最新北师大版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22
221(0,0)x y C a b a b
-=>>:相交于B 、D 两点，且
BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．
5 C ．3 D ．
6 2．直线3y x
与曲线2||
194
y x x -=的公共点的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经
Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1
F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）
A ．3:4
B ．2:3
C ．1:2
D ．24．已知点A 为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左顶点，(),0F c 为椭圆的右焦点，B 、
E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形（O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆()2
2
2
4b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF △面积的最小值大于28
b ，则椭圆C
的离心率的取值范围是（ ）
A ．102⎛- ⎝⎭
B ．102⎫
-⎪⎪
⎝⎭
C ．51⎛- ⎝⎭
D ．51⎫
-⎪⎪⎝⎭
5．双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线被圆()2
223x y -+=截得的弦长为
2，则C 的离心率为（ ）
A ．3
B ．2
C 3
D 2
6．过抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若3AB =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒
B ．30
C ．45︒
D ．60︒
7．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若
222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ） A ．22
1124
x y +=
B ．2211612
x y +=
C ．221128x y +=
D ．2212016
x y +=
8．已知1F ，2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线
的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ） A ．2±
B 3
C ．6
D ．7
9．顶点在原点，经过点()
3,6-，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ） A ．23y x =或2
12
=-x y B ．2123y x =-或2
12
=-x y C ．23y x =或212x y =
D ．2123y x =-或2
12
x y =
10．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =，
3k ∈⎣与双曲线C 交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值
范围是（ ）
A ．()1,2
B ．)
2
C ．1⎤⎦
D ．(
1⎤⎦
11．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，点P 在双曲线的右支
上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]
B ．5
(1,]3
C ．[2,)+∞
D ．4[,)3
+∞
12．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（ ） A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
二、填空题
13．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________. 14．方程
1169
x x y y
+=表示的曲线为函数()y f x =的图象.对于函数()y f x =，现有如下结论：①函数()y f x =的值域是R ；②()y f x =在R 上单调递减；③()y f x =的图象不经过第三象限；④直线340x y +=与曲线()y f x =没有交点.其中正确的结论是___________.
15．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左右两支分
别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___________.(用区间表示)
16．直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积
为1-，以线段AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点，()6,0M ，则2
2
MP MQ +的最小值为______．
17．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线与圆(2
24x y +-=相交
于A ，B 两点，且2AB =，则双曲线C 的离心率为___________.
18．若实数x ，y 10=，则
+________．
19．已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一
象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.
20．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若
AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦，则该椭圆离心率的最大值为______． 三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2
:20C x py p =>，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线相交于M ､N 两点.
（1）若l 与y 轴垂直，且OMN 的周长为425+，求抛物线C 的方程； （2）在第一问的条件下，过点()1,2P 作直线m 与抛物线C 交于点A ，B ，若点P 是
AB 的中点，求直线m 的方程.
22．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 交C 于M ，N
两点，当MN 与x 轴垂直时，MNF 的周长为9. （1）求C 的方程：
（2）在x 轴上是否存在点P ，使得OPM OPN ∠=∠恒成立(O 为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由.
23．已知圆22:4C x y +=，点P 为圆C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设D 为PQ 的中点，且D 的轨迹为曲线E (PQD 三点可重合). （1）求曲线E 的方程；
（2）不过原点的直线l 与曲线E 交于M ､N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率1k ､k ､2k 成等比数列，记以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，试探究12S S +是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.
24．已知椭圆22
22:1x y C a b +=的左右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，椭圆C 上不同于
12,A A 的任意一点P ，直线1PA 和2PA 的斜率之积为3
4
-
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆内一点(,0)(0)M m m ≠，作一条不垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，点
Q 和点B 关于x 轴对称，直线AQ 交x 轴于点(,0)N n ，证明：m n ⋅为定值．
25．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长为4，焦距为23，点P 为椭圆C 上一
动点，且直线,AP BP 的斜率之积为1
4
-
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设,A B 分别是椭圆C 的左右顶点，若点,M N 是C 上不同于,A B 的两点，且满
//,//AP OM BP ON ，求证：MON △的面积为定值．
26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2
2
，过左顶点与上顶点的直线与圆
224
3
x y +=
相切. （1）求椭圆C 的方程﹔ （2）已知斜率为k 的直线l 在y 轴上的截距为()
0m m b <<，l 与椭圆交于,A B 两点，是否存在实数k 使得2
OA OB k k k ⋅=成立?若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】
设()()1122,,B x y D x y 、,则22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：2222
121222
0x x y y a b
---=， 整理得：()()
()()
2121221212y y y y b a x x x x +-=+-
BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611
262
b a =⨯=
即2221
2
c a a -=，解得62
c
e
a . 故选：D 【点睛】
求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．
2．C
解析：C 【分析】
由于已知曲线函数中含有绝对值符号， 将x 以0为分界进行分类讨论，当x ≥0时，曲线为焦点在y 轴上的双曲线，当x <0时，曲线为焦点在y 轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数. 【详解】
当0x ≥时，曲线2194x x
y -=的方程为22194y x -=
当0x <时，曲线2194
x x
y -=的方程为22194y x +=，
∴曲线2194
x x
y -=的图象如图，
在同一坐标系中作出直线3y x
的图象，
可得直线与曲线交点个数为3个．
故选：C 【点晴】
本题讨论曲线类型再利用数形结合法求交点个数是解题的关键．
3．A
解析：A 【分析】
设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为
12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出124
3
a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】
设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为
12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为
111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，
所以，1148a vt =，可得112a vt =，
在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得
1212BF BF a +=， 22AF BF AB =-，则
2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，
即()
111222a AB AF BF a -++=，
由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即
11
2111322222
a a a a vt a =-=-
=，
所以，
1243
a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112
:::3:4c c
e e a a a a ===. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
4．B
解析：B 【分析】
结合题意先计算直线AE 的表达式，然后运用点到直线的距离计算圆心F 到直线AE 的距离，求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式，继而计算出椭圆离心率的取值范围. 【详解】
因为四边形OABE 是平行四边形，所以//BE AO ，且BE AO a ==，又因为点B 、E
关于y 轴对称，所以0,2a E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程得22
2214y a a b
+=
，解得
0y =±
，故2a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，(),0A a -
，所以()2:32
AE l y x a a =+
，即30ay -=，故min PF 即为F 到直线AE 的距离，
d
=
，此时
PQ ==
故2112228
PQF
b b S
PQ R =⋅=⋅>，化简得2212d b >，故
()2
222231392
b a
c b b a +>+，即()()2
22231239a c a c a +>-+，整理得22222142a ac c a c ++>-，分子分母同除以2
a ，得22
12142e e e ++>-，即2
3420e e
+->，所以e <舍去)或
e >a c >，所以1e <
，所以e ⎫∈⎪⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式进行求解，有一定的计算量，需要把基础知识掌握牢固.
5．D
解析：D 【分析】
设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b
k a
=±
，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k
的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】
设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a
=±
， 圆()2
223x y -+=的圆心坐标为()2,0
，半径为r =
圆心到直线y kx =
的距离为d =
另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，
可得d =
=
=，解得1k =±，1b
a
∴
=， 因此，双曲线C
的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率
e 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
6．D
解析：D 【分析】
设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2
y k x π
=-
，1122(,),(,)A x y B x y ，
代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++， 求出AB 中点N 的坐标，写出MN
的方程，由MN =
MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．
【详解】 由题意(
,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2
y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，
由22()
2y px
p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
得22222(2)04k p k x p k x -++
=， 2122
(2)p k x x k ++=
，2
124p x x =， 221222
(2)2(1)
++=++=+=
p k p k AB x x p p k k ， 2122(2)22N x x p k x k ++==，2
2
()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N k
k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线MN 的方程为1
()N N y y x x k
-=-
-，
MN ==
23(12p k k +=，
∵AB =，
∴222(1)p k k += 整理得23k =，∵0k >，
∴k =∴倾斜角为60︒．
故选：D ． 【点睛】
本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．
7．C
解析：C 【分析】
根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程． 【详解】
22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=， 又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴
=， 又12||||2BF BF a +=，2||2
a
BF ∴=， 2||AF a ∴=，13
||2
BF a =
， 12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．
在Rt
2AF O 中，22
cos AF O a
∠=，
在12BF F △中，由余弦定理可得22
221316()()822cos 2242
a a a BF F a a +--∠==⨯⨯
． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得2
2802a a a -+=，解得212a =．
2221248b a c =-=-=．
椭圆C 的方程为：22
1128
x y +=．
故选：C ． 【点睛】
方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在
x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22
221x y b a
+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
8．C
【分析】
利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得
c
a
的值，利用公式2
1⎛⎫=- ⎪⎝⎭
b c a a 可求得该双曲线的渐近线的斜率. 【详解】
2ABF 为等边三角形，
22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒，
由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，
212AF AF a -=，
24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，
由余弦定理可得22
12121222cos12027F F c AF AF AF AF a ==
+-⋅︒=，
即7c a =，所以22222216b b c a c a a a a -⎛⎫===-= ⎪⎝⎭
． 因此，该双曲线的渐近线的斜率为6±． 故选：C.
【点睛】
思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：
（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线b
y x a
=±，焦点在y 轴时渐近线a
y x b
=±
； （2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建c
a
的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可.
9．D
【分析】
设出抛物线方程为2
2y mx =或2
2x ny =，代入点的坐标求出参数值可得．
【详解】
设抛物线方程为2
2y mx =
，则262(m =⋅
，m =-
2y =-， 或设方程为2
2x ny =
，则2(26n =⨯，14n =，方程为2
12
x y =．
所以抛物线方程为2y =-或2
12
x y =． 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：抛物线的标准方程有四种形式，在不确定焦点位置（或开口方向时），需要分类讨论．象本题在抛物线过一点的坐标，则需要考虑焦点在x 轴和y 轴两种情况，焦点在x 轴上时可以直接设方程为2
y mx =，代入点的坐标求出参数值，不必考虑焦点是在x
轴正半轴还是在负半轴，焦点在y 轴也类似求解．
10．C
解析：C 【分析】
根据题意，得到()1,0F c -，设(),M x y ，则(),N x y --，由11MF NF ⊥，求出
2220x y c +-=与双曲线联立，求出()
222
2242242222a c a x c c a c a y c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩
，再由2221,33y k x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，列出
不等式求解，即可得出结果 【详解】
因为点1F 为双曲线()22
22:10,0x y
C a b a b
-=>>的左焦点，则()1,0F c -，
设(),M x y ，由题意有(),N x y --，则()1,MF c x y =---，()1,NF c x y =-+，
又11MF NF ⊥，所以()()2110MF NF c x c x y ⋅=---+-=，则222
0x y c +-=，
又(),M x y 在双曲线上，所以22
221x y a b
-=，
由22
222222221
x y a b x y c c a b ⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解得()
222
224224
2222a c a x c c a c a
y c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，
又M 在直线y kx =
上，k ∈⎣， 所以()42244242222222
22212111,33212c a c a e e e e e a c a y k x -+-+---⎡⎤
====-∈⎢⎥⎣⎦
， 即424
24
213
4
21
e e e e ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≤⎪-⎩，整理得42423840840e e e e ⎧-+≥⎨-+≤⎩，
解得224e ≤≤+
22
43
e -≤
（舍，因为双曲线离心率大于1），
1e ≤， 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的标准方程，解决本题的关键点是把
11MF NF ⊥转化为向量数量积的坐标表示，求出点M 的轨迹方程，结合点在双曲线上，
求出点的坐标，代入斜率公式求出离心率的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
11．A
解析：A 【分析】
根据题中条件，由双曲线的定义，得到2PF a =，13PF a =，根据1212+≥PF PF F F ，即可求出结果. 【详解】
因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又213PF PF =，所以222PF a =，即2PF a =，则13PF a =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ，
即42a c ≥，则
2c
a
≤，即2e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以12e <≤. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可.
12．D
解析：D 【分析】
直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定． 【详解】
由22
14
y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，
1k =时，5
2x =
，方程组只有一解；1k
=-时，52
x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22
420(1)0k k ∆=+-=，5
2
k =±
，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．
二、填空题
13．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由 解析：3640x y ++=
【分析】
先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】
(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，
设过点(2,2)A 与圆2
2
(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即
220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2
202211
k k
d k -+-=
=+，解得
3k =±，如图，直线():232AB y x -=-，直线():232AC y x -=--.
联立)2
222y x y x
⎧-=-⎪⎨
=⎪⎩
，得(
)
2
314160x x ++-=，
故A B x x =
，由2A x =
得B x =
，故B y =
联立)2222y x y x
⎧-=-⎪⎨=⎪⎩
，得(
)
2
314160x x -++=，
故163A C x x +=
，由2A x =
得83C x +=
，故6
3C y -=，
故66
433
B C y y -+=
+=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为
22221
114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=
====-
-+--，
故直线BC
的方程为618323y x ⎛--
=-- ⎝⎭
，即3640x y ++=. 故答案为：3640x y ++=
14．①②③④【分析】根据方程分别讨论和四种情况得到不同的解析式画出对应的图象即可得答案【详解】当时方程为表示椭圆在第一象限的部分当时方程为表示双曲线在第四象限的部分当时方程为表示双曲线在第二象限的部分当
解析：①②③④ 【分析】
根据方程，分别讨论0,0x y ≥≥、0,0x y ><、0,0x y <>和0,0x y <<四种情况，得到不同的解析式，画出对应的图象，即可得答案. 【详解】
当0,0x y ≥≥时，方程为22
1169
x y +=，表示椭圆在第一象限的部分，
当0,0x y ><时，方程为22
1169
x y -
=，表示双曲线在第四象限的部分， 当0,0x y <>时，方程为221916
y x
-=，表示双曲线在第二象限的部分，
当0,0x y <<时，方程为22
1916
y x --=，无意义，
所以()y f x =图象如下所示：
所以函数()y f x =的值域是R ；故①正确；
()y f x =在R 上单调递减，故②正确； ()y f x =的图象不经过第三象限，故③正确；
直线340x y +=为双曲线的渐近线，所以曲线()y f x =没有交点，故④正确. 故答案为：①②③④ 【点睛】
解题的关键是根据题意，分类讨论，得到不同的解析式，再画图求解，考查分类讨论，数形结合的能力，属基础题.
15．【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系再利用求得离心率范围即可【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点且一条渐近线的斜率为若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交则则离心率故答案 解析：
)
10,+∞
【分析】
根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系，再利用22
1b
e a
=+求得离心率范围即可. 【详解】
过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，且一条渐近线的斜率为b a
， 若斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别相交，则
3b
a
>， 则离心率222
2
2110c a b b e a a a
+===+>. 故答案为：)
10,+∞.
【点睛】
求双曲线离心率常见方法：
（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率c
e a
=
；
（2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b c a =-和c
e a
=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.
16．【分析】设直线与抛物线联立方程得韦达定理与代入直线与抛物线表示出与然后根据利用数量积代入求解出从而表示出圆心的坐标根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和代入列式利用二次函数的性质求解最小值【详解 解析：10
【分析】
设直线AB ，与抛物线联立方程，得韦达定理12y y +与12y y ⋅，代入直线与抛物线表示出
12x x +与12x x ⋅，然后根据OA OB ⊥，利用数量积代入求解出4t =，从而表示出圆心的
坐标，根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和，代入列式，利用二次函数的性质求解最小值. 【详解】
设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由24y x x my t
⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，所以()()()22444160m t t m ∆=--=+>， 得124y y m +=，12
4y y t ，
所以()2
1212242x x m y y t m t +=++=+，22212
1216
y y x x t ⋅==，
因为直线OA 、OB 的斜率之积为1-，所以OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，
所以2
121240x x y y t t +=-=，所以4t =，
所以直线AB 的方程为4x my =+，2
1248x x m +=+，
从而圆心为()
2
24,2O m m +'，
由平行四边形的四边平方和等于对角线平方和（用向量法易证），得
(
)(2
22
2
22
244MP MQ
MO PQ MO '
'+=+=+
()()2
2
2242
2144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭， 所以2
2
2
218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝
⎭，
所以当2
m =±
时，22MP MQ +的最小值为10． 故答案为：10 【点睛】
解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、向量的数量积、三角形的面积等问题．
17．2【分析】由双曲线圆的方程确定渐近线方程为圆心为半径为根据圆的相交弦与半径弦心距之间的几何关系有结合双曲线参数间的关系即可求其离心率【详解】由题意知：双曲线的渐近线为而圆心为半径为∴圆心到渐近线的距
解析：2 【分析】
由双曲线、圆的方程确定渐近线方程为b
y x a
=±
，圆心为(0,，半径为2r ，根据
圆的相交弦与半径、弦心距之间的几何关系有2
2
2
||4
AB r d -=，结合双曲线参数间的关
系即可求其离心率. 【详解】
由题意知：双曲线的渐近线为b
y x a
=±
，而圆心为(0,，半径为2r ，
∴
圆心到渐近线的距离
d =
=
，而2AB =，
∴2
2
1r d -=，故222
123a a b
=+，又222
,1c a b c e a +==>， ∴2e =. 故答案为：2. 【点睛】
关键点点睛：根据双曲线、圆的标准方程确定渐近线方程、圆心、半径长，结合圆中相交弦的几何性质及双曲线参数关系，列出关于,a c 的齐次方程求离心率.
18．【分析】由已知条件得出点P 在以为焦点以为长轴长的椭圆上再由两点的距离公式得出表示点到点的距离之和再根据椭圆的定义将问题转化为求的范围根据两点的距离公式可求得范围【详解】设点则由椭圆的定义得点P 在以为
解析：[10-+
【分析】
由已知条件得出点P 在以()()120
303F F -，，，为焦点，以10为长轴长的椭圆上，再由两
+
(),P x y 到点()()
11,00,3A F ，的距离之和，再根据椭圆的定义将问题转化为求210+d PA PF =-的范围，根据两点的距离公式可求得范围．
【详解】
设点(),P x y ，则由椭圆的定义得点P 在以()()120
303F F -，，，为焦点，以10为长轴长的椭圆上，所在椭圆的方程为：22
+11625
x y =，
而2222(1)(3)x y x y -++
+-表示点(),P x y 到点()()11,00,3A F ，的距离之和，即
1+d PA PF =，
由椭圆的定义得12+210PF PF a ==，所以1210PF
PF =-，所以()122++1010+d PA PF PA PF PA PF ==-=-，
而222AF PA PF AF -≤-≤，又2221310AF =+=，所以
2101010+10+10d PA PF -≤=-≤，
所以2222(1)(3)x y x y -++
+-的取值范围为[1010,1010]-+，
故答案为：[1010,1010]-+． 【点睛】
关键点点睛：本题考查根式的最值和范围求解问题，解决的关键在于利用椭圆的定义得出动点的轨迹，将问题转化为求两线段的距离之差的范围．
19．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故 解析：3
【分析】
由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且
22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.
【详解】
令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且22
00221x y a b
-=①，
由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：2
0||()a PF e x c
=+，
2
0||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，
∴22003()a a x x c c +=-，解得2
02a x c
=
②， ∵||OP b =知：222
00x y b +=，
∴联立①，②得：42
222244(1)a a b b c c
+-=，整理得223a c =，
∴e =
【点睛】
关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比
为常数e ，可得点P 的横坐标为2
2a
c
；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次
方程求离心率即可.
20．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且O 是直角三角形斜边的中点所以离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以B 也在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以O 是直角三角形斜边的中
【分析】
设左焦点为F '，根据椭圆的定义有，||||2AF BF a +=，且O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===
，离心率
11
sin cos 4c a παα
α==+⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭，由角的范围可求得离心率的最大值. 【详解】
因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：
||2AF AF a '+=，
又因为||BF AF '
=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以
||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，
所以2(sin cos )2c a αα+=
，所以1
1
sin cos 4c a παα
α==
+⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭，
由于,124ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，所以当12πα=
时，离心率的最大值为：3
,
. 【点睛】
关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于,,a b c 的等式或不等式.
三、解答题
21．（1）24x y =；（2）230x y -+=. 【分析】 （1）将将2
p
y =
代入抛物线C 的方程可求得,M N 坐标，得,,MN OM ON ，由OMN 的周长参数p ，得抛物线方程；
（2）设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
2
2,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由,A B 坐标表示出直线斜率，结合中点坐标即得直线斜率，得直线方程． 【详解】
解：（1）由题意，焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将
2p y =代入抛物线C 的方程可求得,2p M p ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，,2p N p ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴2MN p =
，2OM ON p ==
=，
所以QMN
的周长为24p +=+2p =，故抛物线方程为2
4x y =.
（2）设点2
11,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22
2,4x B x ⎛⎫
⎪⎝⎭，直线m 的斜率为22
12
121244
x x x x x x -+=-， 由条件
1212
x x +=，故直线m 的斜率为1
2， 从而直线m 的方程为230x y -+=.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求抛物线方程，求中点弦所在直线方程．已知弦中点坐标，一般设弦两端点坐标为1122(,),(,)x y x y 代入圆锥曲线方程相减即可得中点坐标与直线斜率关系．这称为“点差法”．
22．（1）22y x =；（2）存在，P 点坐标为()2,0-.
【分析】
（1）利用焦半径公式表示||||MF NF =，代入坐标2x =，求MN 的长度，并表示
MNF 的周长，求p ；（2）假设存在点()0,0P x ，设:2l x my =+，与抛物线方程联
立，利用根与系数的关系表示0MP NP k k +=，求定点0x 的值. 【详解】
（1）当MN 与x 轴垂直时，||||22
p
MF NF ==+
，||MN =，
从而有49p ++= 解得1p =，
所以C 的方程为2
2y x =；
（2）设()0,0P x ，()11,M x y ，()22,N x y ，由题可知直线l 斜率不为零，设
:2l x my =+，
代入抛物线方程22y x =消去x ，得2
240y my --=，从而122y y m +=，124y y =-，
①
由OPM OPN ∠=∠可得0MP NP k k +=， 而
121020MP NP y y k k x x x x +=
+--12
1020
22y y my x my x =+
+-+-()()
()()
1201210202222my y x y y my x my x +-+=
+-+-
将①代入，从而得
()()
102042022m mx my x my x --=+-+-恒成立，所以02x =-， 因此存在点P 满足题意，P 点坐标为()2,0-. 【点睛】
思路点睛：定点问题解决步骤：
（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； （2）韦达定理列出两根和及两根积；
（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； （4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.
23．（1）2
214
x y +=；（2）12S S +是否为定值，为
54π．证明过程见解析． 【分析】
（1）设(,)D x y ，用,x y 表示出P 点坐标，代入圆的方程即可得；
（2）设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，直线方程代入椭圆方程，
应用韦达定理得1212,x x x x +，利用率1k ､k ､2k 成等比数列，得2
12
1212
y y k k k x x ==
可计算出21
4
k =
，然后计算12S S +可得证． 【详解】
（1）设(,)D x y ，则有(,2)P x y ，又P 在已知不上，∴22
44x y +=，
所以曲线E 的方程为2
214
x y +=；
（2）设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，
由22
14y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222
(14)8440k x ktx t +++-=，2222644(14)(44)0k t k t ∆=-+->，
∴122814kt x x k +=-+，2122
44
14t x x k -=+，
111
y k x =
，222y k x =，∵1k ､k ､2k 成等比数列，∴2121212y y k k k x x ==，
∴222
1212121212
()()()kx t kx t k x x kt x x t k x x x x +++++==，2
12()0kt x x t ++=，
又0t ≠，∴12()0k x x t ++=，228014k t
t k
-+=+，解得12k =±． 1228414kt x x kt k +=-=-+，22
122
442214t x x t k
-==-+， 22
222222121212()2162(22)4444x x x x x x k t t t t +=+-=--=-+=，
22
222222121122()()2244OM ON S S OM ON x y x y ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+=+++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 222222222
211221212124()()4()2()2x y x y kx t kx t k x x kt x x t +++=++++=+++++
222244825k k t t =+-+=，
∴1254
S S π
+=为定值． 【点睛】
关键点点睛：本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．解题方法是设而不求的思想方法，设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，再利用题中其他条件求出参数满足的结论，并计算12S S +．
24．（1）22
143
x y +=；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题中所给的条件，设出椭圆的上顶点坐标，(0,)P b ，根据
12
2344
PA PA b k k ⋅==--，求得23b =，得到椭圆的方程； （2）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理，证得结果. 【详解】
（1）由题可知：2a =， 令12
23
(0,),
44
PA PA b P b k k ⋅==--，所以23b =， 所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=
（2）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-，
联立223412()
x y y k x m ⎧+=⎨=-⎩，消y 得：()
22222
3484120k x mk x k m +-+-=
设()()1122,,,A x y B x y ，根据韦达定理得：222121222
8412
,3434mk k m x x x x k k -+==
++ 直线()12
1112
:y y AQ y y x x x x +-=
--， 令0y =，则()1121112111211212
y x x y x y x x y x y
n x x y y y y ---+++==
+=++
()()()()()222
2212211212121221212122
412822343482234k m mk m k x m x k x m x x x m x x y x x y k k mk y y k x m k x m x x m
m k
---+--++++====
+-+-+--+
()2222
22
241282448686m k m k mk m mk m m
---=
=
=---
所以4
4m n m m
⋅=⋅=（定值）. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，解题思路如下：
（1）根据椭圆上的点与顶点连线斜率乘积为定值，得到相应参数所满足的条件，求得椭圆方程；
（2）根据题意，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用题意，求得其坐标，结合韦达定理证得结果.
25．（1）2
214
x y +=；（2）定值为1，证明见解析
【分析】
（1）根据题意可得2a =
，c =
222a b c =+即可求解.
（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，且直线MN 的方程为：x my t =+，由题意可得
1
4
OM ON k k ⋅=-，联立直线MN 和椭圆方程，利用韦达定理可得2224t m =+，再由
121
||||2S t y y =-，化简整理即可求解.
【详解】
（1）由题意可得
222242a c a b c =⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
解得1b =，∴椭圆C 的标准方程为2214
x
y +=
（2）证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，直线MN 的方程为：x my t =+ 由1
//,//,,4AP BP AP OM BP ON k k ⋅=-得14
OM ON k k ⋅=- 即
121214
y y x x ⋅=-， 联立直线MN 和椭圆方程：22
14
x my t
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩， 整理得：2
2
2
(4)240m y mty t +++-=
由韦达定理可得：212122224
,44mt t y y y y m m -+=-=
++ 又22
12122
44()()4t m x x my t my t m
-=++=+ 代入121214
y y x x ⋅=-，可得2224t m =+， MON ∴△
的面积
1211|||||22S t y y t =-=
1===，
MON ∴△的面积为定值1．
【点睛】。