等于斜边的一半，可知当D 为线段AB 的中点时，AD CD BD ==，有2CD AD BD =⋅，D 为“好点”．进而得出直角三角形的“好点”是斜边上的垂足与斜边的中点．
（2）①由同弧所对圆周角相等可知A D ∠=∠ ，ACH DBH ∠=∠， ACH DBH ∽；可得
CH DH BH AH ⋅=⋅；点H 为 BCD △中CD 边上的“好点”，故有2BH CH DH =⋅；可知BH AH =，故点H 为AB 边的中点，进而由垂径定理可证OH AB ⊥．
②OH BD ∥，90ABD ∠=︒，连接AD ，AD 为直径；设OH m =，33r OH m ==，22BD OH m ==；在
Rt AOH ，AH BH ==；在Rt BHD △，DH =；由2BH CH DH =⋅可得CH =CH DH 的值． 【详解】
解：（1）如答图1所示
①过点C 向线段AB 做垂线，交点为D
∴Rt AD C Rt CD B ''∽
AD CD CD BD ''∴=''
2CD AD BD '''∴=⋅
∴斜边上的垂足D 为“好点”
②连接C 与线段AB 的中点D
∴ CD 为Rt ABC 的中线
AD CD BD ∴==
2CD BD AD ∴=⋅
∴斜边上的中点D 为“好点”
∴综上所述，斜边AB 上的垂足D 与斜边AB 上的中点D 为“好点”．
（2）①证明：由题意可知A D ∠=∠ ，ACH DBH ∠=∠
ACH DBH ∴∽
CH AH BH DH
∴= CH DH BH AH ∴⋅=⋅ 又点H 为 BCD △中CD 边上的“好点”
∴有2BH CH DH =⋅
BH AH ∴=
∴点H 为AB 边的中点
由垂径定理可证OH AB ⊥
∴OH AB ⊥
②解：如答图2，连接AD
OH BD
∥
90
ABD
∴∠=︒，AD为直径
设OH m
=
33
r OH m
∴==，22
BD OH m
==
在Rt AOH
，AH BH
==
在Rt BHD
△
，DH=
又2
BH CH DH
=⋅
CH
∴=
2
3
CH
DH
∴==
2
3
CH
DH
∴=．
【点睛】
本题考察了直角三角形中垂线与中线的性质、三角形相似、垂径定理、圆周角、勾股定理等知识点．解题的关键与难点在于理解新定义与所学知识的连接，是否能灵活运用已有知识．
4、（1）23
15684y x x =-+；（2）143
x =或34633x = 【解析】
【分析】
（1）由题意代入A （2，0），B （8，0）两点求出a 、b 的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）根据题意分点P 在BC 下方的抛物线上和点P 在BC 上方的抛物线上两种情况，结合全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质进行分析即可得出答案.
【详解】
解：（1）由题意代入A （2，0），B （8，0）两点，可得：
042606486a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得：38154a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 所以抛物线的解析式为：23
15684
y x x =-+； （2）当点P 在BC 下方的抛物线上时，此时∠PCB 1
2=∠BCO 即CP 平分∠BCO ，如图，
作CP 平分∠BCO ，交x 轴于点D ，过D 作DE BC ⊥垂足为E ，
∵CP 平分∠BCO ，DE BC ⊥，
∴OD DE =，DCO DCE ∠=∠，
∵OD DE =，DCO DCE ∠=∠，90COD CED ︒∠=∠=,
∴,6,DOC DEC CO CE ≅==
∴10,4BC BE BC CE =-=,
设OD DE m ==，8BD m =-,
勾股定理可得：222DE B D E B +=,即2224(8)m m +=-,
解得：3m =,即3OD DE ==，D 的坐标为（3，0），
设CD 的解析式为：(0)y kx b k =+≠，代入C 、D 可得：
603b k b =⎧⎨=+⎩
，解得：26k b =-⎧⎨=⎩，所以CD 的解析式为：26y x =-+， ∵P 为直线CD 与抛物线的交点， ∴联立可得：23
1526684
x x x -+=-+， 解得：0x =（舍去）或143x =，即P 的横坐标为143
x =， 当点P 在BC 上方的抛物线上时，此时∠PCB 1
2=∠BCO ，如图，
作∠PCB 1
2=∠BCO 交抛物线于点P ，延长DE 交CP 于点F ，过E 作EH ⊥x 轴交于点H ，
∵∠PCB 12=∠BCO ，DCB DCO ∠=∠，
∴,PCB DCB ∠=∠
∵,,PCB DCB CE CE DEC FEC ∠=∠=∠=∠,
∴,DEC FEC DE DF ≅=,
∵,90CBO EBH COB EHB ︒∠=∠∠=∠=,
∴EHB COB ∽, ∴4,1068BE EH BH EH BH BC CO BO ====, 可得121624,,555
EH BH OH BO BH ===-=, ∴2412(,)55
E , 设
F 为(,)m n ，由DE DF =可得
324012,2525m n ++==，解得：3324,55m n ==， 即F 为3324(,
)55， 设CF 的解析式为：(0)y kx b k =+≠，代入C 、F 可得：
624335
5b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：2116k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以CD 的解析式为：2611y x =-+， ∵P 为直线CF 与抛物线的交点， ∴联立可得：22
315661184
x x x -+=-+， 解得：0x =（舍去）或34633x =，即P 的横坐标为34633
x =， 综上所述P 的横坐标为143
x =或34633x =. 【点睛】 本题考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和角平分线性质是解题的关键.
5、见解析，1或7
【解析】
【分析】
根据题意分P 在上方和P 在下方两种情况，进而结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理进行分析计算即可得出线段CE 的长．
【详解】
解：如图，P 在上方时，连接PD ，PO 交AD 于点F ,PE 交AD 于点G ,
∵矩形ABCD 的周长为28（AB ＜BC ），对角线长为10，
∴100,AB BC +=
解得6,8,AB BC ==
∵OP ⊥BD ，90,BAD DOP FDO ADB ︒∠=∠=∠=∠,
∴ODF ADB ,OD OF DF AD AB BD
==, ∵6,8,AB AD BC ===152OD BD ==, ∴5
8610OF DF ==, 得1525,44
OF DF ==, ∴5
4PF OP OF =-=,
∵PE ⊥BC ，90,PGF DOP PFG DFO ︒∠=∠=∠=∠,
∴,PFG DFO ∴5
4,,2554
PG PF PG DO DF ==
得1PG =，
∵PD
∴7CE DG ==
; 如图，P 在下方时，连接BP ，OP 交BC 于点H ,
同理得1
PE=,BP=
∴7
BE=,
∴871
=-=-=.
CE BC BE
综上得线段CE的长为1或7．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理和矩形的性质，熟练掌握相关知识求解是解题的关键.。