北京高二数学下学期期末考试试题
2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷(含解析)
2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={x ∈Z|x 2<4}，则∁U A =( )A. {−3,3}B. {2,3}C. {−1,0,1}D. {−3,−2,2,3}2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=1 xB. f(x)=(x−1) 2C. f(x)=lg xD. f(x)=(12)x 3.已知a =lg 12，b =30.1，c = 3，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. a <c <bD. c <b <a 4.设A ，B 为两个随机事件，若P(B|A)=12，P (A )=25，P (B )=23，则P(A|B)=( )A. 15B. 310C. 12D. 355.已知a >0，b >0，则“ab =1”是“a +b ≥2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在(x−2)10的展开式中，x 6的系数为( )A. −64C 610B. 64C 610C. −16C 410D. 16C 4107.有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为( )A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.0908.某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从A ，B ，C ，D ，E ，F 这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作(每道工序安排一人)，如果员工A 不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有( )A. 360种B. 300种C. 180种D. 120种9.设函数f (x )为定义在R 上的奇函数，若曲线y =f (x )在点(2,4)处的切线的斜率为10，则f′(−2)+f (−2)=( )A. −16B. −6C. 6D. 1610.已知函数f(x)={ln x x ,x >0x 2+2x,x ≤0；若方程f(x)=a 恰有三个根，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1e ) B. [0,1e ] C. (−1,1e ) D. (0,1e )∪{−1}二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题含答案
大兴区2023~2024学年度第二学期高二期末检测数学（答案在最后）2024．72022．4第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在621()x x-的展开式中，常数项为（A ）15（B ）30（C ）15-（D ）30-（2）若数列19a b c ，，，，是等比数列，则实数b 的值为（A ）3-（B ）3（C ）9-（D ）9（3）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（A ）55A （B ）44A （C ）4554A A -（D ）1434A A （4）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（A ）2431r r r r <<<（B ）2413r r r r <<<（C ）4213r r r r <<<（D ）4231r r r r <<<（5）已知函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则()f x 的极大值点为（A ）1x 和4x （B ）2x （C ）3x （D ）5x 1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
（6）随机变量X 服从正态分布2~(2)X N σ，，若(24)0.3P X <= ，则(0)P X =≤（A ）0.2（B ）0.3（C ）0.4（D ）0.5（7）已知{}n a 为等差数列，若m n p q ，，，是正整数，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2024项为（A ）562C （B ）563C （C ）663C （D ）763C （9）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，且20S <，则（A ）数列{}n S 是递增数列（B ）数列{}n S 是递减数列（C ）数列2{}n S 是递增数列（D ）数列2{}n S 是递减数列（10）已知函数1().e xx f x +=若过点(1)P m -，存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数m 的取值范围是（A ）(1e e )4-，（B ）(0)8e ，（C ）(04e，（D ）(1e )8e，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2022-2023学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．等差数列﹣2，1，4，…的第10项为（ ） A ．22B ．23C ．24D ．252．设函数f （x ）＝sin x ，则f '（π）＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．π3．某一批种子的发芽率为23．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（ ） A ．29B ．827C ．49D ．234．记函数f(x)=1x 的导函数为g （x ），则g （x ）（ ） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数5．在等差数列{a n }中，若a 1＝9，a 8＝﹣5，则当{a n }的前n 项和最大时，n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2010年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（ ） A ．80万吨B ．90万吨C ．100万吨D ．120万吨7．如果函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 在区间（1，e ）上单调递增，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．[1，2]B ．（﹣∞，2]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，1]8．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q =23，记其前n 项的和为S n ，则对于n ∈N *，使得S n ＜m 都成立的最小整数m 等于（ ） A ．6B ．3C ．4D ．29．设随机变量ξ的分布列如下：则下列说法中不正确的是（ ） A ．P （ξ≤2）＝1﹣P （ξ≥3）B ．当a n =12n （n ＝1，2，3，4）时，a 5=124 C ．若{a n }为等差数列，则a 3=15D ．{a n }的通项公式可能为a n =1n(n+1)10．若函数f(x)={xe x +a ，x ＜1，a −x ，x ≥1有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，e ）B ．（﹣∞，e ）C ．(0，1e )D ．(−∞，1e )二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市石景山区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含答案
2023年北京市石景山区高二下学期期末数学试卷（答案在最后）本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2.设函数331()f x x x=-,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x-==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数()331f x x x=-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．3.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C.192625D.256625【答案】B 【解析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962(()55625P C ==故选B ．4.若()554325432102x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=（）A.32-B.31- C.31 D.32【答案】C 【解析】【分析】利用赋值法可求出结果.【详解】在()554325432102x a x a x a x a x a x a -=+++++中，令1x =，得1-=012345a a a a a a +++++，令0x =，得032a -=，所以12345a a a a a ++++=13231-+=.故选：C5.设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得<2x -或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞ ；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞ 的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6.某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14 B.24C.28D.48【答案】A 【解析】【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为．故选A.法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A7.函数2()2ln g x x x =-+的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题：2()2ln g x x x =-+，求导得：2()2(0)g x x x x+'=->，即：222()(0)x g x x x'-+=>令：()22220,10,0,1x x -+>-<为增区间，()1,+∞为减区间．max (1)1g =-，得图为C考点：运用导数研究函数的性质.8.设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是A.若120a a +>，则230a a +> B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则2a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C 【解析】【详解】先分析四个答案，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230a a +<，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120a a +>，B 错误，D 选项，2132,,a a d a a d -=-=-22132()()0,a a a a d ∴--=-≤故D 错，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22213111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>，故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.9.设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A.a b <B.a b> C.2ab a < D.2ab a >【答案】D 【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.()f x ∴有a 和b 两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，a 为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，a<0，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.10.若集合{}{,,,}1,2,3,4,a b c d =且下列四个关系：①=1a ；②1b ≠；③=2c ；④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是（）A.7B.6C.5D.4【答案】B 【解析】【分析】因为①=1a ；②1b ≠；③=2c ；④4d ≠中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.【详解】若仅有①成立,则=1a 必有1b ≠成立,故①不可能成立；若仅有②成立,则1a ≠,1b ≠,2c ≠,=4d 成立,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况；若仅有③成立,则1a ≠,1b =,=2c ,=4d 成立,此时仅有(3,1,2,4)成立；若仅有④成立,则1a ≠,1b =,2c ≠,4d ≠成立,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况，综上符合条件的所有有序数组(,,,)a b c d 的个数是6个，故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.已知()12P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于______．【答案】56【解析】【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果.【详解】因为()12P AB =，()35P A =，所以()|P B A 1()523()65P AB P A ===.故答案为：56.12.设函数()1122,1,1x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.【答案】(],4∞-【解析】【分析】分1x <和1x ≥两种情况讨论从而解不等式()2f x ≤即可.【详解】当1x <时，由()2f x ≤，得122x -≤，所以11x -≤，又因为1x <，所以1x <；当1x ≥时，由()2f x ≤，得122x ≤，所以4x ≤，又因为1x ≥，所以14x ≤≤.所以满足()2f x ≤成立的x 的取值范围为(],4∞-.故答案为：(],4∞-.13.若随机变量X 的分布列为X012P1313a则=a ______，()D X 为随机变量X 的方差，则()D X =______．（用数字作答）【答案】①.13②.23【解析】【分析】根据分布列的性质求出a ，根据方差公式求出()D X .【详解】由题意得11133a ++=，得13a =.111()0121333E X =⨯+⨯+⨯=，()()()222111()011121333D X =-⨯+-⨯+-⨯23=.故答案为：13；23.14.二项式()*nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中存在常数项，则n 可以为______．（只需写出一个符合条件的值即可）【答案】3（答案不唯一，n 为3的倍数的正整数均可）【解析】【分析】在通项公式中，令x 的指数为0，可求出结果【详解】321C (1)C kn k k n k k k k n n T x x--+⎛=⋅=-⋅ ⎝，0,1,2,,k n =L ，令302n k -=，得23n k =，因为k 为整数，n 为正整数，所以k 为偶数，n 为3的倍数的正整数.故答案为：3（答案不唯一，n 为3的倍数的正整数均可）.15.已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=，因为20a >，解得2332a -=<，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q+=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错；当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=，所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知函数()()1exf x x =-（1）判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值；（2）在给定的直角坐标系中画出函数()y f x =的大致图像；（3）讨论关于x 的方程()()0f x a a -=∈R 的实根个数．【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；极小值为1-，无极大值（2）图象见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数得出其单调性以及极值；（2）由单调性画出函数()y f x =的大致图像；（3）画出函数()f x 与函数y a =的简图，由图像得出方程根的个数.【小问1详解】()e (1)e e x x xf x x x '=+-=0()0x f x '>⇒>，0()0x f x '<⇒<即函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞极小值为(0)1f =-，无极大值.【小问2详解】当0x <时，()0f x <；当x →+∞时，()f x →+∞，且(1)0f =结合单调性，可画出函数()y f x =的大致图像，如下图所示【小问3详解】画出函数()f x 与函数y a =的简图，如下图所示由图可知，当1a <-时，方程()()0f x a a -=∈R 没有实数根；当1a =-或0a ≥时，方程()()0f x a a -=∈R 只有一个实数根；当10a -<<时，方程()()0f x a a -=∈R 有两个不相等的实数根；17.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，318S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）3n a n =（2）n T ()231nn =+【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，结合等差数列的性质与等比中项的性质求解即可；（2）根据等差数列的前n 项和公式可得1nS ，再裂项求和求解即可【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由318S =，得13318a d +=，即16a d +=，由1a ，2a ，4a 成等比数列，得()()21113a d a a d +=+，即222111123a a d d a a d ++=+，又0d ≠得1a d =，所以13a =，3d =，故数列{}n a 的通项公式为3n a n =．【小问2详解】由3n a n =，得()()333122n n n n n S ++==，所以()122113131n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n n T S S S n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪+⎝⎭()21213131n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．18.某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为231,,342，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．（1）求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率．（2）求该同学取得优秀成绩的课程数X 的分布列和期望．【答案】（1）124（2）分布列见解析；期望为2312【解析】【分析】（1）由独立事件的乘法公式代入即可得出答案.（2）X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.【小问1详解】该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率231111134224⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】X 的可能取值为0,1,2,3，所以()2311011134224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()231231231111111113423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23123121111211134234234224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()231133424P X ==⨯⨯=，该同学取得优秀成绩的课程数X 的分布列：X 0123P 12414112414期望()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.设0x >，()ln f x x =，()11g x x =-．（1）分别求函数()f x ，()g x 在点()1,0处的切线方程；（2）判断()f x 与()g x 的大小关系，并加以证明．【答案】（1）()f x 点()1,0处的切线方程为10x y --=，()g x 在点()1,0处的切线方程为10x y --=；（2）()()f x g x ≥，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）作差构造函数，利用导数可证结论成立.【小问1详解】因为0x >，()ln f x x =，1()f x x'=，(1)1f '=，(1)0f =，所以()f x 点()1,0处的切线方程为01y x -=-，即10x y --=.因为0x >，1()1g x x=-，21()g x x '=，(1)1g '=，(1)0g =，所以()g x 在点()1,0处的切线方程为01y x -=-，即10x y --=.【小问2详解】()()f x g x ≥，证明如下：设1()()()ln 1h x f x g x x x=-=-+(0)x >，22111()x h x x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，所以()(1)0h x h ≥=，所以()()f x g x ≥.20.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．【答案】（I ）合唱团学生参加活动的人均次数为2.3；（II ）04199P =；（III ）23E ξ=．【解析】【详解】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340230 2.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．（III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=；(2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==；41(0)99P ξ==.ξ的分布列：ξ012P 41995099899ξ的数学期望：4150820129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=．。
北京市西城区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
北京市西城区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷(共10题；共20分)1．（2分）若a、b、c成等差数列，则（）A．2b=a+c B．2b=ac C．b2=a+c D．b2=ac 【答案】A【解析】【解答】因为a、b、c成等差数列，则b−a=c−b，可得2b=a+c.故答案为：A.【分析】由等差中项的性质可得答案.2．（2分）函数f(x)=1x在x=2处的瞬时变化率为（）A．－2B．－4C．－12D．－14【答案】D【解析】【解答】由题设f′(x)=−1x2，故f′(2)=−14.故答案为：D【分析】函数在x=2处的瞬时变化率为曲线在该点处的导数，计算可得答案.3．（2分）将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为()A．14B．38C．12D．58【答案】B【解析】【解答】投掷4次的所有可能结果为24=16种，其中恰好出现2次正面向上的事件有C42=6种，据此可得，题中所求事件的概率值为：p=616=38故答案为：B.【分析】根据题意利用古典概率的等于求出即可。
4．（2分）已知函数f(x)=sinx+cosx，f′(x)为f(x)的导函数，则（）A．f(x)+f′(x)=2sinx B．f(x)+f′(x)=2cosxC．f(x)−f′(x)=−2sinx D．f(x)−f′(x)=−2cosx【答案】B【解析】【解答】解：因为f(x)=sinx+cosx，所以f′(x)=cosx−sinx，所以f(x)+f′(x)=2cosx，f(x)−f′(x)=2sinx.故答案为：B.【分析】根据导数的公式即可得答案.5．（2分）在等比数列{a n}中，a1=4，a5=1，则a3＝（）A．4B．±4C．2D．±2【答案】C【解析】【解答】由题意a32=a1a5=4，又a1，a3，a5同号，所以a3=2．故答案为：C．【分析】利用等比数列的性质求解可得答案.6．（2分）若等差数列{a n}满足a8>0，a7+a10<0，则当{a n}的前n项和最大时，n＝（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】【解答】解：∵等差数列{a n}满足a7+a10<0，∴a8+a9=a7+a10<0，∵a8>0，∴a9<0，则a9−a8=d<0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴当{a n}的前n项和最大时n的值为8.故答案为：B.【分析】由题意和等差数列的性质求出{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此求出答案. 7．（2分）设函数f(x)=ax3+bx2+4x的极小值为－8，其导函数y=f′(x)的图象过点（－2，0），如图所示，则f(x)＝（）A ．−23x 3−x 2+4xB ．−x 3−2x 2+4xC ．−x 3+4xD ．−2x 3+x 2+4x【答案】B【解析】【解答】由题设，f ′(x)=3ax 2+2bx +4，则f ′(−2)=12a −4b +4=0，故b =3a +1，所以f ′(x)=3ax 2+2(3a +1)x +4=(3ax +2)(x +2)，令f ′(x)=0，可得x =−2或x =−23a，由图知：a <0且x =−2处有极小值，所以−8a +4b −8=−8，即a =−1，b =−2，经验证满足题设， 故f(x)=−x 3−2x 2+4x . 故答案为：B【分析】 由题设f ′(x)=3ax 2+2bx +4，根据所过的点可得b =3a +1，结合图象求出极小值点并代入 f(x)求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设，即可得答案.8．（2分）在等比数列{a n }中，a 1=8，a 4=−1．记T n =a 1a 2⋯a n (n =1，2，⋯)，则数列{T n }（ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【解析】【解答】设等比数列{a n }为q ，则等比数列的公比q 4−1=a 4a 1=−18，所以q =−12，则其通项公式为：a n =a 1⋅q n−1=8×(−12)n−1=(−1)n−124−n ， 所以T n =a 1a 2⋯a n =(−1)0(−1)1⋯(−1)n−1×23×22⋯24−n =(−1)n(n−1)2×2n(3+4−n)2=(−1)n(n−1)2×2n(7−n)2，令t =n(7−n)，所以当n =3或n =4时，t 有最大值，无最小值， 即2n(7−n)2有最大值，无最小值，结合前面(−1)n(n−1)2，当(−1)n(n−1)2为正数时，T n 为正数，当(−1)n(n−1)2为负数时，T n为负数，所以当n=3时，T n有最小项，当n=4时，T n有最大项.故答案为：A.【分析】根据题意，求出等比数列{a n}的公比，即可得{a n}的通项公式，由此可得T n的表达式，分n 为偶数和奇数两种情况讨论，分析可得答案.9．（2分）数列{a n}的通项公式为a n=n2−2λn(n=1，2，⋯)．若{a n}为递增数列，则λ的取值范围是（）A．[1，＋∞）B．(32，+∞)C．（－∞，1]D．(−∞，3 2)【答案】D【解析】【解答】因为数列{a n}的通项公式为a n=n2−2λn(n=1，2，⋯)，且{a n}为递增数列，所以a n<a n+1对于∀n∈N∗都成立，所以n2−2λn<(n+1)2−2λ(n+1)对于∀n∈N∗都成立，即n2−2λn<n2+2n+1−2λn−2λ，所以2λ<2n+1对于∀n∈N∗都成立，所以λ<n+12对于∀n∈N∗都成立，所以λ<1+12=32，即λ的取值范围是(−∞，3 2)，故答案为：D【分析】由已知条件推导出2λ<2n+1对于∀n∈N∗恒成立，由此能求出实数λ的取值范围. 10．（2分）设P为曲线y=e x上一点，Q为曲线y=lnx上一点，则|PQ|的最小值为（）A．√22B．1C．√2D．2【答案】C【解析】【解答】y=e x，y′=e x，x=0时，y′=1，y=1，所以y=x+1是y=e x图象的一条切线，切点为(0，1)，y=lnx，y′=1x，x=1时，y′=1，y=0，所以y=x−1是y=lnx的图象的一条切线，切点为(1，0)，k =1−00−1=−1，这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直， |PQ|的最小值即为两切点间的距离． 所以|PQ|min =√2， 故答案为：C ．【分析】 利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由|PQ|的最小值即为两切点间的距离，即可求解出答案.(共5题；共7分)11．（1分）设函数f(x)=lnx x ，则f ′(1)= ． 【答案】1【解析】【解答】解：因为f(x)=lnx x ，所以f ′(x)=1−lnx x 2，所以f ′(1)=1−ln112=1； 故答案为：1【分析】利用求导法则，先求出f ′(x)，再求f ′(1)即可.12．（1分）已知{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项和为S n ．若S 4=5S 2，则q ＝ ． 【答案】±2【解析】【解答】当q =1时，由S 4=5S 2，得4a 1=5×2a 1显然不成立； 当q ≠1时，由S 4=5S 2，得a 1(1−q 4)1−q =5×a 1(1−q 2)1−q，q =±2；故答案为：±2.【分析】 根据题意，由等比数列的前n 项和公式可得a 1(1−q 4)1−q =5×a 1(1−q 2)1−q ，求解可得q 的值.13．（1分）已知正方形ABCD 的边长为1.取正方形ABCD 各边的中点A 1，B 1，C 1，D 1，作第2个正方形A 1B 1C 1D 1；然后再取正方形A 1B 1C 1D 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，作第3个正方形A 2B 2C 2D 2；…，依此方法一直继续下去． 给出下列四个结论：①从正方形ABCD 开始，所有这些正方形的周长依次成等差数列； ②从正方形ABCD 开始，所有这些正方形的面积依次成等比数列； ③从正方形ABCD 开始，所有这些正方形周长之和趋近于8； ④从正方形ABCD 开始，所有这些正方形面积之和趋近于2. 其中所有正确结论的序号是 ．【答案】②④【解析】【解答】由题意，第1个正方形边长为1，则周长为4，面积为1；第2个正方形边长为√22，则周长为2√2，面积为12；第3个正方形边长为12，则周长为2，面积为14；……第n 个正方形边长为(√22)n−1，则周长为4⋅(√22)n−1，面积为(12)n−1，周长、面积均依次成等比数列，①错误，②正确；所有正方形周长之和为4×[1−(√22)n]1−√22=4(√2+2)[1−(√22)n]，故周长之和无限接近于4(√2+2)，③错误；所有正方形面积之和为1−(12)n1−12=2[1−(12)n ]，故面积之和趋近于2，④正确. 故答案为：②④【分析】根据规律确定各正方形周长、面积所成数列的性质，结合等比数列前n 项和公式和极限思想判断周长、面积之和的极限值，逐项进行判断，可得答案.14．（2分）已知随机变量X 的分布列如下：则P ＝ ；D （X ）＝ ．【答案】0.4；0.8【解析】【解答】根据随机变量分布列的性质，知0.4+p +0.4=1，所以p =0.2，∵E(X)=0.4×0+0.2×1+0.4×2=1，∴D(X)=(0−1)2×0.4+(1−1)2×0.2+(2−1)2×0.4=0.8；故答案为：0.4；0.8.【分析】利用分布列的性质求解p，然后求解期望和方差即可.15．（2分）若曲线y=xe a−x+bx在x=2处的切线方程为y=(e−1)x+4，则a=；b=．【答案】2；e【解析】【解答】解：因为y=xe a−x+bx，所以y′=(1−x)e a−x+b，又函数x=2处的切线方程为y=(e−1)x+4，所以y′|x=2=(1−2)e a−2+b=e−1，且2(e−1)+4=2e a−2+2b，解得b=e，a=2；故答案为：2；e.【分析】求出原函数的导函数，利用函数在x=2处的导数值等于切线的斜率，且函数在x=2处的函数值相等，列方程组求解出a与b的值.(共6题；共70分)16．（10分）已知函数f(x)=(x−1)e x．（1）（5分）求f（x）的极值；（2）（5分）求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值．【答案】（1）解：f′(x)=e x+(x−1)e x=xe x，x>0时，f′(x)>0，f(x)递增，x<0时，f′(x)<0，f(x)递减，所以f(x)极小值=f(0)=−1．无极大值．（2）解：由（1）知f(x)在[−1，0)上递减，在(0，2]上递增，2．f(0)=−1，f(−1)=−2e，f(2)=e所以最大值为e2，最小值为-1．【解析】【分析】(1)求出导函数f'(x)，由f'(x)>0得增区间，由f'(x)<0得减区间，从而得f(x)的极值；(2)由(1)得函数在[-1，2]上的单调性，计算出区间端点处的函数值，即可求出f(x)在区间[－1，2]上的最大值和最小值．17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=3，a4=7.（1）（5分）求{a n}的通项公式；（2）（5分）若{b n−a n}是公比为2的等比数列，b1=3，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】（1）解：设公差为d，则a4−a2=2d=4，解得d=2，则a2=a1+2=3，所以a1=1，所以a n=2n−1（2）解：b1−a=12，因为{b n−a n}是公比为2的等比数列，所以b n−a n=2n，所以b n=2n+(2n−1)，所以S n=(2+22+⋯+2n)+[1+3+5+⋯+(2n−1)]=2(1−2n)1−2+(1+2n−1)n2=2n+1−2+n2【解析】【分析】(1)直接利用等差数列的性质求出首项和公差，进而求出数列{a n}的通项公式；(2)利用分组法的应用求出数列{b n}的前n项和S n．18．（15分）某单位有A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．（1）（5分）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；（2）（5分）记X为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）（5分）判断甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B餐厅用餐？说明理由．【答案】（1）解：由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为P=60100=0.6（2）解：易知X的可能值是2，3，4，P(X=2)=40100×60100=0.24，P(X=3)=40100×40100+60100×60100=0.52，P(X =4)=60100×40100=0.24，X 的分布列为E(X)=2×0.24+3×0.52+4×0.24=3（3）解：甲在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为P 1=2050=0.4，乙在早餐选择A 餐厅用餐的条件下午餐选择B 餐厅用餐的概率为P 2=2545=59>0.4，所以乙更有可能在午餐选择B 餐厅用餐．【解析】【分析】(1)由统计图表得出一天中甲选择2个餐厅用餐的天数，然后计算出一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；(2)得出X 的可能值是2， 3， 4，计算出概率的分布列，由期望公式计算出 X 的分布列和数学期望E （X ）；(3)直接由统计图表计算甲、乙两人在早餐选择A 餐厅用餐的条件下，午餐选择B 餐厅用餐的概率，比较即得结论.19．（10分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是C(x)=10000+20x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是S(x)={−130x 3+3x 2+290x ，0<x <12025400，x ≥120．（1）（5分）把商品的利润表示为生产量x 的函数； （2）（5分）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【答案】（1）解：由题意，利润W(x)=S(x)−C(x)={−130x 3+3x 2+270x −10000，0<x <12015400−20x ，x ≥120（2）解：由（1），当0<x <120时，W(x)=−130x 3+3x 2+270x −10000， 所以W ′(x)=−110x 2+6x +270=−110(x −90)(x +30)，令W ′(x)=0，则x =90或x =−30（舍），故x ∈(0，90)，W ′(x)>0，即W(x)递增；x ∈(90，120)，W ′(x)<0，即W(x)递减； 所以W(x)的极大值也是最大值为W(90)=14300（万元）； 当x ≥120时W(x)递减，此时最大值为W(120)=13000（万元）.综上，使商品的利润最大，产量为90百件.【解析】【分析】(1)利用W(x)=S(x)-C(x)，即可求出商品的利润表示为生产量x的函数；(2)利用导数求W (x)在0<x<120上的最大值，由一次函数单调性求x≥120上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量.20．（10分）已知函数f(x)=x−lnx．（1）（5分）判断f（x）在区间(0，1)上的单调性，并加以证明；（2）（5分）设a<0，若f(e−x)≥f(x a)对x∈(1，+∞)恒成立，求a的最小值．【答案】（1）解：因为f′(x)=1−1x=x−1x，且x∈(0，1)，所以f′(x)<0，所以f(x)=x−lnx在区间(0，1)上单调递减（2）解：因为x∈(1，+∞)，所以0<e−x<1e<1，又因为当a<0，x∈(1，+∞)时，0<x a<1，由（1）知f(x)=x−lnx在区间(0，1)上的单调递减，所以f(e−x)≥f(x a)对x∈(1，+∞)恒成立，等价于e−x≤x a对x∈(1，+∞)恒成立，等价于lne−x≤lnx a对x∈(1，+∞)恒成立，即a≥−xlnx对x∈(1，+∞)恒成立，令g(x)=−xlnx，x∈(1，+∞)，则g′(x)=−lnx+1ln2x，令g′(x)=−lnx+1ln2x=0，得x=e，所以当x∈(1，e)时，g′(x)>0；当x∈(e，+∞)时，g′(x)<0；所以g(x)在(1，e)单调递增，在(e，+∞)单调递减，所以g max(x)=g(e)=−elne=−e，所以−e≤a<0，所以a的最小值为-e.【解析】【分析】(1)对f(x)求导，利用导数的正负判断f(x)在区间(0，1)上的单调性；(2)先判断出0<e−x<1e<1，0<x a<1，结合(1)中f (x)的单调性，将f(e−x)≥f(x a)对x∈(1，+∞)恒成立，等价转化为a≥−xlnx对x∈(1，+∞)恒成立，令g(x)=−xlnx，x∈(1，+∞) ，利用导数求出 g(x) 的最大值即可求解出 a 的最小值．21．（15分）已知{a n }是公差不为0的无穷等差数列．若对于{a n }中任意两项a m ，a n ，在{a n }中都存在一项a i ，使得a i =a m a n ，则称数列{a n }具有性质P ．（1）（5分）已知a n =3n ，b n =3n +2(n =1，2，⋯)，判断数列{a n }，{b n }是否具有性质P ； （2）（5分）若数列{a n }具有性质P ，证明：{a n }的各项均为整数； （3）（5分）若a 1=20，求具有性质P 的数列{a n }的个数．【答案】（1）解：因为a n =3n ，所以3(3mn)=3m ×3n ，所以对于{a n }中任意两项a m ，a n ，在{a n }中都存在一项a i =a 3mn ，使得a i =a m a n ， 所以数列{ a n }具有性质P ，因为b n =3n +2，所以取n =1，m =2，则a m a n =5×8=40， 因为40=3×13+1，所以不存在一项a i =40，所以数列{ b n }不具有性质P（2）证明：设数列{ a n }的公差为d ，因为数列{ a n }具有性质P ，所以存在a i 使得a i =a n a n+1，同理，存在a j 使得a j =a n a n+2， 两式相减，得a j −a i =a n (a n+2−a n+1)，即(j −i)⋅d =a n ⋅d ， 因为d ≠0，所以a n =j −i ，所以{ a n }的各项均为整数．（3）解：由题意结合（2）知{ a n }的各项均为整数，所以d 为整数， 首先证明d 为正整数，否则假设d 为负整数，则{ a n }为递减数列，所以{ a n }中各项的最大值为a 1， 由题设，{ a n }中存在某项a k <0，且|a k | > |a 1|，所以a k a k+1>a 1， 从而对任意正整数i ，a i ≠a k a k+1，这与{ a n }具有性质P 矛盾； 其次证明d 为a 1(a 1−1)的约数，由a i =a m a n 得，a 1+(i −1)d =[a 1+(m −1)d][a 1+(n −1)d]，所以i −1=a 1(a 1−1)d+(m +n −2)a 1+(m −1)(n −1)d ， 所以a 1(a 1−1)d为整数，即d 为a 1(a 1−1)的约数， 由d 为正整数，所以d 为20×19的正约数，因为20×19=2×2×5×19，所以20×19的正约数共有3×2×2=12个， 对于首项为20，20×19的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质P ，所以具有性质P的数列{ a n }共有12个．【解析】【分析】(1)根据数列{ a n }具有性质P的定义即可判断出数列{a n}，{b n}是否具有性质P；(2)设数列{ a n }的公差为d，由题意，存在a i使得a i=a n a n+1，同理，存在a j使得a j=a n a n+2，两式相减，根据等差数列的定义即可得证{ a n }的各项均为整数；(3)由题意结合(2)知{ a n }的各项均为整数，所以d为整数，首先证明d为正整数，其次证明d为a1(a1−1)的约数，从而即可求解出具有性质P的数列{a n}的个数．试题分析部分1、试卷总体分布分析2、试卷题量分布分析3、试卷难度结构分析4、试卷知识点分析。
2022-2023学年北京市东城区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共12小题，每小题3分，共36分。
在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A＝{x||x|＜1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}2．从集合{1，2，3，4，5}中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（）A．10B．15C．20D．253．已知a＝lge，b＝e2，c=ln1（e＝2.71828⋯），那么（）10A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b4．如图，曲线y＝f（x）在点（2，2）处的切线为直线l，直线l经过原点O，则f′（2）+f（2）＝（）A．1B．2C．3D．45．在（x﹣2）10的展开式中，x6的系数为（）A．16C104B．32C104C．﹣8C106D．﹣16C1066．如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3之间的关系为（）A．r3＜r2＜r1B．r2＜r3＜r1C．r3＜r1＜r2D．r1＜r3＜r27．已知等比数列{a n}的首项和公比相等，那么数列{a n}中与a3a7一定相等的项是（）A．a5B．a7C．a9D．a108．已知x＝1是函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣a）的极小值点，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）9．在函数y ＝xlnx ，y ＝cos x ，y ＝2x ，y ＝x ﹣lnx 中，导函数值不可能取到1的是（ ） A ．y ＝xlnxB ．y ＝cos xC ．y ＝2xD ．y ＝x ﹣lnx10．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A ．47B ．23C ．13D ．1611．声压级（SPL ）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为dB （分贝）．人类产生听觉的最低声压为20μPa （微帕），通常以此作为声压的基准值．声压级的计算公式为：SPL =20×lgP P ref，其中P 是测量的有效声压值，P ref 声压的基准值，P ref ＝20μPa ．由公式可知，当声压P ＝20μPa 时，SPL ＝0dB ．若测得某住宅小区白天的SPL 值为50dB ，夜间的SPL 值为30dB ，则该小区白天与夜间的有效声压比为（ ） A ．53B ．10C ．32D ．2012．已知函数f(x)=ae x −12x 2(a ∈R)，①当a ≤0时，f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减； ②当0＜a ＜1e 时，f （x ）有两个极值点； ③当a ≥1e 时，f （x ）有最大值． 那么上面说法正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
2023—2024学年北京市清华大学附属中学高二下学期期末数学试卷
2023—2024学年北京市清华大学附属中学高二下学期期末数学试卷一、单选题(★) 1. 设集合，，则集合（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 已知向量，，若，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（）A．B．6C．8D．10(★★) 5. 设，若，则（）A．80B．40C．D．(★★) 6. “一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（）A．5B．6C．7D．8(★★★) 7. 已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 8. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（）A．B．3C．8D．9(★★★) 9. 将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 11. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________ .(★★★) 12. 设函数，若的最小值为，则的值为______ .(★★★) 13. 已知数列满足，，设，则 ____________ ；的最小值为 ____________ .(★★) 14. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 ____________ .(★★★★★) 15. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论：①函数在无数个点处的曲率为1；②函数的曲率恒为；③函数的曲率半径随着变大而变大；④若函数在与（）处的曲率半径相同，则.其中，所有正确结论的序号是 _____________ .三、解答题(★★★) 16. 在五面体中，平面，平面.(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 17. 已知函数，其中，，若在上单调递减，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.(1)求，的值；(2)当时，函数恰有一个零点，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(★★★) 18. 为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率；(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明）(★★★★) 19. 已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值. (★★★★) 20. 已知函数，其中.(1)若在处取得极值，求的单调区间；(2)若对于任意，都有，求的值.(★★★★★) 21. 已知为有穷实数数列.对于实数，若中存在，使得，则称为连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作.(1)设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得；(2)求所有的整数，使得存在数列满足；(3)设数列与数列满足，，，.证明：.。
北京市高二下学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知椭圆与双曲线焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点距离和为10，则椭圆C 221313x y -=C C的短轴长为（ ） A ．3 B ．6 CD ．【答案】B【分析】根据条件求出，,应用关系计算即可．a c ,,abc 2b 【详解】因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以，即，C 210a =5a =因为椭圆与双曲线的焦点相同，，即，C 221313x y -=231316c =+=4c =，则椭圆的短轴长为．3b ∴==C 26b =故选：．B 2．等差数列的前项和为，已知，则（ ） {}n a n n S 59a =9S =A ．9 B ．45C ．81D ．162【答案】C【分析】根据等差数列求和公式及等差中项性质即可求值． 【详解】因为等差数列中，所以． {}n a 59a =195959()929998122a a a S a +⨯====⨯=故选：C ．3．若数列的前项和，则等于（ ） {}n a n 2*()n S n n N =∈12231111+++⋯+n n a a a a a a A ．B ．C ．D ．21nn +421nn +21nn -12n +【答案】A【分析】根据给定条件，利用数列的前项和求出该数列的通项，再利用裂项相消法求和作答.n 【详解】当时，，而满足上式，则，2n ≥221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-111a S ==21n a n =-因此， 111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+所以1223111111111111[(1((()]2335572121n n a a a a a a n n ++++=-+-+-++--+L L . 11(122121n n n =-=++故选：A4．椭圆的焦距为4，则的值为（ ）2255x ky -=kA ．或B ．或C ．D ．53-1-531-53-1-【答案】D【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求2255x ky -=x y 出的值．k 【详解】由椭圆化为标准形式得：2255x ky -=， 2215y x k-=且椭圆的焦距，2255x ky -=242c c =⇒=当椭圆焦点在轴上时，，，x 21a =25b k=-则由，所以，222a b c =+2225551143c a b k k k ⎛⎫=-=--=+=⇒= ⎪⎝⎭此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意，2213y x -=当椭圆焦点在轴上时，，，y 25a k=-21b =，解得，2222512c a b k=-=--=1k =-此时方程为：，满足题意2215y x +=综上所述，的值为． k 1-故选：D ．5．已知公比为的等比数列前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）条件 q {}n a n n S 1q >{}n S A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若时，，1,2q n >≥1n n n S S a --=当时，，则，此时为递减数列，10a <110n n a a q -=<1n n S S -<{}n S 即充分性不成立； ②若“为递增数列”，{}n S 即时，，则有，2n ≥1n n S S ->10n n S S -->而并不能推得，如，故必要性不成立， 110n n a a q -=>1q >111,2a q ==故“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件， 1q >{}n S 故选：D.6．已知函数在处有极值10，则（ ） 322()f x x ax bx a =+++1x =a b +=A ．0或－7 B ．0 C ．－7 D ．1或－6【答案】C【分析】求出，由，可得． ()f x '()01f '=1(1)0f =【详解】解：由，322()f x x ax bx a =+++得，()232f x x ax b '=++，即， (1)0(1)10f f =⎧⎨='⎩2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩解得或（经检验应舍去），411a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩， 4117a b +=-=-故选：C ．7．双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于()222210,0y x a b a b -=>>21y x =+（ ）A B C D 【答案】A【分析】将双曲线渐近线方程代入抛物线方程，由可求得，根据Δ0=2214b a =e =果.【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：， ay x b=±将代入抛物线方程得：，，解得：，a y xb =20bx ax b -+=2240a b ∴∆=-=2214b a =双曲线的离心率∴c e a ===故选：A.8．函数，正确的命题是()ln f x x x =A ．值域为B ．在 是增函数R ()1+¥，C ．有两个不同的零点 D ．过点的切线有两条()f x ()1,0【答案】B【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线. 【详解】因为，所以，()ln f x x x =1()ln 10f x x x e'=+=⇒=因此当时在上是增函数，即在上是增函数；1x e >()0,()'>f x f x 1(,)e+∞(1,)+∞当时在上是减函数，因此；值域不为R;10x e <<()0,()'<f x f x 1(,)e -∞11()(f x f e e≥=-当时,当时只有一个零点，即只有一个零点； 10x e <<()0f x <1x e>(1)0f =∴ ()f x ()f x 设切点为，则，所以过点的切线只有一条； 000(,ln )x x x 00000ln ln 111x x x x x =+∴=-()1,0综上选B.【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.9．，是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为A B 22y x =O OA OB ⊥||||OA OB ⋅（ ） A ．B ．4C ．8D ．6454【答案】C【分析】联立直线，的方程和抛物线方程，求出点，的坐标，再求出，OA OB A B 22444||OA k k=+，根据基本不等式即可求出最小值．242||44OB k k =+【详解】解：设直线的方程为，， OA y kx =0k ≠，OA OB ⊥ 直线的方程为，∴OB 1=-y x k由，解得，即，，则，22y kx y x =⎧⎨=⎩222x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222(,A k k 22444||OA k k =+由，解得，即，则， 212y xk y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩222x k y k ⎧=⎨=-⎩2(2,2)B k k -242||44OB k k =+ 2422242441(||||)(4)16(2)OA OB k k k k k k∴⋅=++=++，当且仅当时取等号，16(264≥+=1k =±的最小值为8．||||OA OB ∴⋅故选：C ．10．设函数，，若曲线上存在一点，使得点关于原1()2f x x x=+-()e ()=-+∈x ag x a R x ()y f x =P P 点的对称点在曲线上，则（ ） O ()y g x =a A ．有最小值 B ．有最小值1e-1e C ．有最大值 D ．有最大值1e -1e【答案】A【分析】设，则点关于原点的对称点为，则，即(,)P x y P (,)x y --12e x y x x ay x -⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪-⎩12e xa x x x -+-=+有解，即可得出答案．【详解】设，则点关于原点的对称点为，(,)P x y P (,)x y --所以，12e x y x x a y x -⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪-⎩因为存在这样的点使得点关于原点的对称点在曲线上，P P O ()y g x =所以有解，12e xa x x x-+-=+所以， 212e x x x a x -+--=所以， 2(1)e x x a x ---=令，2()(1)h x x a =--所以在处取得最小值，且， ()h x 1x =(1)h a =-令，()e x t x x -=，()()e e e 1x x x t x x x ---='=--当时，，当时，，1x <()0t x '>1x >()0t x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()t x (,1)-∞(1,)+∞所以在取得最大值， ()t x 1x =()1111e et -=⨯=因为方程有解， 所以，()()11h t ≤即， 1ea -≤所以，1ea ≥-所以的最小值为． a 1e-故选：A ．二、填空题11．已知二项式，则__．52345012345(21)x a a x a x a x a x a x -=+++++135a a a ++=【答案】122【分析】根据二项展开式，利用赋值法，即可解出． 【详解】解：令得，①， 1x =015...1a a a +++=令得，② =1x -0125...243a a a a -+--=-①②得，． -135122a a a ++=故答案为：．12212．已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点，则P 212y x =-P x M 74,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的最小值为_____．||||PA PM +【答案】##4.592【分析】先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为到准线与到点距离之和最P P A 小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断出、P P P A 、三点共线时距离之和最小，利用两点间距离公式求得，则可求． F ||||PF PA +||FA ||||PA PM +【详解】解：依题意可知，抛物线即抛物线焦点为，准线方程为，212y x =-22y x -=10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭12y =只需直接考虑到准线与到点距离之和最小即可，（因为轴与准线间距离为定值不会影响讨P P A x 12论结果），如图所示：由于在抛物线中到准线的距离等于到焦点的距离，P P 此时问题进一步转化为距离之和最小即可为曲线焦点）， ||||PF PA +(F 显然当、、三点共线时距离之和最小，为， P A F ||||PF PA +||FA由两点间距离公式得，5FA ==那么到的距离与到轴距离之和的最小值为． P A P x 1195222FA -=-=故答案为：．9213．等差数列中，且，，成等比数列，数列前20项的和____ {}n a 410a =3a 6a 10a {}n a 20S =【答案】200或330【分析】根据等差数列中，且，，成等比数列，列出关于首项、公差的方{}n a 410a =3a 6a 10a 1a d 程，解方程可得与的值，再利用等差数列的求和公式可得结果. 1a d 【详解】设数列的公差为，则，{}n a d 3410a a d d =-=-，641042102,6106a a d d a a d d =+=+=+=+由成等比数列，得，3610,,a a a 23106a a a =即，()()()210106102d d d -+=+整理得，解得或， 210100d d -=0d =1d =当时，； 0d =20420200S a ==当时，， 1d =14310317a a d =-=-⨯=于是， 2012019202071903302S a d ⨯=+=⨯+=故答案为200或330.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基n本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，1,,,,,n n a d n a S 通过列方程组所求问题可以迎刃而解.14．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答） 【答案】144【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有种情况，2323A A 12=②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有种情况，24A 12=则有种排法， 1212144⨯=故答案为：144．15．设函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，规定()y f x =11(,)A x y 22(,)B x y ,A B k k ，（为线段的长度）称为曲线在点与点之间的“弯曲度”，给||(,)||A B k k A B AB ϕ-=AB AB ()y f x =A B 出以下命题，其中所有真命题的序号为 __．①函数图像上两点与的横坐标分别为1和，则； 3y x =A B 1-(,)0A B ϕ=②存在这样的函数，其图像上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③，是抛物线上任意不同的两点，都有；A B 2y x =(,)2A B ϕ≤④曲线是自然对数的底数）上存在不同的两点，，使． e (e =x y A B (,)1A B ϕ>【答案】①②③【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数，在点与点之间的“弯曲度”判断3y x =21y x =+A B ①、③；举例说明②正确；求出曲线上两点，的“弯曲度”，然后结合不等式的性11(,)A x y 22(,)B x y 质，即可判断④．【详解】对于①：因为， 3y x =所以，23y x '=所以，，3A k =3B k =所以，故①正确； (,)0A B ϕ=对于②：例如，， y x =1y '=即曲线上任意一点，都有， P 1P k =所以为常数，故②正确； (,)0A B ϕ=对于③：，， 21y x =+2y x '=所以(,)A B ϕ因为，，2111y x =+2221y x =+所以，(,)2A B ϕ≤故③正确；对于④：，，e x y =e x y '=(,)A B ϕ=因为，为不同的两点， A B 所以， 12x x ≠所以，(,)1A B ϕ<=故④错误．故答案为：①②③．三、解答题16．已知数列为等差数列，各项为正的等比数列的前项和为，且，{}n a {}n b n n S 1122a b ==，_____．现有条件：①；②；③． 2810a a +=1()n n S b R λλ=-∈43212a S S S =-+2()n n b a R λλ=∈(1)求数列的通项公式；{}n a (2)条件①②③中有一个不符合题干要求，请直接指出（无需过程）；(3)从剩余的两个条件中任选一个作为条件（在答题纸中注明你选择的条件），求数列的前{}n n a b +n 项和．n T【答案】(1) n a n =(2)③ (3)答案见解析【分析】（1）直接利用等差数列的性质，建立关系式，进一步求出数列的通项公式； （2）直接利用已知条件求出结果；（3）先算得公比为2，再利用分组法的应用求出数列的和．【详解】解：（1）由于数列为等差数列，各项为正的等比数列的前项和为，且{}n a {}n b n n S ，，1122a b ==2810a a +=故，整理得，； 11710a d a d +++=11a =1d =故；11n a n n =+-=（2）选项③不符合题干，由于，，整理得， 11a =12b =1λ=所以，与数列为等比数列相矛盾， 2n b n ={}n b 故③错误．（3）选①时，，①， 1()n n S b R λλ=-∈当时，整理得，解得； 1n =111b b λ=-12λ=所以，112n n S b =-当时，，②， 2n ≥11112n n S b --=-①②得：（常数）， -12nn b b -=故数列是以2为首项，2为公比的等比数列；{}n b 故；2nn b =选条件②时，；设等比数列的公比为， 43212a S S S =-+q 所以，解得舍去）；220q q --=2(1q =-所以；2nn b =故，2nn n a b n +=+所以． 2121(1)2(21)(12...)(22...2)222212n nn n n n n nT n ++⨯-+=+++++++=+=+--17．根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同学都各自i a 1i =⋯⋯110~a a 1120~a a 独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表： 学生科目 1a 2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a 13a14a15a16a17a18a 19a20a政治 1 1 1 1 1 1 1 1 1历史 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1地理 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1物理 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1化学 1 1 1 1 1 1 1 1 1生物 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记为“偏文”女生的人数，求的分X X 布列和数学期望；(3)记随机变量，样本中男生的期望为，方差为；女生的期望为0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文1()E ξ1()D ξ，方差为，试比较与；与的大小（只需写出结论）． 2()E ξ2()D ξ1()E ξ2()E ξ1()D ξ2()D ξ【答案】(1)3376(2)分布列见解析，3()5E X =(3)， 12()()E E ξξ<12()()D D ξξ<【分析】（1）根据表格计算出20人中偏理的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可． （2）由表格可知取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为，的所有可能取值为0，1，2，310X 结合二项分布的概率公式求出相应的概率，得到的分布列，进而求出即可．X ()E X （3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知，12()()E E ξξ<．12()()D D ξξ<【详解】（1）由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人， 则偏理共有11人，偏文共有9人，设恰有2名同学选择科目是“偏理”为事件，A 则（A ）．P 21119320C C 55933C 2019376⨯===⨯⨯（2）由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人， 所以抽取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为， 632010=则，1，2，X 0=，，， 2349(0)(1)10100P X ==-=()123342211C 1101010050P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭239(2)(10100P X ===所以的分布列为： X X 01 2P 4910021509100． 492193()012100501005E X ∴=⨯+⨯+⨯=（3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人， 则，12()=30.3=0.9()=60.6=3.6E E ξξ⨯⨯，， 12()=30.30.7=0.63()=60.60.4=1.44D D ξξ⨯⨯⨯⨯，故，． 12()()E E ξξ<12()()D D ξξ<18．已知函数． ()3ln 4f x x x x=--(1)求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f (2)若函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围．()()g x f x a =-1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 7y =-(2) [)8ln2,7---【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程；(2)利用导数判断函数的单调性，数形结合即可得到答案.()f x 【详解】（1）由题意得，，则，又， ()2134f x x x=+-'()10f '=()17f =-故所求切线方程为y ＝－7．（2）函数的定义域为， ()f x (0,)+∞由（1）知，， ()()()22431134x x f x x x x +-=+=-'-注意到，430x +>当时，，单调递增； 01x <<()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减，1x >()0f x '<()f x ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为， ()f x ()0,1()1,+∞∴在x ＝1时取得极大值．()f x ()17f =-而，，18ln22f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()3ln313f =-则，即．()13ln3ln2502f f ⎛⎫-=+-< ⎪⎝⎭()132f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭作出函数在上的大致图象，()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦由题意只需y =a 与y =f (x )有两个交点观察图象可知，实数a 的取值范围为．[)8ln2,7---【点睛】利用导数分析函数的单调性，结合单调性作函数的图象，利用函数图象研究方程的解是问题解决的关键.19．已知椭圆的右焦点为，且经过点.2222:1x y C a b+=(1,0)(0,1)A （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于:(1)l y kx t t =+≠±点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）；2212x y +=（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以； (1,0)1225因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.(0,1)A 1b =2222a b c =+=2212x y +=（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立得，2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩222(12)4220k x ktx t +++-=，，21212224220,,1212kt t x x x x k k-∆>+=-=++121222()212t y y k x x t k +=++=+. 222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+直线，令得，即；111:1y AP y x x --=0y =111x x y -=-111x OM y -=-同理可得. 221x ON y -=-因为,所以；2OM ON =1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.221121t t t -=-+0=t y kx =l (0,0)【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．已知函数．()()2ln f x x ax x a R =+-∈（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；()f x []1,2a （2）令，是否存在实数，使得当时，函数的最小值是3？若存()()2g x f x x =-a (]0,x e ∈()g x 在，求出实数的值；若不存在，说明理由；a （3）当时，证明. (]0,x e ∈225(1)ln 2e x x x x >++【答案】（1）（2）存在，（3）见解析72a ≤-2a e =【分析】（1）先求导可得,则可将问题转化为在上恒成2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=()0f x '≤[]1,2立,即在上恒成立,设,求得,即可求解；12a x x ≤-+[]1,2()12h x x x =-+()min h x （2）先对求导,再分别讨论,,时的情况,由最小值为3,进而求解；()g x 0a ≤10e a<<1e a ≥（3）令,结合（2）中知的最小值为3.再令并求导,再由导函数()2ln F x e x x =-()F x ln 5()2x x x ϕ=+在大于等于0可判断出函数在上单调递增,从而可求得最大值也为3,即有0x e <≤()ϕx (]0,e 成,，即成立,即可得证. 2ln 5ln 2x e x x x ->+225ln ln 2e x x x x x ->+【详解】（1）解:在上恒成立,2121()20x ax f x x a x x'+-=+-=≤[]1,2即在上恒成立, 2210x ax +-≤[]1,2所以在上恒成立, 12a x x≤-+[]1,2设,则在上单调递减,所以()12h x x x =-+()h x []1,2()()min 722h x h ==-所以72a ≤-（2）解:存在,假设存在实数,使有最小值3,a ()()(]()2ln 0,g x f x x ax x x e =-=-∈ 11()ax g x a x x'-=-=①当时,,则在上单调递减, 0a ≤()0g x ¢<()g x (]0,e 所以,解得（舍去）； ()()min 13g x g e ae ==-=4a e=②当时,当,则；当,则, 10e a <<10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ¢<1,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ¢>所以在上单调递减,在上单调递增,()g x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦∴,解得,满足条件；()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭2a e =③当时,,则在上单调递减,1e a ≥()0g x ¢<()g x (]0,e 所以,解得（舍去）, ()()min 13g x g e ae ==-=4a e=综上,存在实数,使得当时有最小值3.2a e =(]0,x e ∈()g x （3）证明:令,由（2）知,,()2ln F x e x x =-()min 3F x =令,则,ln 5()2x x x ϕ=+21ln ()xx x ϕ'-=当时,,则在上单调递增, 0x e <≤()0x ϕ'≥()ϕx (]0,e ∴max 1515()()3222x e e ϕϕ==+<+=∴, 2ln 5ln 2x e x x x ->+即． 225(1)ln 2e x x x x >++【点睛】本题考查利用导函数由函数单调性求参问题,考查利用导函数求最值问题,考查构造函数处理不等式恒成立的证明问题.21．已知数列，，，满足且，2，，，数列，，1:A a 2a ⋯(2)n a n ≥*i a ∈N 1(1i a i i ≤≤=⋯)n 1:B b 2b，满足，2，，，其中，，2，，表示，，⋯(2)n b n ≥()1(1i i b a i τ=+=⋯)n 1()0a τ=()(1i a i τ=⋯)n 1a 2a ，中与不相等的项的个数． ⋯1i a -ia (1)数列，1，2，3，4，请直接写出数列； :1A B (2)证明：，2，，(1i i b a i ≥=⋯)n (3)若数列A 相邻两项均不相等，且与A 为同一个数列，证明：，2，，． B (1i a i i ==⋯)n 【答案】(1)1，1，3，4，5 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）分类证明，时，；时，设，证即可证明； 1i =111b a =≥2i ≥i a k =()1i a k τ≥-i i b a ≥（3）分类证明，时，，结论正确；时，假设，，，中有一项与相等，1i =11a =2i ≥1a 2a ⋯1i a -i a 设为，利用反证法证明即可.k a 【详解】（1），，，11()1011b a τ=+=+=22()1011b a τ=+=+=33()1213b a τ=+=+=，.44()1314b a τ=+=+=55()1415b a τ=+=+=故数列为1，1，3，4，5.B （2）证明：i. 时，由知，，结论正确； 1i =1i a i ≤≤11a =111()11b a a τ=+=≥ii. 时，设，， 2i ≥i a k =(1)k i ≤≤①若，则有；1k =i i b a ≥②若，则由，，，知，，，中均不与相等， 2k i ≤≤11a ≤22a ≤⋯11k a k -≤-1a 2a ⋯1k a -i a 于是，. ()1i a k τ≥-()1i i i b a k a τ=+≥=综上，2，，.(1i i b a i ≥=⋯)n （3）证明：i. 当时，，结论正确；1i =11a =ii. 当时，假设，，，中有一项与相等，设为，2i ≥1a 2a ⋯1i a -i a k a 在数列，，，，，中，由，，可知第i 项之前与不相等的项比第1a 2a ⋯k a ⋯1i a -i a 1i i a a -≠i k a a =i a 项之前与不相邻的项至少多了一项，则，k k a 1i a -()()i k a a ττ>于是，又与A 为同一个数列，则，这与矛盾，()1()1i i k b a k b ττ=+>+=B i i k k a b b a =>=i k a a =于是，，，中均不与相等，则.1a 2a ⋯1i a -i a ()1i i i a b a i τ==+=综上若数列A 相邻两项均不相等，且与A 为同一个数列，则，2，，．B (1i a i i ==⋯)n。
2024北京丰台区高二(下)期末数学试题及答案
2024北京丰台高二（下）期末数 学2024.07一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}04A x x =<≤，{}13B x x =−≤≤，则A B =（ ）A ．(]0,3B ．[]0,3C ．[]1,0)(0,4−⋃D ．[]1,4−2．在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（ ） A ．某商品的销售价格与销售量 B ．汽车匀速行驶时的路程与时间 C ．气温与冷饮的销售量D ．人的年龄与视力3．已知命题p ：1x ∃>，210x +>，则p ⌝是（ ） A ．1x ∀>，210x +> B ．1x ∀>，210x +≤ C ．1x ∃>，210x +≤ D ．1x ∃≤，210x +≤4．已知复数11iz =−，则它的共轭复数z =（ ） A ．11i 22+ B ．11i 22− C ．11i 22−+ D ．11i 22−−5．下列求导运算错误的是（ ） A ．()32223566x x x x '−+=− B ．()cos 2sin 2x x '=−C ．'=D ．()()e1e xxx x '=+6．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），则“0x =”是“复数z 对应的点在虚轴上”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()23cos f x x x =−，则（ ） A ．()()()3e πf f f −<< B ．()()()πe 3f f f <<− C ．()()()π3e f f f <−<D ．()()()e 3πf f f <−<8．若0a >，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．1B ．3C ．9D ．109．在同一平面直角坐标系xOy 内，函数()f x 及其导函数()f x '的图象如图所示．已知这两个函数图象恰有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A ．函数()exf x y =的最大值为1B ．函数()exf x y =的最小值为1C ．函数()e x y f x =的最大值为1D ．函数()e x y f x =的最小值为110．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A ．44B ．46C ．52D ．54第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．612x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是______．12．已知线性相关的两个变量x 和y 的取值如下表，且经验回归方程为9ˆ0.5ˆyx a =+，则ˆa =______．占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为______．14．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组实数a ，b ，c 的值依次为______． 15．已知函数()()2e1xf x axx =−−（a ∈R ）．给出下列四个结论：①当1a =时，若()f x 的图象与直线y m =恰有三个公共点，则m 的取值范围是25e,e ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②若()f x 在2x =−处取得极小值，则a 的取值范围是1,2⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭； ③a ∀∈R ，曲线()y f x =总存在两条互相垂直的切线； ④若()f x 存在最小值，则a 的取值范围是()0,+∞． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题共14分）2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没．逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．（Ⅰ）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？（Ⅱ）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？（Ⅲ）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 17．（本小题共13分）在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表：（Ⅱ）从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记ξ为甲球员未上场的场数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ． 18．（本小题共14分） 已知函数()2212x f x x +=+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的极值． 19．（本小题共14分）随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对A ，B 两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用A 款软件的用户和仅使用B 款软件的用户各500人，采用打分方式进行调查，情况如下图：根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表：（Ⅰ）分别估计仅使用A 款软件的全体用户和仅使用B 款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；（Ⅱ）从仅使用A 款软件的全体用户中随机选取2人，从仅使用B 款软件的全体用户中随机选取1人，估计这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；（Ⅲ）从仅使用A ，B 两款软件的全体用户中各随机选取10人进行电话回访，记X 为仅使用A 款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，Y 为仅使用B 款软件的10人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较X ，Y 的方差()D X ，()D Y 的大小．（结论不要求证明） 20．（本小题共15分）已知函数()()()21ln f x x x ax =+−−（a ∈R ）．（Ⅰ）若()f x 在区间[)1,0−上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =−时，求证：()0f x <． 21．（本小题共15分）已知集合{}1,2,,M n =⋅⋅⋅（*n ∈N ，且4n ≥）．若集合A ，B 同时满足下列两个条件，则称集合A ，B具有性质P ． 条件（1）：AB =∅，A B M =，且A ，B 都至少含有两个元素；条件（2）：对任意不相等的1a ，2a A ∈，都有12a a A +∉，对任意不相等的1b ，2b B ∈，都有12b b B ∉．（Ⅰ）当5n =时，若集合A ，B 具有性质P ，且集合A 中恰有三个元素，试写出所有的集合B ；（Ⅱ）若集合A ，B 具有性质P ，且2B ∈，3B ∈，求证：14n <； （Ⅲ）若存在集合A ，B 具有性质P ，求n 的最大值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．11．160− 12．2.6 13．7814．1−，2−，3−（答案不唯一） 15．②④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：（Ⅰ）因为4名同学观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有44A 24=种．（Ⅱ）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以不同的选择方法共有4416⨯=种． （Ⅲ）因为恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法共有212443C C A 646144=⨯⨯=种． 17．（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件A =“甲球员上场参加比赛时，该球队获胜”， 则()4084059P A ==+．（Ⅱ）表中该球队未获胜的场次共有538+=场，其中甲球员上场的场次有5场，未上场的场次有3场， 则ξ的可能取值为0，1，2，3．()0335385028C C P C ξ===，()123538151,28C C P C ξ=== ()21353815256C C P C ξ===，()3035381356C C P C ξ===． 所以ξ的分布列如下：所以()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 18．（本小题14分）解：（Ⅰ）由已知得()()()()()2222222222122422x x x x x f x xx+−+−−+==++'，所以()10f '=．因为()11f =，所以切点为()1,1，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()()()222212x x f x x+−'=−+，x ∈R ．令()0f x '>，得21x −<<， 令()0f x '<，得2x <−或1x >， 所以()f x 的单调递增区间为()2,1−， 单调递减区间为(),2−∞−，()1,+∞． 所以()f x 有极小值为()122f −=−，极大值为()11f =． 19．（本小题14分）解：（Ⅰ）设事件E =“仅使用A 款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 事件F =“仅使用B 款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”， 则()30035005P E ==，()25015002P F ==． （Ⅱ）设事件C =“这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，则()2123212185525225P C C ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭．（Ⅲ）()()D X D Y <． 20．（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知得()()()2112ln 2ln 2x f x x a x a x x+=−+−=−++−'， 设()()12ln 2g x x a x=−++−，[)1,0x ∈−， 因为()f x 在区间[)1,0−上单调递减， 所以[)1,0x ∈−时，()0g x ≤恒成立． 因为[)1,0x ∈−时，()2210g x x x =−<'，所以()g x 在区间[)1,0−上单调递减，所以()g x 的最大值为()110g a −=−≤，即1a ≥． 当1a =时，符合题意． 所以1a ≥．（Ⅱ）当1a =−时，()()()21ln f x x x x =+−+，0x <， 则()()()2112ln 12ln 3x f x x x x x'+=−++=−++． 设()()12ln 3,0h x x x x=−++<，则()2210h x x x =−<'，所以()h x 在区间(),0−∞上单调递减． 因为()120h −=>，112ln 202h ⎛⎫−=−< ⎪⎝⎭， 所以011,2x ⎛⎫∃∈−− ⎪⎝⎭，使得()()00012ln 30h x x x =−++=， 即()00031ln 2x x x +−=−． 当x 变化时，()h x ，()f x '，()f x 的变化如下表：所以f x 的最大值为000021ln f x x x x =+−+()()00031212x x xx ++=−+()()0004112x x x ++=−．因为011,2x ⎛⎫∈−−⎪⎝⎭，所以0410x +<，010x +>， 所以()00f x <，故()0f x <． 21．（本小题15分）解：（Ⅰ）所有的集合B 为{}2,4，{}3,4，{}3,5．（Ⅱ）记“对任意不相等的1a ，2a A ∈，都有12a a A +∉”为条件①， 记“对任意不相等的1b ，2b B ∈，都有12b b B ∉”为条件②． 由条件②得1A ∈．由2B ∈，3B ∈和条件②得236B ⨯=∉，即6A ∈． 由条件①得615A −=∉，即5B ∈． 由条件②得2510B ⨯=∉，即10A ∈． 由条件①得1064A −=∉，即4B ∈． 由条件②得248B ⨯=∉，即8A ∈． 由条件①得8614A +=∉，即14B ∈． 由条件①得817A −=∉，即7B ∈． 由条件②得2714B ⨯=∉，与14B ∈矛盾， 所以14M ∉，即14n <．．．．．．．．．．．．．．8分 （Ⅲ）n 的最大值为32．证明如下：一方面，当32n =时，可构造集合{}1,2,4,7,10,15,18,24,27,30A =，{}3,5,6,8,9,11,12,13,14,16,17,19,20,21,22,23,25,26,28,29,31,32B =具有性质P ；另一方面，当33n ≥时，可证明不存在具有性质P 的集合A ，B ．证明如下： 由（Ⅱ）知，1A ∈，且当2B ∈，3B ∈时，14n <， 此时不存在具有性质P 的集合A ，B ． 由条件①得2，3不能同时属于集合A ．下面讨论2和3一个属于集合A ，一个属于集合B 的情况： （1）当3A ∈，2B ∈时，由条件①得134A +=∉，即4B ∈． 由条件②得248B ⨯=∉，即8A ∈．由条件①得835A −=∉，817A −=∉即5B ∈，7B ∈． 因为2B ∈，4B ∈，5B ∈，7B ∈， 由条件②得2714B ⨯=∉，4520B ⨯=∉， 即14A ∈，20A ∈．由条件①得1486A −=∉，20812A −=∉，即6B ∈，12B ∈．由条件②得2612B ⨯=∉，与12B ∈矛盾，此时不存在具有性质P 的集合A ，B ． （2）当2A ∈，3B ∈时，由条件②得4，5不能同时属于集合A ，下面分三种情形： 情形一：若4A ∈，5B ∈，由条件①得246A +=∉，即6B ∈． 由条件②得3515B ⨯=∉，3618B ⨯=∉，即15A ∈，18A ∈． 由条件①得151833A +=∉，即33B ∈． 由条件①得15411A −=∉，即11B ∈．由条件②得31133B ⨯=∉，与33B ∈矛盾，此时不存在具有性质P 的集合A ，B ． 情形二：若5A ∈，4B ∈，由条件①得156A +=∉，257A +=∉，即6B ∈，7B ∈． 由条件②得4728B ⨯=∉，即28A ∈． 由条件①得52833A +=∉，即33B ∈． 由条件②得3412B ⨯=∉，即12A ∈． 由条件①得12111A −=∉，即11B ∈．由条件②得31133B ⨯=∉，与33B ∈矛盾，此时不存在具有性质P 的集合A ，B ． 情形三：若4B ∈，5B ∈，由条件②得4520B ⨯=∉，即20A ∈． 由条件①得20218A −=∉，即18B ∈． 由条件②得1836B ÷=∉，即6A ∈． 由条件①得167A +=∉，即7B ∈． 由条件②得3721B ⨯=∉，即21A ∈． 由条件②得3515B ⨯=∉，即15A ∈． 由条件①得61521A +=∉，与21A ∈矛盾， 此时不存在具有性质P 的集合,A B ． 综上，n 的最大值为32．。
北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学试题(含答案)
北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学2024.7本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，若，则（）A. B. C. D. 2. 某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI 指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（ ）A. 肺活量B. 视力C. 肢体柔韧度D. BMI 指数3. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B.C. D. 4. 袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（ ）A.B.C.D.{}20,,M a a ={}2,1,0,1,2N =--1M ∈M N ⋂={}0,1{}1,0,1-{}0,1,2{}2,1,0,1,2--,R x y ∈x y >22x y >11x y>ln ln x y>22x y>2312133105. 已知，，则的值为（ ）A. 15B.C.D. 6. ，，三所大学发布了面向高二学生夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（ ）A 30种B. 36种C. 72种D. 81种7. 2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ）A. B. C. D. 8. 已知直线被圆截得弦长为整数，则满足条件的直线共有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9. 已知函数，则“”是“为的极小值点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ）A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.的.的23a =4log 5b =22a b -53352-A B C 4.2m F 0.49m A F 2.25m 2.74m4.5m4.99m:250l mx y m --+=()()22344x y -+-=l ()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R 0b a >>b ()f x a b m a b m ()mod a b m ≡()0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3,mod5a a b =+⨯+⨯++⨯≡ b11. 函数的定义域是_________.12. 已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为_________.13. 已知二项式的所有项的系数和为，则_____________；_________.14. 某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项目如下表所示：岗位环保宣讲器材收纳校史讲解食堂清扫图书整理时长20分钟20分钟25分钟30分钟40分钟每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组合方式共有________种.15 设，函数给出下列四个结论：①当时，函数的最大值为0；②当时，函数是增函数；③若函数存在两个零点，则；④若直线与曲线恰有2个交点，则.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛.（1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，求甲领先的概率；（2）若每局比赛乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，求乙以赢得比赛的概率.17. 设函数，其中.曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求的单调区间..()ln f x x =+C ()2,0-()2,0y =C ()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++243n =2a =R a ∈()32,,ax x x af x x x a⎧->=⎨-≤⎩0a =()f x 7a =()f x ()f x 01a <<y ax =()y f x =a<010:1045124:0133:1()e xf x a x =+R a ∈()y f x =(0,(0))f y x b =-+a b ()f x18. 近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如下表：充电时间段充电价格（元/千瓦时）充电服务费（元/千瓦时）峰时10：00—15：00和18：00—21：001.0平时7：00—10：00，15：00—18：00和21：00—23：000.7谷时当日23：00—次日7：000.40.8（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率；（2）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设为遥遥每次充电的费用，求的分布列和数学期望；（3）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.19. 已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.（1）求的方程；（2）过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.1A 2A 3A 4A 5A 6A 1B 2B 3B 4B 1A X X 2222:1(0)x y E a b a b+=>>A B E F E π3AFB ∠=E F E P Q AP AQ 4x =M N FM FN 1k 2k 12k k20. 已知函数.（1）当时，求极值；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）.21. 已知项数列，满足对任意的有. 变换满足对任意，有，且对有，称数列是数列的一个排列. 对任意，记，，如果是满足的最小正整数，则称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换.（1）已知数列，数列，求，；（2）证明：对于项数列，不存在阶逆序变换；（3）若项数列存在阶逆序变换，求的最小值.的()()2ln 1f x x a x a =--∈R 2a =()f x ()1,x ∈+∞()0f x >a ()f x ()1,+∞0x 20e a x -<e 2.71828...=n ()12:,,...,3n n A a a a n ≥i j ≠i j a a ≠T {}1,2,...,i n ∈(){}12,,...,i n T a a a a ∈i j ≠()()i j T a T a ≠()()()()12:,,...,n n T A T a T a T a n A {}1,2,...,i n ∈()()1i i T a Ta =()()()()1*k k i i T a T T a k +=∈N k ()()11,2,...,k i n i T a a i n +-==n A k T n A k 4:1,2,3,4A ()4:3,1,4,2T A ()24T A ()44T A 44A 3n n A 3n北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学 答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】A 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】B 【8题答案】【答案】C 【9题答案】【答案】A 【10题答案】【答案】D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】()1,+∞【答案】【13题答案】【答案】①. ②. 【14题答案】【答案】20【15题答案】【答案】①③##③①三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1）； （2）.【17题答案】【答案】（1）（2）递增区间为，递减区间为.【18题答案】【答案】（1）（2）分布列略，期望 （3）选择新能源汽车的总花费最少【19题答案】【答案】（1）；（2）证明略.【20题答案】【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明略【21题答案】2213y x -=5404252272a b ==-(,ln 2)-∞-(ln 2,)-+∞13()48E X =22143x y +=0(],2-∞【答案】（1），（2）证明略（3）()24:4,3,2,1T A ()44:1,2,3,4T A 6。
2024北京海淀高二(下)期末数学
2024北京海淀高二（下）期末数 学本试卷共6页，共两部分。
19道题，共100分。
考试时长90分钟。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 5(1)x −的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C. 1D.622. 已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1−D.π3. 若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =−，则公比q =A.12B.12−C.2D.2−4. 下列函数中，在区间[]1,0−上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 2x y =5. 将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D. 246. 小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X =B. () 4.8E X =C. ()0.48D X =D. ()0.96D X =7. 已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23 C .34D .568. 已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 设函数()()ln 1sin f x x a x =−+.若()()0f x f ≤在()1,1−上恒成立，则 A.0a = B.1a ≥C.01a <≤D.1a =10. 在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=− (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ; ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500. 其中正确结论的个数为 A.0 B.1C.2D.3第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
北京高二数学下学期期末考试试题
高二数学下学期期末考试试题第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若),0(,∞+∈b a ，则“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的（ ）． （A ）必要非充分条件； （B ）充分非必要条件；（C ）充要条件； （D ）既不充分也不必要条件． 2．经过点（0，0），且与以（2，－1）为方向向量的直线垂直的直线方程为（ ）． （A ）02=+y x ； （B ）02=-y x ； （C ）02=+y x ； （D ）02=-y x ．3．已知动点P （x ，y ）满足y x y x +=+-22)1(，则点P 的轨迹是（ ）．（A ）椭圆； （B ）双曲线； （C ）抛物线； （D ）两相交直线． 4．（文科）给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行． 其中真命题的个数是（ ）．（A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1．（理科）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）． （A ）平行； （B ）相交； （C ）垂直； （D ）互为异面直线． 5．若关于x 的不等式a x x <++-11的解集为∅，则实数a 的取值范围为（ ）． （A ）)2,(-∞； （B ）]2,(-∞； （C ）),2(∞+； （D ）),2[∞+．6．已知直线l ：2+=ax y 与以A （1，4）、B （3，1）为端点的线段相交，则实数a 的取值范围是（ ）． （A ）31-≤a ； （B ）231≤≤-a ； （C ）2≥a ； （D ）31-≤a 或2≥a ． 7．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x )0(>a 及直线l ：03=+-y x ．当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则=a （ ）．（A ）2； （B ）22-； （C ）12-； （D ）12+．8．已知点A （3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在抛物线上移动，当PF PA +取得最小值时，点P 的坐标是（ ）． （A ）（0，0）； （B ）（2，2）； （C ）（－2，－2） （D ）（2，0）．9．（文科）已知0>a ，0>b ，121=+ba ，则b a +的最小值是（ ）． （A ）24； （B ）223+； （C ） 22； （D ）5．（理科）已知4≥x ，则42542-+-=x x x y 有（ ）．（A ）最大值45； （B ）最小值45； （C ）最大值1； （D ）最小值1． 10．点P 是双曲线112422=-y x 上的一点，1F 和2F 分别是双曲线的左、右焦点，021=⋅PF PF ，则21PF F ∆的面积是（ ）．（A ）24； （B ）16； （C ）8； （D ）12．11．如图1，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝ο90，且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成的角是（ ）． （A ）21arctan； （B ）2arctan ； （C ）32arctan； （D ）3arctan ． 图112．（文科）已知椭圆)0(12222>>=+b a bya x 12P 在椭圆上，且213PF PF =，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）．（A ）32； （B ）21； （C ）31； （D ）41． （理科）已知E 、F 是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠EPF 的最大值是（ ）．（A ）ο15； （B ）ο30； （C ）ο45； （D ）ο60．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．m ，n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题： ①若α⊥m ，β//n ，βα//，则n m ⊥； ②若n m ⊥，βα//，α⊥m ，则β//n ； ③若n m ⊥，βα//，α//m ，则β⊥n ； ④若α⊥m ，n m //，βα//，则β⊥n ．其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）14．对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，则实数m 的取值范围 ．15．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤+,02,02,1y x y x y x 则目标函数y x z +=2的最大值是 ．16．已知抛物线088222=--+-y x y xy x 的对称轴为0=-y x ，焦点为（1，1），则此抛物线的准线方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设0>a ，解关于x 的不等式：11)2(<--x x a ．18．（12分）过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点A 、B ，经过点A 和抛物线顶点的直线交准线于点M ．求证：（Ⅰ）2p y y B A -=；（Ⅱ）直线MB 平行于抛物线的对称轴． 19．（12分）如图2，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为AB 、PC 的中点． （Ⅰ）求证：MN ⊥CD ．（Ⅱ）在棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PMC ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图3，过圆222R y x =+上的动点P 向圆222r y x =+（0>>r R ）引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，求△MON 面积的最小值．21．（12分）已知R b a ∈,，1>x ， 求证：22222)()1(b a b x x a x +≥-+． 22．（14分）文科做（Ⅰ）、（Ⅱ）；理科做（Ⅰ）、（Ⅲ）．已知点B （2，0），)22,0(=，O 为坐标原点，动点P 34=-++． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）当m 为何值时，直线l ：m x y +=3与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =？ （Ⅲ）是否存在直线l ：)0(≠+=k m kx y 与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案与提示:一、选择题1—5 BDBCB ； 6—12 BCBBD BB ． 提示：1．由0)1)(1(10,10122>--⇒<<<<⇒<+b a b a b a b a ab +>+⇒1； 反之由0)1)(1(>--b a 不能推得10,10<<<<b a ．故“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的充分非必要条件．选（B ）． 2．由题设知已知直线的斜率为21-，∴所求直线的斜率为2； 又所求直线过原点，故02=-y x 为所求．选（D ）．3．由题设知动点P 到定点（1，0）的距离和它到定直线0=+y x 的距离的比是常数2，根据双曲线的第二定义可得点P 的轨迹为双曲线．选（B ）． 4．（文科）①、④正确，选（C ）．（理科）对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ； 若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ；若l 不在平面α内，且l 与α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m ⊥l ．故选（C ）．5．由2)1()1(11=++-≥++-x x x x 知2≤a ．选（B ）．6．由A （1，4）、B （3，1）在直线l 上或其异侧得0)13)(2(≤+-a a ． 解得231≤≤-a ．选（B ）． 7．设截得的弦为AB ，圆心为)2,(a C ，作AB CH ⊥于H ，则由平几知识得1=CH ．由此得1232=+-=a CH ，解得12-=a ．选（C ）． 8．点A 在抛物线含焦点区域，过A 作AP 垂直于抛物线的准线交抛物线于点P ，则由抛物线的定义知点P（2，2）为所求点．选（B ）．9．（文科）22323)21)((+≥++=++=+abb a b a b a b a ，选（B ）． （理科）令)2(2≥-=t x t ，则)1(214254)(2tt x x x t f +=-+-=．)(t f 在),2[+∞上是单调递增函数，故y 的最小值是45)2(=f ．选（B ）．10．由021=⋅PF PF6442==+c42±=±=-a ．∴2121=∆PF FS 12．选（D ）．11．如图，过B 作BD ∥CA ，且满足BD ＝CA ， 则∠PBD 为PB 与AC 所成的角． 易得四边形ADBC 为正方形， 由PA ⊥平面ABC 得BD ⊥PD ． 在Rt △PDB 中，a PD 2=，a DB =，2tan ==∠DBPDPBD ．选（B ）． 12．（文科）由题设和焦半径公式得)(442221P ex a PF PF PF a -==+=．a x P ≤<0．∴ea ex a P 22≤=．即21≥e ．选（B ）． （理科）不妨设右准线l 交x 轴于点A ，由平几知识知过E 、F 的圆且与l 相切于点P 时，∠EPF 最大．由圆幂定理得62232=⋅=⋅=AF AE AP ．易得∠FPA ＝ο30，∠EPA ＝ο60，从而∠EPF ＝ο30为所求最大值，故选（B ）． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．①、④； 14．∞+-,12[）； 15．35； 16．02=++y x ． 提示：13．②、③为假命题；①、④为真命题．14．设点)sin 1,(cos θθ+P ，由题设得0sin 1cos ≥+++m θθ． 即θθsin 1cos ++=≤-u m 恒成立．而211)4sin(2-≥++=πx u ，∴21-≤-m ．故m 的取值范围为∞+-,12[）． 15．如图，作出不等式表示的可行域（阴影部分） 和直线l ：02=+y x ，将l 向右上方平行移动，使其经过可行域内的点Ａ)31,32(时，y x z +=2取得最大值．故当32=x ，31=y 时，35max =z ．16．对称轴0=-y x 与抛物线的交点（0，0）为抛物线的顶点，且抛物线的准线垂直于对称轴，焦点（1，1）关于顶点（0，0）的对称点（－1，－1）在准线上，故所求准线方程为02=++y x ．三、解答题17．不等式整理得01)12()1(<----x a x a ．当1≠a 时，不等式为 01)112)(1(<-----x a a x a ．……………（3分） ①当10<<a 时，1112<--a a ，原不等式解集为),1()112,(∞+⋃---∞a a ；……………（6分）②当1=a 时，不等式解集为),1(∞+；……………（9分）③当1>a 时，1112>--a a ，原不等式解集为)112,1(--a a ．……………（12分） 18．（Ⅰ）AB 方程为2p my x +=，代入抛物线px y 22=方程得0222=--p pmy y ．……………（3分）由韦达定理得2p y y B A -=．……………（5分） （Ⅱ）OA 方程为x x y y A A =，与准线方程联立解得M )2,2(AAx py p --．………（8分） ∴B BA A A A A My y pp y p y y p x py y =--=-=-=-=222222．……………（11分） 故直线MB 平行于抛物线的对称轴．……………（12分） 19．（Ⅰ）取AC 的中点O ，连结NO ，MO ，由N 为PC 的中点得NO ∥PA ．……………（2分）又PA ⊥平面ABCD ，∴NO ⊥平面ABCD ．……………（4分） 又∵OM ⊥AB ，由三垂线定理得AB ⊥MN ．又∵CD ∥AB ，∴MN ⊥CD ．……………（6分） （Ⅱ）存在点E ，使得AE ∥平面PMC ． 此时点E 为PD 的中点．……………（8分）证明如下：取PD 的中点E ，连结NE ， 由N 是PC 的中点得NE ∥CD ，CD NE 21=． 又 MA ∥CD ，CD MA 21=， ∴MA ∥NE ，MA ＝NE ．由此可知四边形MNEA 是平行四边形， ∴AE ∥MN ．由⊂MN 平面PMC ，⊄AE 平面PMC ， ∴AE ∥平面PMC ．……………（12分）20．设),(00y x P 为圆222R y x =+上任一点，则θcos 0R x =，θsin 0R y =．由题设知O 、A 、P 、B 在以OP 为直径的圆上，该方程为220202020)2()2()2(y x y y x x +=-+-．……………（4分）而AB 是圆222r y x =+和以OP 为直径的圆的公共弦，将这两圆方程相减得直线AB 的方程为200r y y x x =+．∴)0,(02x r M ，),0(02y r N ．……………（8分）242440042sin sin cos 2221R r R r R R r y x r ON OM S MON≥=⋅==⋅=∆θθθ． 故△MON 面积的最小值为24Rr ．……………（12分）21．∵22222)()1(b a b x x a x +--+ab b x x a x 2)1(12)1(2222---+-=，……（3分） ∵1>x ，∴11)1(1222----x x x 0)1)(1(222>-+=x x x ，即11)1(1222->--x x x ．……………（6分）∴ab b x x a x 2)1(12)1(2222---+-ab b x a x 211)1(2222--+-≥ 022211)122222≥-=--⋅-≥ab ab ab b x a x ，……………（11分） 故22222)()1(b a b x x a x +≥-+．……………（12分） 22．（Ⅰ）设点),(y x P ，则)22,(+=+y x OA OP ，)22,(-=-y x OA OP ． 由题设得34)22()22(2222=-++++y x y x ．………（3分）即点P 到两定点（0，22）、（0，－22）的距离之和为定值34，故轨迹C 是以（0，22±）为焦点，长轴长为34的椭圆，其方程为112422=+y x ．……（6分） （Ⅱ）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，线段MN 的中点为),(000y x M ， 由BN BM =得0BM 垂直平分MN ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=.123,322y x m x y 消去y 得01232622=-++m mx x ．由0)12(24)32(22>--=∆m m 得6262<<-m ．………（10分）∴322210m x x x -=+=，2)32(30m m m y =+-=．即)2,32(0mm M -．由0BM ⊥MN 得1323220-=⋅--=⋅m m k k MN BM ． 故32=m 为所求．………（14分）（Ⅲ）若存在直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ),(11y x 、N ),(22y x ，且满足BN BM =，令线段MN 的中点为),(000y x M ，则0BM 垂直平分MN ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.123,12322222121y x y x两式相减得))(())((321212121y y y y x x x x -+-=-+． ∴k y x y y x x x x y y k MN =-=++-=--=021*******)(3．又由0BM ⊥MN 得k x y k BM 12000-=-=．∴10-=x ，ky 30=．即)3,1(0kM -．………（10分） 又点0M 在椭圆C 的内部，故1232020<+y x ．即12)3()1(322<+-⋅k．解得1>k .又点)3,1(0kM -在直线l 上，∴m k k +-=3．∴3233≥+=+=kk k k m （当且仅当3=k 时取等号）． 故存在直线l 满足题设条件，此时m 的取值范围为），∞+⋃--∞32[]32,(．………（14分）。
北京高二高中数学期末考试带答案解析
北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，则＝（）A．U B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，4}2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．3.已知是等比数列，，则公比q等于（）A．B．C．2D．44.命题“对任意实数x，都有x>1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x<1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤15.“”是“函数在区间上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知，则（）A．B．C．D．7.函数的图象可能是（）A B C D8.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．9.已知数列的前n项和，那么数列（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列10.函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①；②；③函数在区间上是增函数。
其中正确的判断是（）A．①③B．②C．②③D．①②二、填空题1.＝____________。
2.已知函数，则＝____________。
3.若，则的取值范围是____________。
4.已知函数是奇函数，且当时，，则＝____________。
5.已知函数则方程的解为____________；若关于x的方有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是____________。
6.若在区间上存在实数x使成立，则a的取值范围是____________。
三、解答题1.已知集合。
（1）求集合；（2）若，求实数a的取值范围。
2.已知数列是公差为－2的等差数列，是与的等比中项。
（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求的最大值。
3.已知一次函数满足。
（1）求的解析式；（2）求函数的值域。
2022-2023学年北京朝阳区高二下学期期末数学试题及答案
2023北京朝阳高二（下）期末数 学2023.7（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题50分和非选择题100分第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合=−A {1,0,1,2}，集合≤=−<B x x {|11}，则=A B（A ）{0,1}（B ）−{1,1}（C ）−{1,0}（D ）−{1,0,1}（2）已知∈α2)π(,π，且−=α3)πsin(1，则=αcos（A ） （B ）−32 （C ）32 （D（3）已知不等式++<x ax 402的解集为空集，则实数a 的取值范围是（A ）−∞−+∞(,4)(4,) （B ）−∞−+∞(,4][4,) （C ）−(4,4)（D ）−[4,4]（4）从集合{2,3,4,5,6,7,8}中任取两个不同的数，则取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为（A ）72 （B ）73（C ）74 （D ）76 （5）已知=a 3lg1，=b 30.1，=c sin 3，则（A ）>>a b c（B ）>>b c a（C ）>>b a c（D ）>>c b a（6）设R ∈a b ,，则“−<a b a ()02”是“<a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为 （A ）6（B ）12（C ）24（D ）36（8）已知函数=−f x x 3()sin(2)π，则下列结论正确的是（A ）函数+f x )π(的一个周期为2π （B ）函数+f x )π(的一个零点为6π（C ）()f x =y 的图象可由=y x sin 2的图象向右平移3π个单位长度得到 （D ）()f x =y 的图象关于直线=x 2π3对称 （9）良好生态环境既是自然财富，也是经济财富．为了保护生态环境，某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量y （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为≥=−y y t kte (0)0，k 为常数且>k 0，y 0为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留数量约为原污染物数量的 （A ）1%（B ）2%（C ）3%（D ）5%（10）已知定义在R 上的函数f x ()满足：①++−=f x f x (2)()0； ②−+=−−f x f x (1)(1)；③当∈−x [1,1]时，⎩−∈⎪⎨=⎪∈−⎧x x f x x x 1,(0,1],2()cos ,[1,0],π 则函数=+g x f x 2()()1在区间−[5,3]上的零点个数为 （A ）3（B ）4（C ）5（D ）6第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2024北京西城区高二(下)期末数学试题及答案
2024北京西城高二（下）期末数 学本试卷共9页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =A.8B.10C.12D.142. 设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数3. 袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是A.110B.310C.15D.35 4. 在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =A.4B.6C.2D.6±5. 投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =A.518B.13C.53D.5366. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =−，1053231S S =，则6a =A.132−B.164−C.132D.1647. 设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则A.(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<−B.(3)(3)(2)(2)f f f f ''<−<C.(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<−D.(2)(3)(2)(3)f f f f ''<−<8. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 如果()e x f x ax =−在区间(1,0)−上是单调函数，那么实数a 的取值范围为A.1(,][1,)e −∞+∞B.1[,1]eC.1(,]e −∞D.[1,)+∞10. 在数列{}n a 中，12a =，若存在常数c (0)c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则A.符合条件的数列{}n a 有无数个B.存在符合条件的递减数列{}n aC.存在符合条件的等比数列{}n aD.存在正整数N ，当n N >时，2024n a >第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京高二高中数学期末考试带答案解析
北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集，集合，那么集合的子集有（）A．6 个B．7个C．8个D．9个2.是虚数单位，复数等于（）A．B．C．D．3.下列函数中，图象关于y轴对称，且在上单调递增的函数是（）A．B．C．D．4.若，则“”是“”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件5.对于，函数满足，且在上单调递减，，那么使得成立的x的范围是（）A．B．C．D．6.在数列中，，其中。
记的前n项和为，那么等于（）A．B．C．D．7.已知函数在区间上存在零点，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8.设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知是函数的一个承托函数，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知命题：，，那么命题为____________________________.2.已知函数若，则实数_________.3.设，那么实数a, b, c的大小关系是_________.4.在等比数列中，，，则________.5.设函数，，则的最大值为____________，最小值为_________。
6.如图，设是抛物线上一点，且在第一象限. 过点作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了.依此类推，可由确定，.记，。
给出下列三个结论：①；②数列是公比为的等比数列；③当时，.其中所有正确结论的序号为___________.三、解答题1.设，集合，.（Ⅰ）当a=3时，求集合；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.2.已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求数列的前n项和.3.已知函数，其中.（Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.4.如图，要建一间体积为，墙高为的长方体形的简易仓库. 已知仓库屋顶每平方米的造价为500元，墙壁每平方米的造价为400元，地面造价忽略不计. 问怎样设计仓库地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？5.设函数，其中.（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）求函数的极值.6.在数列中，对于任意，等式成立，其中常数. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：数列为等比数列；（Ⅲ）如果关于n的不等式的解集为，求b和c的取值范围.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知全集，集合，那么集合的子集有（）A．6 个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】解：因为全集，集合，那么集合的子集个数为8，选C2.是虚数单位，复数等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为，选D3.下列函数中，图象关于y轴对称，且在上单调递增的函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为函数为偶函数关于y轴对称，排D,A，因为在x>0增函数，则排除C，选B4.若，则“”是“”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】解：因为，则“”是“”的充分但不必要条，选A5.对于，函数满足，且在上单调递减，，那么使得成立的x的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为函数是偶函数，且在x>0递减，则利用函数的对称性可知，f(2)=f(-2)=0,那么使得成立的x的范围是,选C6.在数列中，，其中。
2022-2023学年北京大兴区高二下学期期末数学试题及答案
2023北京大兴高二（下）期末数 学本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设2()=(1)f x x +，则(1)=f '（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（2）4()a b +的展开式中二项式系数的最大值为（A ）1 （B ）4 （C ）6 （D ）12（3）设随机变量X 服从正态分布(01)N ，，则(0)=P X ≤ （A ）23 （B ）14（C ）13 （D ）12（4）从7本不同的书中选3本送给3个人，每人1本，不同方法的种数是（A ）37C （B ）A （C ）73 （D ）37（5）根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到27.52χ=．已知2( 6.635)0.01P χ=，则依据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可以推断变量x 与y （A ）独立，此推断犯错误的概率是0.01 （B ）不独立，此推断犯错误的概率是0.01 （C ）独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 （D ）不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01（6）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品不是次品的概率 （A ）0.956 （B ）0.966 （C ）0.044 （D ）0.036（7）设函数32()f x x ax bx c =+++，则“23a b >”是“()f x 有3个零点”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件1X 01P11p −1p 2X 01P21p −2p （8）根据如下样本数据：由最小二乘法得到经验回归方程ˆˆˆyb x a =+，则 （A ）ˆˆ00ab <<， （B ）ˆˆ00a b >>， （C ）ˆˆ00ab ><， （D ）ˆˆ00a b <>， （9）设151413131415a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 （A ）c a b << （B ）b c a <<（C ）a c b << （D ）c b a <<（10）已知函数()e 3axf x x =+有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是（A ）13a >（B ）13a <−（C ）3a > （D ）3a <−第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023北京海淀区高二(下)期末数学试卷和答案
2023北京海淀高二（下）期末数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣3，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{﹣3，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知命题p ：∃x ≤3，|x ﹣2|≤1，则¬p 为（ ）A ．∃x ≤3，|x ﹣2|＞1B ．∃x ＞3，|x ﹣2|≤1C ．∀x ≤3，|x ﹣2|＞1D ．∀x ＞3，|x ﹣2|＞13．已知{a n }为等比数列，公比q ＞0，a 2+a 3＝12，a 1•a 5＝81，则a 5＝（ ）A ．81B ．27C ．32D ．164．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为（ ）A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝sin xD ．11y x =+5．已知a ＜b ，则（ ）A ．a 2＜b 2B ．e ﹣a ＜e ﹣bC ．ln （|a |+1）＜ln （|b |+1）D ．a |a |＜b |b |6．已知函数f （x ）＝x 2•sin x ，则'(2f π的值为（ ）A ．0B ．πC ．24πD ．24π-7．从A ，B ，C ，D 4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（ ）A ．24B ．18C ．6D ．48．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，则“S n 有最大值”是“d ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（ ）A ．14B ．23C ．37D ．41510．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2+bx +c ．若函数g （x ）＝e ﹣x f （x ）有三个极值点m ，1，n ，且m ＜1＜n ，则mn 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，14）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2023北京顺义区高二(下)期末数学试卷和答案
2023北京顺义高二（下）期末数 学考生须知1．本试卷总分150分，考试用时120分钟．2．本试卷共5页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分．3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B 铅笔作答：第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}14,22A x x B x x =≤<=-≤<，则A B = （ ）A. [)2,1- B. [)2,4- C. [)1,2 D. []2,1-2. 命题“R,0x x x ∀∈+≥”的否定是（ ）A. R,0x x x ∃∈+≥ B. R,0x x x ∃∈+<C. R,0x x x ∀∈+≤ D. R,0x x x ∀∈+<3. “1x >”是“21x >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 数列{}n a 是等差数列，若3151163,5a a a =+=，则15a a ⋅=（ ）A. 52 B. 5C. 9D. 155. 某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（ ）A. 48种B. 96种C. 144种D. 192种6. 下列给出四个求导的运算：①2211x x x x '+⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②()()2ln 2121x x '-=-；③()2e 2e x x x x '=；④()21log ln2x x '=．其中运算结果正确的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（ ）A. 12 B. 35 C. 310 D. 348. 已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A. 若24a a =，则23a a =B. 若31a a >，则42a a >C. 2432a a a +≥ D. 2222432a a a +≥9. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()2y x f x =+'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A. 当2x =-时，函数()f x 取得极大值B. 当2x =-时，函数()f x 取得极小值C. 当1x =时，函数()f x 取得极大值D. 当1x =时，函数()f x 取得极小值10. 某银行在1998年给出的大额存款的年利率为5%，某人存入0a 元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为10a ，下列各数中与100a a 最接近的是（ ）A. 1.5 B. 1.6C. 1.7D. 1.8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 计算：23log 1log 9+=________．（用数字作答）12. 函数()()lg 12x f x x -=-的定义域为__________.13. 在61(x x +的展开式中，常数项为________.(用数字作答)14. 若幂函数()m f x x =在()0,∞+上单调递减，()ng x x =在()0,∞+上单调递增，则使()()y f x g x =+是奇函数的一组整数,m n 的值依次是________．15. 已知R k ∈，函数()2e ,0,1,0.x kx x f x kx x x ⎧-≥=⎨-+<⎩．给出下列四个结论：①当1k =，函数()f x 无零点；②当0k <时，函数()f x 恰有一个零点；③存在实数k ，使得函数()f x 有两个零点；④存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16. 已知5250125(12)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+．（1）求0a ；（2）求135a a a ++．17. 已知函数()31443f x x x =-+．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值．18. ,A B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，14，15，16，17，20假设所有病人的康复时间互相独立，从,A B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不多于14天的概率；（2）若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设X 表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求X 的分布列及数学期望；（3）A 组病人康复时间的方差为(),D A B 组病人康复时间的方差为()D B ，试判断()D A 与()D B 的大小．（结论不要求证明）19. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若1231,2a S a ==，设4n a n b =．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20. 已知函数()()1ln ,ln f x x g x x x x=+=-．（1）若对任意()0,x ∈+∞时，()f x a ≥成立，求实数a 的最大值；（2）若()1,x ∈+∞，求证：()()f x g x <；（3）若存在12x x >，使得()()12g x g x =成立，求证：121x x ⋅<．21. 已知整数数列{}n a 满足：①13a ≥；②11,,1,2,3,,2n n n n n a a a n a a ++⎧⎪==⎨⎪⎩ 为奇数为偶数．（1）若41a =，求1a ；（2）求证：数列{}n a 中总包含无穷多等于1的项；（3）若m a 为{}n a 中第一个等于1的项，求证：21211log 22log a m a +≤<+．参考答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910C B A B D C A D DB第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 212. ()()1,22,⋃+∞13. 2014. 3-、3（答案不唯一）15.①②③三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16. （1）5250125(12)x a a x a x a x+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ∴令0x =，可得01a =（2）令1x =，可得50123453a a a a a a =+++++ ①令=1x -，可得0123451a a a a a a -=-+-+- ②①式减②式可得，()5135231244a a a ++=+=135122a a a ∴++=17. （1） 函数()31443f x x x =-+，()113f ∴=，又()24f x x '=-，()13f '∴=-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1313y x -=--即10303x y +-=；（2）()24f x x '=- ，∴令()0f x ¢>，解得2x >或<2x -，当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如表所示：x (),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增283单调递减43-单调递增又0x = 时，()04,3f x ==时，()31f =，∴当0x =时，()f x 在[]0,3上的最大值为()04f =，当2x =时，()f x 在[]0,3上的最小值为()423f =-．18. （1）设甲的康复时间不多于14天为事件C ，A 组中的数据共有7个，∴基本事件共有7种，且相互独立又A 组中的数据不多于14天的有5个，即事件C 中包含的基本事件有5个∴甲的康复时间不多于14天的概率()57P C =（2）甲康复效果不佳的概率127P =，乙康复效果不佳的概率247P =X 表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数X ∴的可能取值是0，1，2X 0=表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为0()()()121501149P x P P ∴==--=1X =表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为1()()()12122611149P x P P P P ∴==-+-=2X =表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为2()128249P x PP ∴===X ∴的分布列为X 012P 15492649849X ∴的数学期望为1526860124949497EX =⨯+⨯+⨯=.（3）()()D A D B <.根据A 组：10，11，12，13，14，15，16，B 组：12，13，14，15，16，17，20B 组数据波动性较大，所以()()D A D B <.19. （1）证明：设等差数列{}n a 的公差为d ，则通项公式为()11n a a n d +-=， 23S a = 1122a d a d∴+=+11122a d =∴= ()111222n na n ∴=+-=又4n an b =，则114n a n b ++=1114424n n nn a a a n a n b b ++-+∴===即数列{}n b 是等比数列，公比为2，首项1142ab ==．（2）由（1）知数列{}n b 是等比数列，公比为2，首项12b =2nn b ∴=*2,N 2nn n n nc a b n =+=+∈ ∴数列{}n c 的前n 项和212222222nn nT =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()1*122,N 4n n n n ++=+-∈20. （1）()()1ln ,0,f x x x x =+∈+∞，()22111x f x x x x -'∴=-=，∴令()0f x ¢>解得1x >，()f x \在()0,1单减，在()1,+∞上单增，()f x \在1x =取得极小值，也是最小值()11f =，()0,x ∞∈+ 时，()f x a ≥成立．∴只需1a ≤即可，∴实数a 的最大值为1．（2）证明：设()()()()12ln ,1,h x f x g x x x x x =-=+-∈+∞，()222222121(1)10x x x h x x x x x ---∴=--=='-<，()12ln h x x x x ∴=+-在()1,x ∈+∞上单调递减，()()12ln 10h x x x h x ∴=+-<=，()()1ln 0h x x g x x ∴=+-<，即()()f x g x <．（3）法一：证明： 存在12x x >时，便得()()12g x g x =成立，1122ln ln x x x x ∴-=-，112122ln ln ln x x x x x x ∴-=-=，令t =，由120x x >>可知1t >，由（2）知()12ln h x x x x =+-在()1,x ∈+∞上单调递减，()()1h t h ∴<即0+-<，∴<-，即12ln x x <，1122ln x x x x ∴-=<，由120x x >>知120x x ->，1>1<，121x x ∴⋅<.法二：()()ln ,0,g x x x x =-∈+∞ ，()()111,01x g x g x x x x '-∴=>'=-⇒>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．存在12x x >时，使得()()12g x g x =成立，1122ln ln x x x x ∴-=-，且122110,1x x x >>>>，()1112222222222111111ln ln ln ln 2ln g x g x x x x x xx x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=---=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()()12ln ,0,x x x x x ϕ=--∈+∞，()222221221(1)10x x x x x x x x ϕ-+-'∴=+-==≥，()12ln x x x x ϕ∴=--在()0,x ∈+∞上单调递增，又201x << ，()()222212ln 10x x x x ϕϕ∴=--<=，即()1210g x g x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭即()121g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()121,1,,x g x x ∈+∞ 在()1,+∞上单调递增，121x x ∴<即121x x ⋅<.21. （1）解：因为整数数列{}n a 满足11,1,2,3,,,2n n n nn a a a n a a ++⎧⎪==⋅⋅⋅⎨⎪⎩为奇数为偶数，若41a =，可得32a =或0；若30a =，可得{}20,1a ∈-，此时不满足13a ≥，32a =，此时{}21,4a ∈，当21a =时，{}10,2a ∈不满足13a ≥，所以24a =，故13a =或18a =.（2）证明：首先*0,n a n N >∀∈．否则，记()2m a m ≥为{}n a 中第一个小于等于0的项，则12m m a a -=或1m a -，从而10m a -≤，与m 的最小性矛盾，记t 为{}n a 的最小值，则t 为奇数并且{}12n t a +∈，根据t 的最小性，可知112t t t +≤⇔≤，根据*0,n a n N >∀∈可知1t =，注意到第一个1后面的项为2，1，2，1，2…周期性出现，从而数列{}n a 中总包含无穷多等于1的项.（3）暂无。
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高二数学下学期期末考试试题第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若),0(,∞+∈b a ，则“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的（ ）． （A ）必要非充分条件； （B ）充分非必要条件；（C ）充要条件； （D ）既不充分也不必要条件． 2．经过点（0，0），且与以（2，－1）为方向向量的直线垂直的直线方程为（ ）． （A ）02=+y x ； （B ）02=-y x ； （C ）02=+y x ； （D ）02=-y x ．3．已知动点P （x ，y ）满足y x y x +=+-22)1(，则点P 的轨迹是（ ）．（A ）椭圆； （B ）双曲线； （C ）抛物线； （D ）两相交直线． 4．（文科）给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行． 其中真命题的个数是（ ）．（A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1．（理科）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）． （A ）平行； （B ）相交； （C ）垂直； （D ）互为异面直线． 5．若关于x 的不等式a x x <++-11的解集为∅，则实数a 的取值范围为（ ）． （A ）)2,(-∞； （B ）]2,(-∞； （C ）),2(∞+； （D ）),2[∞+．6．已知直线l ：2+=ax y 与以A （1，4）、B （3，1）为端点的线段相交，则实数a 的取值范围是（ ）． （A ）31-≤a ； （B ）231≤≤-a ； （C ）2≥a ； （D ）31-≤a 或2≥a ． 7．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x )0(>a 及直线l ：03=+-y x ．当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则=a （ ）．（A ）2； （B ）22-； （C ）12-； （D ）12+．8．已知点A （3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在抛物线上移动，当PF PA +取得最小值时，点P 的坐标是（ ）． （A ）（0，0）； （B ）（2，2）； （C ）（－2，－2） （D ）（2，0）．9．（文科）已知0>a ，0>b ，121=+ba ，则b a +的最小值是（ ）． （A ）24； （B ）223+； （C ） 22； （D ）5．（理科）已知4≥x ，则42542-+-=x x x y 有（ ）．（A ）最大值45； （B ）最小值45； （C ）最大值1； （D ）最小值1． 10．点P 是双曲线112422=-y x 上的一点，1F 和2F 分别是双曲线的左、右焦点，021=⋅PF PF ，则21PF F ∆的面积是（ ）．（A ）24； （B ）16； （C ）8； （D ）12．11．如图1，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90，且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成的角是（ ）． （A ）21arctan； （B ）2arctan ； （C ）32arctan； （D ）3arctan ． 图112．（文科）已知椭圆)0(12222>>=+b a bya x 12P 在椭圆上，且213PF PF =，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）．（A ）32； （B ）21； （C ）31； （D ）41． （理科）已知E 、F 是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠EPF 的最大值是（ ）．（A ）15； （B ）30； （C ）45； （D ）60．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．m ，n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题： ①若α⊥m ，β//n ，βα//，则n m ⊥； ②若n m ⊥，βα//，α⊥m ，则β//n ； ③若n m ⊥，βα//，α//m ，则β⊥n ； ④若α⊥m ，n m //，βα//，则β⊥n ．其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）14．对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，则实数m 的取值范围 ．15．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤+,02,02,1y x y x y x 则目标函数y x z +=2的最大值是 ．16．已知抛物线088222=--+-y x y xy x 的对称轴为0=-y x ，焦点为（1，1），则此抛物线的准线方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设0>a ，解关于x 的不等式：11)2(<--x x a ．18．（12分）过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点A 、B ，经过点A 和抛物线顶点的直线交准线于点M ．求证：（Ⅰ）2p y y B A -=；（Ⅱ）直线MB 平行于抛物线的对称轴． 19．（12分）如图2，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为AB 、PC 的中点． （Ⅰ）求证：MN ⊥CD ．（Ⅱ）在棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PMC ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图3，过圆222R y x =+上的动点P 向圆222r y x =+（0>>r R ）引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，求△MON 面积的最小值．21．（12分）已知R b a ∈,，1>x ， 求证：22222)()1(b a b x x a x +≥-+． 22．（14分）文科做（Ⅰ）、（Ⅱ）；理科做（Ⅰ）、（Ⅲ）．已知点B （2，0），)22,0(=OA，O 为坐标原点，动点P 34=-++． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）当m 为何值时，直线l ：m x y +=3与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =？ （Ⅲ）是否存在直线l ：)0(≠+=k m kx y 与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案与提示:一、选择题1—5 BDBCB ； 6—12 BCBBD BB ． 提示：1．由0)1)(1(10,10122>--⇒<<<<⇒<+b a b a b a b a ab +>+⇒1； 反之由0)1)(1(>--b a 不能推得10,10<<<<b a ．故“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的充分非必要条件．选（B ）． 2．由题设知已知直线的斜率为21-，∴所求直线的斜率为2； 又所求直线过原点，故02=-y x 为所求．选（D ）．3．由题设知动点P 到定点（1，0）的距离和它到定直线0=+y x 的距离的比是常数2，根据双曲线的第二定义可得点P 的轨迹为双曲线．选（B ）． 4．（文科）①、④正确，选（C ）．（理科）对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ； 若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ；若l 不在平面α内，且l 与α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m ⊥l ．故选（C ）．5．由2)1()1(11=++-≥++-x x x x 知2≤a ．选（B ）．6．由A （1，4）、B （3，1）在直线l 上或其异侧得0)13)(2(≤+-a a ． 解得231≤≤-a ．选（B ）． 7．设截得的弦为AB ，圆心为)2,(a C ，作AB CH ⊥于H ，则由平几知识得1=CH ．由此得1232=+-=a CH ，解得12-=a ．选（C ）． 8．点A 在抛物线含焦点区域，过A 作AP 垂直于抛物线的准线交抛物线于点P ，则由抛物线的定义知点P（2，2）为所求点．选（B ）．9．（文科）22323)21)((+≥++=++=+abb a b a b a b a ，选（B ）． （理科）令)2(2≥-=t x t ，则)1(214254)(2tt x x x t f +=-+-=．)(t f 在),2[+∞上是单调递增函数，故y 的最小值是45)2(=f ．选（B ）．10．由021=⋅PF PF6442==+c42±=±=-a ．∴2121=∆PF FS 12．选（D ）．11．如图，过B 作BD ∥CA ，且满足BD ＝CA ， 则∠PBD 为PB 与AC 所成的角． 易得四边形ADBC 为正方形， 由PA ⊥平面ABC 得BD ⊥PD ． 在Rt △PDB 中，a PD 2=，a DB =，2tan ==∠DBPDPBD ．选（B ）． 12．（文科）由题设和焦半径公式得)(442221P ex a PF PF PF a -==+=．a x P ≤<0．∴ea ex a P 22≤=．即21≥e ．选（B ）． （理科）不妨设右准线l 交x 轴于点A ，由平几知识知过E 、F 的圆且与l 相切于点P 时，∠EPF 最大．由圆幂定理得62232=⋅=⋅=AF AE AP ．易得∠FPA ＝30，∠EPA ＝60，从而∠EPF ＝30为所求最大值，故选（B ）． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．①、④； 14．∞+-,12[）； 15．35； 16．02=++y x ． 提示：13．②、③为假命题；①、④为真命题．14．设点)sin 1,(cos θθ+P ，由题设得0sin 1cos ≥+++m θθ． 即θθsin 1cos ++=≤-u m 恒成立．而211)4sin(2-≥++=πx u ，∴21-≤-m ．故m 的取值范围为∞+-,12[）． 15．如图，作出不等式表示的可行域（阴影部分） 和直线l ：02=+y x ，将l 向右上方平行移动，使其经过可行域内的点Ａ)31,32(时，y x z +=2取得最大值．故当32=x ，31=y 时，35max =z ．16．对称轴0=-y x 与抛物线的交点（0，0）为抛物线的顶点，且抛物线的准线垂直于对称轴，焦点（1，1）关于顶点（0，0）的对称点（－1，－1）在准线上，故所求准线方程为02=++y x ．三、解答题17．不等式整理得01)12()1(<----x a x a ．当1≠a 时，不等式为 01)112)(1(<-----x a a x a ．……………（3分） ①当10<<a 时，1112<--a a ，原不等式解集为),1()112,(∞+⋃---∞a a ；……………（6分）②当1=a 时，不等式解集为),1(∞+；……………（9分）③当1>a 时，1112>--a a ，原不等式解集为)112,1(--a a ．……………（12分） 18．（Ⅰ）AB 方程为2p my x +=，代入抛物线px y 22=方程得0222=--p pmy y ．……………（3分）由韦达定理得2p y y B A -=．……………（5分） （Ⅱ）OA 方程为x x y y A A =，与准线方程联立解得M )2,2(AAx py p --．………（8分） ∴B BA A A A A My y pp y p y y p x py y =--=-=-=-=222222．……………（11分） 故直线MB 平行于抛物线的对称轴．……………（12分） 19．（Ⅰ）取AC 的中点O ，连结NO ，MO ，由N 为PC 的中点得NO ∥PA ．……………（2分）又PA ⊥平面ABCD ，∴NO ⊥平面ABCD ．……………（4分） 又∵OM ⊥AB ，由三垂线定理得AB ⊥MN ．又∵CD ∥AB ，∴MN ⊥CD ．……………（6分） （Ⅱ）存在点E ，使得AE ∥平面PMC ． 此时点E 为PD 的中点．……………（8分）证明如下：取PD 的中点E ，连结NE ， 由N 是PC 的中点得NE ∥CD ，CD NE 21=． 又 MA ∥CD ，CD MA 21=， ∴MA ∥NE ，MA ＝NE ．由此可知四边形MNEA 是平行四边形， ∴AE ∥MN ．由⊂MN 平面PMC ，⊄AE 平面PMC ， ∴AE ∥平面PMC ．……………（12分）20．设),(00y x P 为圆222R y x =+上任一点，则θcos 0R x =，θsin 0R y =．由题设知O 、A 、P 、B 在以OP 为直径的圆上，该方程为220202020)2()2()2(y x y y x x +=-+-．……………（4分）而AB 是圆222r y x =+和以OP 为直径的圆的公共弦，将这两圆方程相减得直线AB 的方程为200r y y x x =+．∴)0,(02x r M ，),0(02y r N ．……………（8分）242440042sin sin cos 2221R r R r R R r y x r ON OM S MON≥=⋅==⋅=∆θθθ． 故△MON 面积的最小值为24Rr ．……………（12分）21．∵22222)()1(b a b x x a x +--+ab b x x a x 2)1(12)1(2222---+-=，……（3分） ∵1>x ，∴11)1(1222----x x x 0)1)(1(222>-+=x x x ，即11)1(1222->--x x x ．……………（6分）∴ab b x x a x 2)1(12)1(2222---+-ab b x a x 211)1(2222--+-≥ 022211)122222≥-=--⋅-≥ab ab ab b x a x ，……………（11分） 故22222)()1(b a b x x a x +≥-+．……………（12分） 22．（Ⅰ）设点),(y x P ，则)22,(+=+y x OA OP ，)22,(-=-y x OA OP ． 由题设得34)22()22(2222=-++++y x y x ．………（3分）即点P 到两定点（0，22）、（0，－22）的距离之和为定值34，故轨迹C 是以（0，22±）为焦点，长轴长为34的椭圆，其方程为112422=+y x ．……（6分） （Ⅱ）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，线段MN 的中点为),(000y x M ， 由BN BM =得0BM 垂直平分MN ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=.123,322y x m x y 消去y 得01232622=-++m mx x ．由0)12(24)32(22>--=∆m m 得6262<<-m ．………（10分）∴322210m x x x -=+=，2)32(30m m m y =+-=．即)2,32(0mm M -．由0BM ⊥MN 得1323220-=⋅--=⋅m m k k MN BM ． 故32=m 为所求．………（14分）（Ⅲ）若存在直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ),(11y x 、N ),(22y x ，且满足BN BM =，令线段MN 的中点为),(000y x M ，则0BM 垂直平分MN ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.123,12322222121y x y x两式相减得))(())((321212121y y y y x x x x -+-=-+． ∴k y x y y x x x x y y k MN =-=++-=--=021*******)(3．又由0BM ⊥MN 得k x y k BM 12000-=-=．∴10-=x ，ky 30=．即)3,1(0kM -．………（10分） 又点0M 在椭圆C 的内部，故1232020<+y x ．即12)3()1(322<+-⋅k．解得1>k .又点)3,1(0kM -在直线l 上，∴m k k +-=3．∴3233≥+=+=kk k k m （当且仅当3=k 时取等号）． 故存在直线l 满足题设条件，此时m 的取值范围为），∞+⋃--∞32[]32,(．………（14分）。