2021年高考模拟预测卷试题(四) 数学理

2021年高考模拟预测卷试题（四）数学理
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：
柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.
圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.
球的体积公式V=, 其中R是球的半径.
球的表面积公式：S=4π,其中R是球的半径.
用最小二乘法求线性回归方程系数公式 .
如果事件互斥，那么.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合，则使M∩N＝N成立的的值是（）
A．1B．0 C．－1 D．1或－1
2．若，其中，是虚数单位，复数（）
A．B．C．D．
3．若，则的值是（）
A．B．C．D．
4．已知的展开式的各项系数和为32，
则展开式中的系数为（）
A.5
B.40
C.20
D.10
5．若是等差数列的前n项和，
有，则的值为（）
A．22 B．18 C．12 D．44
6．在右图的算法中，如果输入A=138,
B=22,则输出的结果是（）
A．2 B．4 C．128 D．0
7．右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录
的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应
数据．根据右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
为，那么表中t 的值为 （ ）
A ．3
B ．3.15
C ．3.5
D ．4.5 8．下列命题中是假命题的是 （ ） A ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R B ．
C ．是幂函数，且在（0，+）上递减
D ．，函数都不是偶函数
9．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．双曲线的离心率为2，则的最小值为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 11．函数，若函数有3个零点，则实数a 的值为（ ）
A ．－2
B ．－4
C ．2
D ．不存在
12．已知两点为坐标原点，点在第二象限，且，设等于
（ ） A ． B ．２ C ．1 D ．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分,将正确答案写在题中的横线上．
13．设，，，，则数列的通项公式=
14．曲线与坐标轴所围的面积是
15．已知点P的坐标，过点P
的直线l与圆相交于A、B两点，则AB的最小值为．
16．正三角形ABC的内切圆为圆O，则△ABC内的一点落在圆O外部的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共计74分）解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）
已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量
（I）如果求a的值；
（II）若请判断的形状．
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。

（I）点在线段上，，试确定的值，使平面；
（II）在（I）的条件下，若平面平面ABCD，求二面角的大小。

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望．
设函数
（I）若函数在x=1处与直线相切①求实数a，b的值；②求函数上的最大值．（II）当b=0时，若不等式对所有的都成立，求实数m的取值范围．
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为，且离心率等于，过点的直线与椭圆相交于不同两点，点在线段上。

（I）求椭圆的标准方程；
（II）设，若直线与轴不重合，试求的取值范围。

数列{}2
21221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22
n n n n n a a a a a n ππ
+===++=满足
（Ⅰ）求并求数列的通项公式； （Ⅱ）设证明：当
理科数学（四）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 答案 C B B D A A A
D
D
B
C
C
13. 14．３ 15．４ 16．
三、解答题（本大题共5小题，共计60分） 17.解：（I ）由余弦定理及已知条件得 联立方程组得…………5分 （II ）化简得…………7分
当此时是直角三角形； 当，由正弦定理得
此时为等腰三角形.是直角三角形或等腰三角形.…12分
１８．解： （1）当时，平面
下面证明：若平面，连交于 由可得，， ．．．．．．．．．２分
平面，平面，平面平面，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
即： ．．．６分
（2）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD 。

．７分 又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ，
四边形ABCD 为菱形，
∵AD=AB ， ∠BAD=60°△ABD 为正三角形， Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ ．．．．．．．．．．．．８分
以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为
轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为 A （1，0，0），B （），Q （0，0，0），P （0，0，） 设平面MQB 的法向量为，可得，
取z=1，解得．．．．．．．．．．．１０分
取平面ABCD 的法向量设所求二面角为， 则 故二面角的大小为60°．．．．．．．．．．．．．．１２分
19．解：（1）茎叶图如右：
……2分
学生乙成绩中位数为84，…………4分 （2）派甲参加比较合适，理由如下：
85)35124889290480270(8
1
=++++++++⨯+⨯+⨯=甲x
85)53535390480170(81
=+++++⨯+⨯+⨯=乙x ………………5分
222222
)8585()8583()8580()8579()8578(8
1-+-+-+---=甲S
=35.5
222222
)8585()8583()8580()8580()8575[(8
1-+-+-+-+-=乙S
=41……………………7分
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适……………………8分 （3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， 则……………………9分 随机变量的可能取值为0，1，2，3， 且服从B （）k=0，1，2，3 的分布列为：
49
642736427264916410=⨯+⨯+⨯+⨯
=∴ξE
（或）
．．．．12分
20． 解：（1）①
∵函数在处与直线相切解得 ………3分 ②当时，令得；．．．５分
令，得 上单调递增，在[1，e]上单调递减， 。

7分
（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，
即对所有的都成立，。

．．．．．．．．．8分 令为一次函数， 。

上单调递增，， 对所有的都成立。

．．．．．．．．．11分 。

.。

12分
（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，，请根据过程酌情给分） 21．解（1）设椭圆的标准方程是。

由于椭圆的一个顶点是，故，根据离心率是得，，解得。

所以椭圆的标准方程是。

．．．．．．．．．．． （4分） （2）设。

设直线的方程为，与椭圆方程联立消去得 ，根据韦达定理得，。

．．８分
由，得，整理得，把上面的等式代入得，又点在直线上，所以，于是有．．（10分） ，由，得，所以．综上所述。

．．．．．．（12分）
22 解: （Ⅰ）因为所以
一般地，当时，2
221
21(21)21
[1cos ]sin 22
k k k k a a ππ+---=++
＝，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时，2
222
2222(1cos )sin 2.22
k k k k k a a a ππ
+=++= 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ①
②
①-②得， 所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证法一（1）当n = 6时，成立. （2）假设当时不等式成立，即 则当n =k +1时，
1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)
1.222(2)(2)2k k
k k k k k k k k k k k k
++++++++=⨯<<++ 由（1）、（2）所述，当n ≥6时，.即当n ≥6时，
证法二令，则2
1121(1)(3)(2)30.222
n n n n n n n n n c c ++++++--=
-=< 所以当时，.因此当时，
于是当时，综上所述，当时，lB37586 92D2 鋒6L38756 9764 靤35268 89C4 规wZ 40180 9CF4 鳴S36246 8D96 趖)。