2019-2020学年天津市滨海新区九年级(上)期中数学试卷(原卷+解析版)

2019-2020学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）二次函数2(1)y x =+与x 轴交点坐标为( ) A ．(1,0)-
B ．(1,0)
C ．(0,1)-
D ．(0,1)
2．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）如图，在等腰直角ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆绕顶点A 逆时针旋转80︒后得到△AB C ''，则CAB ∠'的度数为( )
A ．45︒
B ．80︒
C ．125︒
D ．130︒
4．（3分）将二次函数223y x x =-+化为2()y x m h =++的形式，结果为( ) A ．2(1)4y x =-+ B ．2(1)4y x =++ C ．2(1)2y x =-+ D ．2(1)2y x =++
5．（3分）如图，在矩形ABCD 中，4AD =，3DC =，将ADC ∆绕点A 按逆时针旋转到(AEF A ∆、B 、E 在同一直线上）
，连接CF ，则CF 的长为( )
A ．5
B ．32
C ．42
D ．52
6．（3分）如图，AB 为O e 的直径，C ，D 为O e 上两点，若40BCD ∠=︒，则ABD ∠的大小为( )
A ．60︒
B ．50︒
C ．40︒
D ．20︒
7．（3分）如图，AB 是O e 的弦，OC AB ⊥于点H ，若60AOC ∠=︒，1OH =，则弦AB 的长为( )
A ．23
B ．3
C ．2
D ．4
8．（3分）如图，在ABO ∆中，AB OB ⊥，3OB =，OB 在x 轴正半轴上，30AOB ∠=︒，把ABO ∆绕点O 顺时针旋转150︒后得到△11A B O ，则点A 的对应点1A 的坐标为( )
A ．(3-，1)-
B ．(1,2)--
C ．(2,1)--
D ．(1,3)--
9．（3分）如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，AB AD =，若68C ∠=︒，则ABD ∠的度数为( )
A ．34︒
B ．56︒
C ．68︒
D ．112︒
10．（3分）己知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表所示
x
⋯⋯ 1- 0 1 2 3 ⋯⋯ y
⋯⋯
2-
3
6
7
6
⋯⋯
下列说法错误的是( ) A ．函数图象开口向下 B ．抛物线的对称轴是直线2x = C ．240b ac ->
D ．当1x …时，6y …
11．（3分）如图，抛物线23(0)y ax bx a =++≠的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程
280(0)ax bx a +-=≠的一个根为4，那么该方程的另一个根为( )
A ．4-
B ．2-
C ．1
D ．3
12．（3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴为1x =，经过点(1,0)-，有下列结论：①0abc <；②a c b +>；③30a c +=；④()a b m am b +>+（其中1)m ≠其中正确的结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）把抛物线22y x =-向左平移3个单位长度所得图象的解析式是 ． 14．（3分）在半径为6cm 的圆中，长为6cm 的弦所对的圆周角的度数为 ．
15．（3分）已知点(23,2)A a b +-与点(8,32)B a b -+关于坐标原点对称，则a b += ． 16．（3分）如图，I e 是ABC ∆的内切圆，与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，若50DEF ∠=︒，则A ∠= ．
17．（3分）如图，AB 是圆O 的弦，202AB =点C 是圆O 上的一个动点，且45ACB ∠=︒，若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．
18．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边的中点，将OA 绕着点O 逆时针旋转(0180)θθ︒<<至OP ，当BCP ∆恰为轴对称图形时，θ的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，C 两点，与y 轴交于B 点，抛物线的顶点为点D ，已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(0,3)-． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标． （2）求ACD ∆的面积．
20．（8分）四边形ABCD 是正方形，ADF ∆旋转一定角度后得到ABE ∆，如图所示，如果
3AF =，7AB =，
求（1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求DE 的长度；
（3）BE 与DF 的位置关系如何？请说明理由．
21．（10分）如图，ABC ∆内接于O e ，BD 为O e 的直径，120BAC ∠=︒、OA BC ⊥、若4AB =， （1）求证：四边形OACD 为菱形． （2）求AD 的长．
22．（10分）如图，O e 的弦//AD BC ，过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，//AC DE 交
BD 于点H ，DO 及延长线分别交AC 、BC 于点G 、F ．
（1）求证：DF 垂直平分AC ； （2）求证：FC CE =；
（3）若弦5AD cm =，8AC cm =，求O e 的半径．
23．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商
品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元(x 为整数）时，月销售利润为y 元． （1）分析数量关系填表： 每台售价（元) 30 31 32 ⋯⋯ 30x +
月销售量（台)
180
170
160
⋯⋯
（2）求y 与x 之间的函数解析式和x 的取值范围
（3）当售价x （元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y （元)最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点(2A -，0)，(2B ，0)，(0,2)C ．D ，
E 分别是线段AC 和CB 上的点，CD CE =．将CDE ∆绕点C 逆时针旋转一个角度α．
（1）若090α︒<<︒，在旋转过程中当点A ，D ，E 在同一直线上时，连接AD ，BE ，如图2．求证：AD BE =，且AD BE ⊥
（2）若0360α︒<<︒，D ，E 恰好是线段AC 和CB 上的中点，在旋转过程中，当//DE AC 时，求α的值及点E 的坐标．
25．（10分）如图，抛物线23y x bx =+-过点(1,0)A ，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为2-，点P 是线段AD 上的动点． （1）b = ，抛物线的顶点坐标为 ； （2）求直线AD 的解析式；
（3）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当ADQ
∆的面积等于∆的面积的一半时，求点Q的坐标．
ABD
2019-2020学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）二次函数2(1)y x =+与x 轴交点坐标为( ) A ．(1,0)-
B ．(1,0)
C ．(0,1)-
D ．(0,1)
【分析】二次函数2(1)y x =+图象与x 轴交点横坐标就是2(1)0x +=的根，解方程即可．
【解答】解：二次函数2(1)y x =+图象与x 轴交点横坐标就是2(1)0x +=的根，
解方程2(1)0x +=，
得：121x x ==-，
∴二次函数2(1)y x =+图象与x 轴交点坐标为(1,0)-；
故选：A ．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、方程的解法；明确二次函数2(1)y x =+图象与x 轴交点横坐标就是2(1)0x +=的根是解题关键．
2．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180︒后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
3．（3分）如图，在等腰直角ABC
∆绕顶点A逆时针旋转80︒后得
∆中，90
∠=︒，将ABC
C
到△AB C''，则CAB
∠'的度数为()
A．45︒B．80︒C．125︒D．130︒
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到45
BAB
∠'=︒，
∠=︒，根据旋转的性质得到80
CAB
结合图形计算即可．
【解答】解：ABC ∆Q 是等腰直角三角形， 45CAB ∴∠=︒，
由旋转的性质可知，80BAB ∠'=︒， 125CAB CAB BAB ∴∠'=∠+∠'=︒，
故选：C ．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
4．（3分）将二次函数223y x x =-+化为2()y x m h =++的形式，结果为( ) A ．2(1)4y x =-+ B ．2(1)4y x =++ C ．2(1)2y x =-+ D ．2(1)2y x =++ 【分析】根据配方法整理即可得解． 【解答】解：223y x x =-+
2(21)2x x =-++ 2(1)2x =-+．
故选：C ．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．
5．（3分）如图，在矩形ABCD 中，4AD =，3DC =，将ADC ∆绕点A 按逆时针旋转到(AEF A ∆、B 、E 在同一直线上）
，连接CF ，则CF 的长为( )
A ．5
B ．
C ．
D ．【分析】由于ADC ∆按逆时针方向绕点A 旋转到AEF ∆，显然ADC AEF ∆≅∆，则有EAF DAC
∠=∠，AF AC =，那么EAF EAC DAC EAC ∠+∠=∠+∠，即
90FAC BAD ∠=∠=︒．在Rt ACD ∆中，利用勾股定理可求AC ，同理在Rt FAC ∆中，利用勾
股定理可求CF ．
【解答】解：ADC ∆Q 按逆时针方向绕点A 旋转到AEF ∆， ADC AEF ∴∆≅∆，
EAF DAC ∴∠=∠，AF AC =， EAF EAC DAC EAC ∴∠+∠=∠+∠，
FAC BAD ∴∠=∠，
又Q 四边形ABCD 是矩形， 90BAD ADC ∴∠=∠=︒，
90FAC ∴∠=︒，
又Q 在Rt ADC ∆中，5AC ，
∴在Rt FAC ∆中，CF ==，
故选：D ．
【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质以及勾股定理的运用，证明FAC ∆是等腰直角三角形是解题的关键．
6．（3分）如图，AB 为O e 的直径，C ，D 为O e 上两点，若40BCD ∠=︒，则ABD ∠的大小为( )
A．60︒B．50︒C．40︒D．20︒
【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出A
∠及ADB
∠的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
AB
Q为O
e的直径，
∴∠=︒．
90
ADB
∠=︒
Q，
BCD
40
∴∠=∠=︒，
A BCD
40
∴∠=︒-︒=︒．
904050
ABD
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．7．（3分）如图，AB是O
e的弦，OC AB
∠=︒，1
OH=，则弦AB的
AOC
⊥于点H，若60
长为()
A ．23
B ．3
C ．2
D ．4
【分析】在Rt AOH ∆中，由60AOC ∠=︒，解直角三角形求得3AH =，然后利用垂径定理解答即可．
【解答】解：OC AB ⊥Q 于H ，
AH BH ∴=，
在Rt AOH ∆中，60AOC ∠=︒， 1OH =Q ，
33AH OH ∴==，
223AB AH ∴==
故选：A ．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，解直角三角形等，难度不大．
8．（3分）如图，在ABO ∆中，AB OB ⊥，3OB =，OB 在x 轴正半轴上，30AOB ∠=︒，把ABO ∆绕点O 顺时针旋转150︒后得到△11A B O ，则点A 的对应点1A 的坐标为( )
A ．(3，1)-
B ．(1,2)--
C ．(2,1)--
D ．(1,3)--
【分析】如图，作1A E x ⊥轴于E ．解直角三角形求出OE ，1EA 即可解决问题．
【解答】解：如图，作1A E x ⊥轴于E ．
在Rt OAB ∆中，3OB =Q ，30AOB ∠=︒，
2AB ∴=，22OA AB ==，
1150AOA ∠=︒Q ，
1120AOB ∴∠=︒，1
60AOE ∠=︒， 11
12OE OA ∴==，133A E OE ==，
1(1,3)A ∴--，
故选：D ．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，AB AD =，若68C ∠=︒，则ABD ∠的度数为( )
A ．34︒
B ．56︒
C ．68︒
D ．112︒
【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ∠，然后根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：Q 四边形ABCD 是O e 的内接四边形，
180112A C ∴∠=︒-∠=︒，
AB AD =Q ， ABD ADB ∴∠=∠，
1
(180)342
ABD A ∴∠=︒-∠=︒，
故选：A ．
【点评】本题考查的圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（3分）己知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表所示
下列说法错误的是( ) A ．函数图象开口向下 B ．抛物线的对称轴是直线2x = C ．240b ac ->
D ．当1x …时，6y …
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得， 该函数的对称轴是直线13
22
x +=
=，故选项B 正确， 该函数的顶点坐标是(2,7)，有最大值，开口向下，故选项A 正确， 该函数与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故选项C 正确，
当1x …
时，7y …，故选项D 错误，
故选：D ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．（3分）如图，抛物线23(0)y ax bx a =++≠的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程
280(0)ax bx a +-=≠的一个根为4，那么该方程的另一个根为( )
A ．4-
B ．2-
C ．1
D ．3
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点可得答案． 【解答】解Q 关于x 的方程280ax bx +-=，有一个根为4，
∴抛物线与x 轴的一个交点为(4,0)，
Q 抛物线的对称轴为1x =，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为(2,0)-，
∴方程的另一个根为2x =-．
故选：B ．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对
称性．
12．（3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴为1x =，经过点(1,0)-，有下列结论：①0abc <；②a c b +>；③30a c +=；④()a b m am b +>+（其中1)m ≠其中正确的结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】由抛物线开口方向得到0a <，利用抛物线的对称轴方程得到20b a =->，由抛物线与y 轴的交点位置得到0c >，则可对③进行判断，利用1x =-时，0y =可对②进行判断；把2b a =-代入0a b c -+=中可对③进行判断；利用1x =时，函数的最大值为a b c ++可对④进行判断．
【解答】解：Q 抛物线开口向下， 0a ∴<，
Q 抛物线的对称轴为直线12b
x a
=-
=， 20b a ∴=->，
Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
0c ∴>，
0abc ∴<，所以①正确； 1x =-Q 时，0y =，
0a b c ∴-+=，
即a c b +=，所以②错误；
把2b a =-代入0a b c -+=中得30a c +=，所以③正确； Q 抛物线的对称轴为直线1x =，
1x ∴=时，函数的最大值为a b c ++，
2a b c am mb c ∴++>++，
即()a b m am b +>+，所以④正确． 故选：C ．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）把抛物线22y x =-向左平移3个单位长度所得图象的解析式是 22(3)y x =-+ ． 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：把抛物线22y x =-向左平移3个单位长度所得图象的解析式是22(3)y x =-+
故答案为22(3)y x =-+．
【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．（3分）在半径为6cm 的圆中，长为6cm 的弦所对的圆周角的度数为 30︒或150︒ ． 【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C ，连接AC ，BC ，在劣弧上取点D ，
连接AD ，BD ，易得AOB ∆是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案． 【解答】解：如图，首先在优弧上取点C ，连接AC ，BC ，在劣弧上取点D ，连接AD ，BD ， 6OA OB cm ==Q ，6AB cm =，
OA AB OB ∴==， OAB ∴∆是等边三角形， 60AOB ∴∠=︒，
1
302
C AOB ∴∠=∠=︒，
180150D C ∴∠=︒-∠=︒，
∴所对的圆周角的度数为：30︒或150︒．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
15．（3分）已知点(23,2)A a b +-与点(8,32)B a b -+关于坐标原点对称，则a b += 2 ． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a ，b 的等式进而求出答案． 【解答】解：Q 点(23,2)A a b +-与点(8,32)B a b -+关于坐标原点对称，
∴238322a b a b +=⎧⎨+=⎩
，
故5510a b +=， 则2a b +=．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．16．（3分）如图，I
∆的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，e是ABC
若50
∠=80︒．
DEF
∠=︒，则A
【分析】连结ID、IF，如图，先根据圆周角定理得到2100
∠=∠=︒，再根据切线
DIF DEF
的性质得ID AB
∠的⊥，IF AC
⊥，则90
∠=∠=︒，然后根据四边形内角和计算A
ADI AFI
度数．
【解答】解：连结ID、IF，如图，
∠=︒
Q，
DEF
50
∠=∠=︒
Q，
DIF DEF
2100
∆的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，
Q e是ABC
I
∴⊥，IF AC
ID AB
⊥，
∴∠=∠=︒，
ADI AFI
90
∴∠+∠=︒，
A DIF
180
∴∠=︒-︒=︒．
A
18010080
故答案为：80︒．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
17．（3分）如图，AB 是圆O 的弦，202AB =，点C 是圆O 上的一个动点，且45ACB ∠=︒，若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 的最大值是 20 ．
【分析】连接OA 、OB ，如图，根据圆周角定理得到290AOB ACB ∠=∠=︒，则220OA AB =，再根据三角形中位线性质得到12
MN AC =，然后利用AC 为直径时，AC 的值最大可确定MN 的最大值．
【解答】解：连接OA 、OB ，如图，
224590AOB ACB ∴∠=∠=⨯︒=︒，
OAB ∴∆为等腰直角三角形，
2220220OA AB ∴=， Q 点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，
12
MN AC ∴=， 当AC 为直径时，AC 的值最大，
MN ∴的最大值为20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．
18．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边的中点，将OA 绕着点O 逆时针旋转(0180)θθ︒<<至OP ，当BCP ∆恰为轴对称图形时，θ的值为 40︒或100︒或70︒ ．
【分析】如图1，连接AP ，根据直角三角形的判定和性质得到90APB ∠=︒，当
BC BP =时，得到BCP BPC ∠=∠，推出AB 垂直平分PC ，求得25ABP ABC ∠=∠=︒，于是得到22550θ=⨯︒=︒，当BC PC =时，如图2，连接CO 并延长交PB 于H ，根据线段垂直平分线的性质得到CH 垂直平分PB ，求得90CHB ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到24080θ=⨯︒=︒，当PB PC =时，如图3，连接PO 并延长交BC 于G ，连接OC ，推出PG 垂直平分BC ，得到90BGO ∠=︒，根据三角形的内角和得到65BOG θ=∠=︒．
【解答】解：BCP ∆Q 恰为轴对称图形，
BCP ∴∆是等腰三角形，
如图1，连接AP ，
O Q 为斜边中点，OP OA =，
BO OP OA ∴==，
90APB ∴∠=︒，
当BC BP =时，
BCP BPC ∴∠=∠，
90BCP ACP BPC APC ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACP APC ∴∠=∠，
AC AP ∴=，
AB ∴垂直平分PC ，
20ABP ABC ∴∠=∠=︒，
22040θ∴=⨯︒=︒，
当BC PC =时，如图2，连接CO 并延长交PB 于H ，
BC CP =Q ，BO PO =，
CH ∴垂直平分PB ，
90CHB ∴∠=︒，
OB OC =Q ，
20BCH ABC ∴∠=∠=︒，
70CBH ∴∠=︒，
50OBH ∴∠=︒，
250100θ∴=⨯︒=︒；
当PB PC =时，如图3，
连接PO 并延长交BC 于G ，连接OC ，
90ACB ∠=︒Q ，O 为斜边中点，
OB OC ∴=，
PG ∴垂直平分BC ，
90BGO ∴∠=︒，
20ABC ∠=︒Q ，
70BOG θ∴=∠=︒，
综上所述：当BCP ∆恰为轴对称图形时，
θ的值为40︒或100︒或70︒，
故答案为：40︒或100︒或70︒．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，C 两点，与y 轴交于B 点，抛物线的顶点为点D ，已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(0,3)-．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标．
（2）求ACD ∆的面积．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；
（2）由三角形的面积公式解答．
【解答】解：（1）把(1,0)-，(0,3)-分别代入2y x bx c =++，得：013b c c =-+⎧⎨=-⎩
． 解得：2b =-，3c =-．
故该二次函数解析式为：223y x x =--；
（2）由223y x x =--知，(0,3)C -．
所以4AC =． 11||44822
ACD D S AC y ∆∴==⨯⨯=g ． ACD ∴∆的面积是8．
【点评】考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，难度不大，但需要一定的计算能力．
20．（8分）四边形ABCD 是正方形，ADF ∆旋转一定角度后得到ABE ∆，如图所示，如果
3AF =，7AB =，
求（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE 的长度；
（3）BE 与DF 的位置关系如何？请说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质，点A 为旋转中心，对应边AB 、AD 的夹角为旋转角；
（2）根据旋转的性质可得AE AF =，AD AB =，然后根据DE AD AE =-计算即可得解；
（3）根据旋转可得ABE ∆和ADF ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得BE DF =，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）根据正方形的性质可知：AFD AEB ∆≅∆，
即3AE AF ==，90EAF ∠=︒，EBA FDA ∠=∠；
可得旋转中心为点A ；旋转角度为90︒或270︒；
（2）734DE AD AE =-=-=；
（3）90EAF ∠=︒Q ，EBA FDA ∠=∠，
∴延长BE 与DF 相交于点G ，则90GDE DEG ∠+∠=︒，
BE DF ∴⊥，
即BE 与DF 是垂直关系．
【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
21．（10分）如图，ABC ∆内接于O e ，BD 为O e 的直径，
120BAC ∠=︒、OA BC ⊥、若4AB =， （1）求证：四边形OACD 为菱形．
（2）求AD 的长．
【分析】（1）由已知条件和垂径定理以及圆周角定理易证四边形OACD 为平行四边形，再由邻边相等的平行四边形为菱形，问题得证；
（2）由（1）可知28BD AB ==，在Rt ABD ∆中利用勾股定理即可求出AD 的长．
【解答】解：（1）证明：
OA BC ⊥Q ，
∴¶¶AB AC =，
AB AC ∴=，12CDA ADB CDB ∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒Q ，
18012060BDC ∴∠=︒-︒=︒，
30CDA ADB ∴∠=∠=︒，
BD Q 为O e 的直径，
90BAD ∴∠=︒．
12
AC AB BD ∴==，30CAD CAB BAD ∠=∠-∠=︒， //
AC OD ∴=，
∴四边形OACD 为平行四边形， 又OA OD =Q ，
∴四边形OACD 为菱形；
（2）由（1）可知28BD AB ==，
在Rt ABD ∆中，228443AD =-=．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
22．（10分）如图，O e 的弦//AD BC ，过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，//AC DE 交
BD 于点H ，DO 及延长线分别交AC 、BC 于点G 、F ．
（1）求证：DF 垂直平分AC ；
（2）求证：FC CE =；
（3）若弦5AD cm =，8AC cm =，求O e 的半径．
【分析】（1）由DE 是O e 的切线，且DF 过圆心O ，可得DF DE ⊥，又由//AC DE ，则
DF AC ⊥，进而可知DF 垂直平分AC ；
（2）可先证AGD CGF ∆≅∆，四边形ACED 是平行四边形，即可证明FC CE =；
（3）连接AO 可先求得4AG cm =，在Rt AGD ∆中，由勾股定理得3GD cm =；设圆的半径为r ，则AO r =，3OG r =-，在Rt AOG ∆中，由勾股定理可求得256
r =． 【解答】（1）证明：DE Q 是O e 的切线，且DF 过圆心O ， DF ∴是O e 的直径所在的直线，
DF DE ∴⊥，
又//AC DE Q ，
DF AC ∴⊥，
G ∴为AC 的中点，即DF 平分AC ，则DF 垂直平分AC ；
（2分）
（2）证明：由（1）知：AG GC =，
又//AD BC Q ，
DAG FCG ∴∠=∠；
又AGD CGF ∠=∠Q ，
()AGD CGF ASA ∴∆≅∆，
（4分） AD FC ∴=；
//AD BC Q 且//AC DE ，
∴四边形ACED 是平行四边形，
AD CE ∴=，
FC CE ∴=；
（5分）
（3）解：连接AO ，
AG GC =Q ，8AC cm =，
4AG cm ∴=；
在Rt AGD ∆中，由勾股定理得22222549GD AD AG =-=-=，
3GD ∴=；
（6分） 设圆的半径为r ，则AO r =，3OG r =-，
在Rt AOG ∆中，由勾股定理得222AO OG AG =+，
有：222(3)4r r =-+， 解得256r =
，（8分） O ∴e 的半径为256
cm ．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．23．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）分析数量关系填表：
每台售价（元)303132⋯⋯30x
+
月销售量（台)180170160⋯⋯
（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围
（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y（元)最大？最大利润是多少？
【分析】（1）由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，由此填空即可；
（2）由销售利润=每件商品的利润(18010
⨯-⨯上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（3）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
【解答】解：（1）31301
-=，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，-=，18017010
则月销售量减少10台，
所以当每件商品的售价上涨x元(x为整数）时，则月销售量为18010x
-，
故答案为：18010x -；
（2）由题意可知：2(3020)(18010)10801800(05y x x x x x =-+-=-++剟，且x 为整数）；
（3）由（2）知，210801800(05y x x x =-++剟，且x 为整数）．
100-<Q ，
∴当8042(10)x ==⨯-时，1960y =最大元； ∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在2b x a
=-时取得 24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点(2A -，0)，(2B ，0)，(0,2)C ．D ，E 分别是线段AC 和CB 上的点，CD CE =．将CDE ∆绕点C 逆时针旋转一个角度α．
（1）若090α︒<<︒，在旋转过程中当点A ，D ，E 在同一直线上时，连接AD ，BE ，如图2．求证：AD BE =，且AD BE ⊥
（2）若0360α︒<<︒，D ，E 恰好是线段AC 和CB 上的中点，在旋转过程中，当//DE AC 时，求α的值及点E 的坐标．
【分析】（1）证明ACD BCE ∆≅∆，可得AD BE =，CAD CBE ∠=∠，则结论得证；
（2）由勾股定理求出AC 长，可求出CD 的长，如图1，当45ACO α=∠=︒时，求出点E 的
坐标为，如图2，当180225ACD ACO α=∠=︒+∠=︒时，求出点E 的坐标为(-．
【解答】（1）证明：Q 点(A ，0)，B 0)，C ，
OC ∴垂直平分AB ，OA OB OC ==，
AC BC ∴=，45CAB CBA ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，
根据旋转的性质得，
ACD BCE ∴∠=∠，
又AC BC =Q ，CD CE =，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
AD BE ∴=，CAD CBE ∠=∠，
()()90BAE ABE CAB CAD ABC CBE ∴∠+∠=∠-∠+∠+∠=︒，
180()90AEB BAE ABE ∴∠=︒-∠+∠=︒，即AD BE ⊥；
（2）解：由（1）知，90ACB ∠=︒，AC BC =，
在Rt AOC ∆，
2AC ==，
D Q ，
E 是线段AC 和CB 上的中点， ∴112
CD CE AC ===， 如图1，当45ACO α=∠=︒时，即45ACO CDE ∠=∠=︒，
//AC DE ∴，
此时点E 的坐标为(1,2)，
如图2，当180225ACD ACO α=∠=︒+∠=︒时，
即45ACO CD E ∠=∠''=︒，
//AC D E ∴''，
此时点E 的坐标为(2)-．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，解题的关键结合题意画出图形，熟练掌握全等三角形的判定与性质．
25．（10分）如图，抛物线23y x bx =+-过点(1,0)A ，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为2-，点P 是线段AD 上的动点．
（1）b = 2 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）求直线AD 的解析式；
（3）过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，连接AQ ，DQ ，当ADQ ∆的面积等于ABD ∆的面积的一半时，求点Q 的坐标．
【分析】（1）将点A 的坐标代入函数解析式求得b 的值，然后利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可以直接求得顶点坐标；
（2）结合（1）中抛物线解析式求得点D 的坐标，利用点A 、D 的坐标来求直线AD 解析式；
（3）由二次函数图象上点的坐标特征求得点B 的坐标，易得4AB =．结合三角形面积公式求得6ABD S ∆=．设(,1)P m m -，2(,23)Q m m m +-．则
22PQ m m =--+．利用分割法得到：233(2)22
ADQ APQ DPQ S S S PQ m m ∆∆∆=+==--+．根据已知条件列出方程23(2)32
m m --+=．通过解方程求得m 的值，即可求得点Q 的坐标． 【解答】解：（1）把(1,0)A 代入23y x bx =+-，得2130b +-=．
解得2b =．
故该抛物线解析式为：2223(1)4y x x x =+-=+-，即2(1)4y x =+-．
故顶点坐标是(1,4)--．
故答案是：2；(1,4)--．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：223y x x =+-．
当2x =-，则2(2)2(2)33y =-+⨯--=-，
∴点D 的坐标是(2,3)--．
设直线AD 的解析式为：(0)y kx t k =+≠．
把(1,0)A ，(2,3)D --分别代入，得023k t k t +=⎧⎨-+=-⎩
． 解得11k t =⎧⎨=-⎩
． ∴直线AD 的解析式为：1y x =-；
（3）当0y =时，2230x x +-=，
解得11x =，23x =-，
(3,0)B ∴-，
4AB ∴=．
14362
ABD S ∆∴=⨯⨯=． 设(,1)P m m -，2(,23)Q m m m +-．
则22(1)(23)2PQ m m m m m =--+-=--+．
21133(1)(2)(2)2222ADQ APQ DPQ S S S PQ m PQ m PQ m m ∆∆∆∴=+=
-++==--+g g ． 当ADQ ∆的面积等于ABD ∆的面积的一半时，23(2)32
m m --+=． 解得10m =，21m =-．
(0,3)Q ∴-或(1,4)--．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。