广西省宾阳县宾阳中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

宾阳中学2016年秋学期期考高二数学理科试题
一．选择题（每题5分，共60分）
1..设集合2
34031{|},{|||}M x x x N x x =--≤=-<，则M N ⋂=（ ） （A ）24(,) （B ）24(,] （C ）24[,] （D ）14(,]- 2.下列命题中为真命题的是（ ） （A ）若0x ≠，则12x x
+
≥ （B ）命题：若2
1x =，则x =1或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则2
1x ≠ （C ）“a =1”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件 （D ）若命题P ：2
10,x R x x ∃∈-+<，则2
10:,P x R x x ⌝
∀∈-+>
3. 在ABC ∆中，260,AC BC B =
==︒，则BC 边上的高为（ ）
（A （B （C （D 4. 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =（ ） （A ）58 （B ） 88 （C ）143 （D ）176 5. .若00,a b >>，且0ln()a b +=，则
11
a b
+的最小值是（ ） （A ）
1
4
（B ）1 （C ） 4 （D ）8 6.已知c b a CD c b a BC c b a AB +-=+-=-+-=,333,222，则直线AD 与BC （ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）重合 （D ）平行或重合
7.已知动点P 在曲线2
20x y -=上移动，则点01(,)A -与点P 连线中点的轨迹方程是（ ）
（A ）2
2y x = （B ）2
8y x = （C ）2142y x =+
（D ）2
142
y x =-
8.已知双曲线22
22100(,)x y a b a b
-=>>
的离心率2]e ∈，则一条渐近线与实轴所成角
的取值范围是（ ） （A ）64[
,]ππ
（B ）63[,]ππ （C ）43[,]ππ （D ）32
[,]ππ
9.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点0(2,)M y ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）
（A ）
（B ）
（C.）4 （D ）
10.已知椭圆E ：22
2210()x y a b a b
+=>>的右焦点为F （3,0），过点F 的直线交椭圆于A 、B
两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则E 的方程为（ ）
（A ）
2214536x y += （B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）22
1189
x y += 11.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） （A ）
23
（B
（C
（D ）13
12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b
-=>>的离心率为2，若抛物线()
2
2:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ） （A ）216x y = （B ）2
8x y = （C
）2
3x y = （D
）23
x y = 二．填空题（每题5分，共20分）
13. 若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，
，则z x y =+的最大值为____________．
14.已知12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M 、N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为______________.
15. 已知直线150:l x y -+=和240:l x +=，抛物线2
16:C y x =，P 是C 上一动点，则P 到1l 与2l 距离之和的最小值为________________..
16.双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，
12,F F 为C 的焦点，A 为双曲线上一点，若122||||F A F A =，则21cos AF F ∠=_____________. 三．解答题
17. （本小题满分10分）已知函数212()log (||||)f x x x m =++-- （1）当5m =时，求函数()f x 的定义域
（2）若关于x 的不等式1()f x ≥的解集为R ，求m 的取值范围
18. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12323,,S S S 成等差数列，且44027
S =
（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求证：32
n S <
19. （本小题满分12分）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，已知
0cos (cos )cos C A A B +-=.
（1）求角B 的大小;
（2）若1a c +=,求b 的取值范围
20. （本小题满分12分）已知抛物线方程为2
2y x =，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OA OB ⊥，求直线l 的方程
21.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2
π
∠BA =
，
C 1AB =B =，
D 2A =，
E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起
到1∆A BE 的位置，如图2．
（1）证明：CD ⊥平面1C A O ；
（2）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．
22.（本小题满分12分）如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1
=2
e ,直
线l 的方程为=4x .
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记
,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得321k k k λ=+？若存在
求λ的值;若不存在,说明理由.
宾阳中学2016年秋学期期考高二数学理科参考答案
一．选择题（每题5分，共60分）
ABCBC CDCBD AA
二．填空题（每题5分，共20分） 13．
3
2
14. 1
15.
2
16. 三．解答题（共70分）
17. （本题满分10分）解：（1）由题意知，1250||||x x ++-->，则有
21250x x x ≥⎧⎨
++-->⎩或12
1250x x x -<<⎧⎨+-+->⎩
或11250x x x ≤-⎧⎨---+->⎩ 解得2x <-或3x >
所以函数的定义域为23(,)(,)-∞-⋃+∞ （5分）
（2）由对数函数的性质知221212()log (||||)log f x x x m =++--≥= 所以不等式1()f x ≥等价于不等式122||||x x m ++->+ 因为当x R ∈时，恒有12123|||||()()|x x x x ++-≥+--= 所以23m +≤ 解得1m ≤，故的取值范围是1(,]-∞ （10分）
18. （本题满分12分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12323,,S S S 成等差数列 所以21343S S S =+ 即12112343()()a a a a a a +=+++ 所以233a a =
所以3213a q a == 又44027S =即41140127()a q q -=- 解得11a = 所以1
13
()n n a -= （6分） （2）证明：由（1）得1111313311123213
()()[()]n
n
n n a q S q --===-<-- （12分）
19. （本题满分12分）解：设直线l 的方程为2y kx =+，
由222
y x y kx ⎧=⎨=+⎩消去x 得2240ky y -+= （3分）
因为直线l 与抛物线相交，所以01
4160
4k k k ≠⎧⇒<⎨∆=->⎩且0k ≠ （6分）
设1122(,),(,)A x y B x y ，则124
y y k
= 从而 2212122422y y x x k =
⋅= （9分） 因为OA OB ⊥，所以12120x x y y += 即
244
0k k
+=解得1k =-符合题意 所以直线l 的方程为2y x =-+ (12分)
20.（本题满分12分） 解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=
即有sin sin cos 0A B A B =
因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3
B π
=
. （6分）
(2)由余弦定理,有2
2
2
2cos b a c ac B =+-.
因为11,cos 2a c B +==
,有2
2113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2
114b ≤<,即有112
b ≤<. （12分）
21. （本题满分12分）解：（1）在图1中，因为AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，
2
BAD π
∠=，
所以BE AC ⊥即在图2中，1,BE OA BE OC ⊥⊥ 又1OA OC O ⋂= 所以BE ⊥平面1A OC 又//CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC （5分）
(2)由已知，平面1A BE ⊥平面CD B E ，又由（I ）知，
1OA BE ⊥，C BE ⊥O
所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2
A π
∠=.
如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为11B=E=BC=ED=1A A ，//BC ED
所以1E(A B -
得)0,0,2(),2
2,22,0(),0,22,22(1-==-=-
=A ， 设平面1A BC 的法向量为),,(111z y x n =，平面1A CD 的法向量为),,(222z y x m =，平面
1A BC 与平面1A CD 的夹角为θ，则
⎩⎨
⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001
1111z y y x C A n 取)1,1,1(=n ⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0000
22
21z y x C A m 取)1,1,0(= 从而3
6
2
32|cos |cos =
⋅=
>⋅<=θ 即平面1A BC 与平面1A CD
分) 22. （本题满分12分）解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,22
1914a b += ① 依题设知2a c =,则2
2
3b c = ②
②代入①解得2
2
2
1,4,3c a b ===. 故椭圆C 的方程为22
143
x y +=. （5分） (2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③
代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222
(43)84(3)0k x k x k +-+-=,
设1122(,),(,)A x y B x y ,则有
2212122284(3)
,4343
k k x x x x k k -+==++ ④
在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .
从而1212312333
31222,,11412
y y k k k k k x x -
--
====----.
因为,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有
121211
y y
k x x ==--. 所以12121212121233
31122()1111212
y y y y k k x x x x x x -
-+=
+=+-+------ 12121223
22()1
x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤
④代入⑤得2
212222
2823432214(3)
8214343
k k k k k k k k k k -++=-⋅
=---+++, 又31
2
k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意. （12分）
方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:0
0(1)1
y y x x =
--, 令4x =,求得0
03(4,
)1
y M x -, 从而直线PM 的斜率为003021
2(1)
y x k x -+=
-,
联立00
22(1)114
3y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0
000583(,)2525x y A x x ---, 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=
-,直线PB 的斜率为:02023
2(1)
y k x -=-,
所以00000123000225232122(1)2(1)1
y x y y x k k k x x x -+--++=
+==---,
故存在常数2λ=符合题意.。