四川省攀枝花市2017-2018学年高一下学期期末调研检测数学试题含答案

2017-2018学年度（下）调研检测 2018.07
高一数学
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本部分共12小题，每小题5分，共60分．
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．平面向量,a b r r 不共线，向量c a b =+r r r ，()d ka b k R =-∈u
r r r ，若//c d ，则（ ）
（A ）1k =且c r 与d u r 同向 （B ）1k =且c r 与d u r
反向
（C ）1k =-且c r 与d u r 同向 （D ）1k =-且c r 与d u r
反向
2．若直线10x my +-=的倾斜角为 30，则实数m 的值为（ ）
（A ） （B （C ） （D 3．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）
（A ）1a
b
< （B ）11
33a b < （C （D ）2a ab <
4．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（ ） （A ）AB AC -
（B ）AB AC + （C ）
1
()2
AB AC - （D ）1
()2
AB AC + 5．圆222440x y x y +--+=关于直线20x y --=对称的圆的方程为( ) （A ）22(4)(1)1x y -++= （B ）22(4)(1)1x y +++= （C ）22(2)(4)1x y +++= （D ）22(2)(1)1x y -++=
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
（A ） 11 （B ）10 （C ）9 （D ）8
7．设实数,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值是（ ）
（A ）8 （B ）4 （C ）2
（D ）1-
8．点P 是直线30x y +-=上的动点，由点P 向圆22:4O x y +=作切线，则切线长的最小值为（ ）
（A
） （B
（C
）
2
（D ）12 9．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
若222c a b -=-
，
且c =
则2
a -
的取值范围是（ ） （A ）(1,0)- （B
）(- （C
）( （D
） 10．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度 为海拔20000m ，速度为900m/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30， 经过80s 后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为（ ） （A
）1)m （B
）1)m （C
）5000(3m （D
）5000(5m
11．设M 是ABC ∆内一点，且23AB AC ⋅=30BAC ∠=，设()(,,)f M m n p =，其
中m 、n 、p 分别是MBC ∆、MCA ∆、MAB ∆的面积.若1
()(,,)2
f M x y =，则
22x y xy +的最小值是（ ）
（A ）3 （B ）4
（C ）2+ （D ）8
12．已知数列{}n a 满足：
11a =，*1()2
n n n a a n N a +=∈+.设*11
(2)(1)()n n b n n N a λ+=-⋅+∈，
215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ
的取值范围是（ ）
（A ）(,2)-∞ （B ）3(1,)2
- （C ）(1,1)- （D ）(1,2)-
第二部分（非选择题 共90分）
注意事项：
1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．
2．本部分共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．二次不等式210ax bx +-<的解集为1
{|1}3
x x -
<<，则ab =_____ ___． 14．两平行直线3430x y ++=与640x my +-=间的距离为__ ____．
15．平面向量(3,1)a =-，(,)(0)b x y x =>，||1b =．若对任意实数t 都有||1ta b -≥，则向量b = .
16．若等腰ABC ∆的周长为3，则ABC ∆的腰AB 上的中线CD 的长的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知平面向量,a b ，||1a =，(1,1)b =，且(2)a b b +⊥. （Ⅰ）求向量a 与b 的夹角θ；
（Ⅱ）设,OA a OB b ==uu r r uu u r r ，求以,OA OB uu r uu u r
为邻边的平行四边形的两条对角线的长度.
18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足15
6
a =-，11(1)n n a a n n +-=+ *()n N ∈．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n b na =，求1212||||||b b b +++．
19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、
C 的对边分别为a 、b 、c ，且c o s 2
b
a B c =-． （Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若ABC ∆外接圆的面积为4π，且ABC ∆
的面积S =，求ABC ∆的周长.
20．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线350x y --=上，并且经过点(1,4)A 和
(3,2)B ．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)D 与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．
21．（本小题满分12分）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入
成本()C x 万元，且()210100,040
10000
5014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪
=⎨+-≥⎪
⎩
.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（Ⅰ）求出2018年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（Ⅱ）2018年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
22．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S
满足*1()n a n N =∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3
n
n n a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若(4)11n
n
b n T λ≤+--对任意n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围.
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高一数学(参考答案)
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1~5）DACDA （6~10）BDCBC （11~12）DB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13、6- 14、1 15、
1(,
)22 16
、
2
16、解：法一、设腰长为2a ，则底边长为3-4a ，从而22
2
8(34)cos 8a a A a
--=， 故22222921154cos 9129()2322CD a a A a a a =-=-+=-+≥，当2
3
a =
法二、向量法建系求解1
()2
CD CA CB =+.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）由题意有2
(2)20a b b a b b +⋅=⋅+=
由||1a =，||2b =， ∴2
22||||cos 220a b b a b θθ⋅+=⋅+=+=，
∴cos 2
θ=-
∵[0,]θπ∈ ∴34πθ=．………………5分
（Ⅱ）以,OA OB uu r uu u r
为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量分别为a b +和a b -，其长度分别为
222||()||2||1a b a b a a b b +=+=+⋅+=
222||()||2||5a b a b a a b b -=-=-⋅+=．………………10分
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由1111
(1)1
n n a a n n n n +-==-++
有
2
n ≥时，
2132
11
()()
2
2n n a a a a a a a a n n
--+-+-++-=
-+-+
-++
--
化简得到111111
11(2)6n n a a a a n n n n
-=-⇒=+-=-≥ 而115166a =
-=-也满足，故*11
()6n a n N n
=-∈.……………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知16
n n n
b na ==- 由1066n n b n =
-≥⇒≥，由1066n n
b n =-<⇒< 12121256712||||||()()b b b b b b b b b ++
+=-++
+++++ 1212125()2()b b b b b b =++
+-++
+
151125()12()
215622
b b b b ++=
-⨯=+=.……………………………12分
19、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）法一：已知
c o s 2
b
a B c =-，由正弦定理得
2sin cos 2sin sin 2sin()sin A B C B A B B =-=+-
2cos sin sin 0sin (2cos 1)0A B B B A ⇒-=⇒-=
∵sin 0B ≠ ∴1cos 2A =
∵(0,)A π∈ ∴3
A π
=.………………6分 法二：已知cos 2b a B c =-，由余弦定理得22222
a c
b b
a c ac +-⋅=-
222a b c bc ⇒=+-
又2222cos a b c bc A =+- ∴1cos 2A = ∵(0,)A π∈ ∴3
A π
=.………………6分
（Ⅱ）由ABC ∆外接圆的面积为24R ππ=，得到2R =
由正弦定理知
24sin a R A ===
∴a = ∵ABC ∆
的面积1
sin 2
S bc A =
=8bc =．………………………9分 法一：由余弦定理得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即212()24b c =+- 从而6b c +=，故ABC ∆
的周长为6a b c ++=+……………………………12分 法二：由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，即2220b c += 从而42b c =⎧⎨=⎩或2
4
b c =⎧⎨=⎩，故ABC ∆
的周长为6a b c ++=+ (12)
分
20、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）法一：设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=
由题意有222222
(1)(4)10(3)(2)350350a b r a b a b r a b a b ⎧-+-=-+=⎧⎪-+-=⇒⎨⎨--=⎩⎪--=⎩
，解得3
42a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩
故圆C 的方程为22(3)(4)4x y -+-=.……………………………6分 法二：由点(1,4)A 和(3,2)B 可求得直线AB 的垂直平分线方程为10x y -+= 与直线350x y --=方程联立解得圆心(3,4)C
则圆的半径||2r CA ===
故圆C 的方程为22(3)(4)4x y -+-=.……………………………6分
（Ⅱ）法一：直线l 与圆C 相交，∴直线l 的斜率一定存在且不为0，设直线l 的方程为
(1)y k x =-
即0kx y k --=，则圆心C 到直线l
的距离为d =.……………………………8分
又∵CPQ ∆
的面积1
2
S d =
⨯⨯===
∴当d =
S 取最大值2.
由1d k =
=或7k =
∴直线l 的方程为10x y --=或770x y --=.……………………………12分 法二：设圆心C 到直线l 的距离为d
则CPQ ∆的面
积221(4)2
22
d d S d +-=⨯⨯==≤=
（d =
以下同法一.
法三：CPQ ∆面积1
s i n 2s i n 22
S r r P C Q P C Q =
⋅⋅∠=∠≤
，当s i n 1P C Q ∠=，即2
P C Q π
∠=
时取等号，
此时为CPQ ∆等腰直角三角形，圆心C 到直线l
的距离为d =
以下同法一.
21、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当040x <<时，
()225100101002500104002500L x x x x x x =⨯---=-+-；
当40x ≥时，()1000010000
5100501450025002000()L x x x x x x
=⨯--
+-=-+； ∴2104002500,040
()10000
2000(),40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨-+≥⎪⎩
.……………………………5分 （Ⅱ）当040x <<时，()()2
210400250010201500L x x x x =-+-=--+， ∴当20x =时，()()max 201500L x L ==； 当40x ≥时，(
)100002000()20002000201800L x x x =-+≤-=-=， 当
且
仅
当
10000x x
=，
即
100
x =时，
(
)()m
a
x
10018001500
L x L =
=>；……………………………11分 ∴当100x =时，即2018年生产10000辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.………12分
22、(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）法一：当1n =
时，1111a a =⇒= 当2n ≥时，22111
[(1)(1)]4
n n n n n a S S a a --=-=
+-+ 化简得22
11111220()()2()0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --------=⇒-+-+=
∵{}n a 是正项数列 ∴10n n a a -+>，则12n n a a --= 即{}n a 是以11a =为首项，以
2
为公差的等差数列，故
21n a n =-.……………………………4分
法二：当1n =
时，1111a a =⇒=
当2n ≥时，
21111)1n n n n a S S S --=-=⇒=⇒=
即
1=为首项，以1
2n n S n =⇒= ∴221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.……………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21
3n n
n b -=
， 则2311
1111
1()3()5()(23)()(21)()33
3
33
n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅
从而
23411111111()3()5()(23)()(21)()3333
33
n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅
两式相减得2312
11111
2[()()()](21)()3
33333
n n n T n +=+⋅+++--⋅ 2122
()333
n n +=-⋅
所以1
13n n
n T +=-
.……………………………9分 （Ⅲ）由(4)11n n b n T λ≤+--得3(4)1
n n n λ≤++，则334(1)(4)5n n n n n λ≥=++++，
当且仅当2n =时，3
4
5n n
++有最大值13， ∴1
3
λ≥.……………………………12分。