福建省福州八中2014届高三数学毕业班第三次质检考试试题 文 新人教A版

某某八中2014届高三毕业班第三次质检考试数学（文）试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2013.11.4
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（ 每小题5分，共60分. 在给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项符合题目要求，在答题纸的相应区域内作答） 1. 函数)13lg(13)(2
++-=
x x
x x f 的定义域是
A ．),31(+∞-
B ． )1,31(-
C ． )31,31(-
D ． )3
1
,(--∞
2.“4
πθ=
”是“
sin 21θ=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若a ，b 是任意实数，且b a >，则
A ．2
2b a >B ．1<a b C ．()0>-b a lg D ．b
a
⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121
4. 设向量=→a (1,0)a =,=→b 11(,)22
b =,则下列结论中正确的是
A ．→→=b a
B ．2
2
=⋅→→b a
C ．→
→
-b a 与→
b 垂直 D ．→
→
b a // 5.“m=
2
1
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．.必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 6．若方程()02=-x f 在()0,∞-内有解，则()x f y =的图象是
7．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，下列命题中是真命题的是 A. A 中不同元素必有不同的象 B. B 中每个元素在A 中必有原象
C. A 中每一个元素在B 中必有象
D. B 中每一个元素在A 中的原象唯一 8. 设曲线2y ax =在点(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则a = A ．-1B ．12C ．12
-D ．1
9.函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
10. 1
sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值等于
A. 59-
B. 79-
C.
D.
11. 已知函数()|lg |f x x =,若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值X 围是 A.(1,)+∞ B. [1,)+∞ C. (2,)+∞ D.[)+∞,2
12. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为2
3
,双曲线12222=-y x 的渐近
线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为
A ．12822=+y x
B ．161222=+y x
C ．141622=+y x
D ．15
202
2=+y x
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．
13．计算：
=+-i
i
21____________. 14．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若4,184==S S ， 则=+++16151413a a a a __________．
15.已知a ∈[－1,1]，不等式x 2
＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围 为
16. 对于函数 ①f(x)=lg(|x -2|+1), ②f(x)=(x -2)2
, ③f(x)=cos(x+2), 判断如下三个命题的真假：
命题甲：f(x+2)是偶函数；
命题乙：f(x)在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数； 命题丙：f(x+2)-f(x)在（-∞，+∞）上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 _________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面
内的两个测点C 与D ．测得 0
3030BDC CD ∠==，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为
060,（1）若测得015BCD ∠=，求塔高AB ；（2）若BCD ∠=，θ且15105︒<θ<︒，求AB
的X 围.
18．（本小题满分12）
已知各项不为零数列{a n }满足a 1＝2
3
，且对任意的正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，求：（1）
a n a 1n 的值；（2）20142012201042
2014201220104220132011200931a a a a a ...a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.
19．（本小题满分12分）
已知函数 ()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++． （1）求函数()f x 图象的对称中心的坐标；
（2）求函数()f x 的最大值，并求函数()f x 取得最大值时x 的值； （3）求函数()f x 的单调递增区间．
20. （本小题满分12分）
过点Q(-2
作圆O:x 2
+y 2
=r 2
(r>0)的切线，切点为D ，且|QD|=4.
(1)求r 的值.(2)设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM OA OB =+，
求OM 的最小值(O 为坐标原点).
21．（本小题满分12分）
设直线:54l y x =+是曲线:C 3
21()23
f x x x x m =
-++的一条切线，2()223g x ax x =+-．
（Ⅰ）求切点坐标及m 的值；
（Ⅱ）当m Z ∈时，存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立，某某数a 的取值X 围．
22．（本小题满分14分）
设()()1122,,,A x y B x y 是椭圆()222210y x a b a b +=>>的两点，11,x y m b a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
22,x y n b a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且0m n ⋅=，椭圆离心率e =2，O 为坐标原点。

（1）求椭圆方程；
（2）若存在斜率为k 的直线AB 过椭圆的焦点()0,F c （c 为半焦距），求k 的值； （3）试问AOB ∆的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。

稿 纸
某某八中2013—2014高三毕业班第三次质量检查
数学(文)试卷参考答案及评分标准
1-12 B A D C B D C D A B C D 13．
i 5
3
51- 14．27 15． (－∞，1)∪(3，＋∞) 16．②
18．解析：（1）令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，……3分
∵a n ≠0, ∴ a n ＋1／a n ＝a 1＝2
3， ……4分
可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝2
3
的等比数列 ……5分
于是a n ＝23·(23)(n －1)＝(23)n
，
即
a n
a 1n
＝1. ……7分 （2）2014
2012
2010
42
2014201220104220132011200931a a a a a ...a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+++++ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭ ()()
()
2014
2012
2
2223
3
3
...=+++ ……9分
()()()221007
2
22
133213⋅⎛⎫- ⎪
⎝⎭=
- ……11分
()21007
24135
⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭=
……12分
∴ 函数()f x 取得最大值时x 的集合是,8x x k k Z π
π⎧⎫
=+
∈⎨⎬⎩
⎭
．………9分 （3）由 2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，
得 ()388
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ ， ∴ 函数()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦． ………12分 20.【解析】(1)|QO|2
=(-2)2
+
2
21=25，……1分
由题设知，△QDO 是以D 为直角顶点的直角三角形 故有2
2
2r OD QO QD 254 3.==
--=……3分
(2)设A(a,0),B(0,b),直线l 的方程为x y 1a b +=(a>0,b>0),……5分
即直线l ：bx+ay-ab=0,且OM =(a,b),22OM a b .∴=+……7分 ∵直线l 与圆O 相切，
()222222
ab 3a b 9a b a b -∴=⇒=++……8分
又∵()222
2
2
2
2
a b 9a b a b (),2
++=≤……10分 ∴a 2+b 2
≥36,∴OM ≥6, ……10分
当且仅当a=b=32 ∴OM 取得最小值为6. ……12分
21.本题主要考查函数的单调性,最值,切线,含参数的不等式成立问题，考查运算求解的能力,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．满分12分.
（Ⅰ）解：设直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y ，
()22f x x x '=-+２,
∴0022x x -+２5=, 解得01x =-或03x =,…………………………………2分
当01x =-时，01y =-，(1,1)P --在曲线C 上，∴7
3
m =,
当03x =时，019y =，(3,19)P 在曲线C 上，∴13m =,
切点(1,1)P --，7
3
m =
， ……………………………………………4分 切点(3,19)P ， 13m =． ……………………………………………6分 (Ⅱ)解法一：∵m Z ∈，∴13m =，
设32
1()()()(1)363
h x f x g x x a x =-=-++，
若存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立，则只要min ()0h x ≤， ……………8分
[]2()2(1)2(1)h x x a x x x a '=-+=-+，
(ⅰ)若10a +≥即1a ≥-，令()0h x '>，得2(1)x 0x a >+<或， [0,)x ∈+∞，∴()h x 在(2(1),)a ++∞上是增函数，
令()0h x '≤，解得02(1)x a ≤≤+，∴()h x 在[0,2(1)]a +上是减函数， ∴min ()(2(1))h x h a =+，(2(1))0h a +≤令,
解得2a ≥，…………………………………………………………………10分 (ⅱ)若10a +<即1a <-，令()0h x '>，解得2(1)x 0x a <+>或， [0,)x ∈+∞， ∴()h x 在(0,)+∞上是增函数，
∴min ()(0),h x h =(0)0h ≤令，不等式无解，∴a 不存在，……11分 综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a 的取值X 围为[2,)+∞．………………………12分
解法二：由()()f x g x ≤得2
321363
ax x x ≥-+,
(ⅰ)当0x ≠时，213613a x x ≥+-，设2136
()13h x x x
=+-
若存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立，则只要min ()h x a ≤， ……8分
33
33
1726()33x h x x x
-'=-=， 令()0h x '≥ 解得6x ≥∴()h x 在[6)+∞上是增函数， 令()0h x '<，解得06x ∴<<∴()h x 在(0,6)上是减函数，
∴min ()(6)2h x h ==，∴2a ≥， ……………………………10分
（ⅱ）当0x =时，不等式2
321363
ax x x ≥-+ 不成立，
∴a 不存在， ……………………………………………………………11分 综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a 的取值X 围为[2,)+∞． ………………12分
22.解(1)
由,21c e a b ⎧==
⎪⎨⎪=⎩
解得2, 1.a b ==
∴
所求椭圆方程为2
2 1.4
y x +=……4分 (2)设AB
方程为
由22
14
y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩⇒(
)2410x ++-=2k
122,4x x k -+=
+12
21
4
x x k -⋅=+. ……6分 由已知
:(
12121212221
4x x y y m
n x x kx kx b a
==+=+++……8分
∴2241
30444k k +⎛⎫⋅-+= ⎪
+⎝⎭ 解得k =……9分
(3)当A 为顶点时,B 必为顶点,则AOB S 1∆=, ……10分 当A,B 不为顶点时,设AB 方程为.y=kx+m
由22
14
y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒()224240x kmx m +++-=2k 1222,4
mk
x x k -+=+2122
44m x x k -⋅=+. ……11分 又0m n =,即()()12121
04
x x kx m kx
m +++=,
知22
24m k -=, ……12分
∴AOB 12S x ∆=-
=12m
……13分
∴三角形的面积为定值1. ……14分。