福建省三明市第一中学2014-2015学年高二数学下学期第一次月考试题 文

福建省三明市第一中学2014-2015学年高二数学下学期第一次月考试
题文
〔考试时间：120分钟总分为：150分〕
第I卷
一、选择题〔每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确
的．〕
1．如下语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
2．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，如此在H0成立的情况下，P(K2≥6．635)≈0．010表示的意义是( )
A．变量X与变量Y有关系的概率为1%
B．变量X与变量Y有关系的概率为99．9%
C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%
D．变量X与变量Y有关系的概率为99%
3．如下说法：
①在残差图中，残差点比拟均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比拟适宜；
②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；
③比拟两个模型的拟合效果，可以比拟残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合效
果越好．
其中说法正确的答案是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
4．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是( )
A．归纳推理 B．演绎推理
C．类比推理 D．特殊推理
5．用反证法证明命题“2＋3是无理数〞时，假设正确的答案是( ) A．假设2是有理数B．假设3是有理数
C ．假设2或3是有理数
D ．假设2＋3是有理数
6．不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x 〔x ＋2〕＞0，
|x |＜1的解集为( )
A ． {x |－2＜x ＜－1}
B ．{x |－1＜x ＜0}
C ．{x |0＜x ＜1}
D ．{x |x ＞1}
7．a 是实数，a －i
1＋i
是纯虚数，如此a 等于( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－ 2
8．z 1＝(m 2
＋m ＋1)＋(m 2
＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，如此“m ＝1〞是“z 1＝z 2〞的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
9．执行如下列图的程序框图，假设输入的A 的值为2，如此输出的P 值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1；外接圆面积为S 2，如此S 1S 2＝1
4
，
推广到空间可以得到类似结论；正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，如此
V 1
V 2
＝( ) A ．18B ．19C ．164 D ．127
11．f (x )＝⎩⎨⎧≥<+-1,log 1,4)13(x x x a x a a
是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )
A ．(0，1)
B ．(0，13)
C ．[17，13)
D ．[1
7
，1)
12．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=． 假设实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 如此〔 〕 A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a <<
第II 卷
二、填空题(本大题共4小题，每一小题5分，共20分． 请把答案填在答题卷相应的位置上．)
13． 关于x 的不等式ax 2
+bx +4>0的解集是〔-1,2〕，如此不等式ax +b +4>0的解集是． 14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________． 15．在极坐标系中，点)6,
2(π
到直线1)6
sin(=-π
θρ的距离是_______．
16．设函数f (x )=(x +1)2+sin x
x 2+1
的最大值为M ，最小值为m ，如此M+m =____．
三、解答题〔本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．〕 17．〔本小题总分为12分〕
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了4次试验，得到数据如下：
(1) (2)求y 关于x 的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
； (3)试预测加工10个零件需要的时间．
参考公式：∑∑∑∑====--=
---=n
i i
n
i i
i n
i i
n
i i
i
x
n x
y x n y
x x x y y
x x b
1
2
2
1
1
2
1
)
()
)((ˆ
18．〔本小题总分为12分〕
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N *
)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并猜测其通项公式；
(2)证明数列{a n }是等比数列．
19．(本小题总分为12分)
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)假设AB ＝CB ＝2，A 1C ，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．
20．(本小题总分为12分)
曲线22
1:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩
〔t 为参数〕． 〔1〕写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
〔2〕过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．
21．(本小题总分为12分)
函数f (x )＝e x
(ax ＋b )－x 2
－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4． (1)求a ，b 的值；
(2)假设对任意实数),0(+∞∈m ，不等式x x m x e x f x
2)2()1(4)(2
-+-+>恒成立，求
x 的取值范围．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，如此按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22． (本小题总分为10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ． 〔1〕证明：DB=DC ；
〔2〕设圆的半径为1，BC=3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．
23． (本小题总分为10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
．
〔1〕求C 的参数方程；
〔2〕设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据〔1〕中你得到的参数
方程，确定点D 的坐标．
24． (本小题总分为10分)选修4—5：不等式选讲 函数(), 1.f x x a a =->其中
〔1〕()=244;a f x x ≥--当时，求不等式的解集
〔2〕()(){}222|12,x f x a f x x x +-≤≤≤已知关于的不等式的解集为.a 求的值 草稿纸
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
D
C
A
D
C
A
A
C
D
C
A
二、填空题：
13．()3,∞-； 14．A ；15．1； 16．2． 三、解答题：
17．解： (1)散点图如下列图：
………………………4分
(2)x ＝2＋3＋4＋54＝3．5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5
4
＝3．5，
∑4
i ＝1x i y i ＝2×2．5＋3×3＋4×4＋5×4．5＝52．5，
∑4
i ＝1
x 2
i ＝4＋9＋16＋25＝54， ∴b ^ ＝52.5－4×3.5×3.5
54－4×3.5
2
＝0．7，……………………………………7分 a ^
＝3．5－0．7×3．5＝1．05，…………………………………9分
∴所求线性回归方程为y ^
＝0．7x ＋1．05．…………………………10分
(3)当x ＝10时，y ^
＝0．7×10＋1．05＝8．05，
∴预测加工10个零件需要8．05小时．…………………………12分
18．解： (1)由a n ＝2－S n ，得a 1＝1；a 2＝
21；a 2＝41；a 4＝8
1
，………4分 猜测a n ＝1
21-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n (n ∈N *
)．……………………………6分
(2) a n ＝2－S n ①
∴当2≥n 时，112---=n n S a ②…………………………7分
①—②得n n n n n a S S a a -=--=---)(11 移项得12-=n n a a ，即12
1
-=n n a a ，……………………10分 又由(1)知a 1＝1， 故{a n }是首项为1，公比为
2
1
等比数列．……………………………12分 19．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ．
因为CA ＝CB ，
所以OC ⊥AB ．…………………………………2分
由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形，
所以OA 1⊥AB ．…………………………………4分 因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C ．…5分 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ．…………6分
20．解：〔1〕曲线C 的参数方程为为参数）
θθθ(,
sin 3,
cos 2⎩⎨
⎧==y x ． 直线l 的普通方程为062=-+y x ．…………………………4分 〔2〕曲线C 上任意一点)sin 3,cos 2(θθP 到l 的距离
6sin 3cos 45
5
-+=
θθd ．…………………………………6分 如此6)sin(55
5
230sin -+=︒=
αθd PA ．
其中α为锐角，且3
4
tan =
α．…………………………………8分 当1)sin(-=+αθ时，PA 取到最大值，最大值为
5
5
22；…10分 当1)sin(=+αθ时，PA 取到最小值，最小值为
5
5
2． …12分 21．解：(1)f ′(x )＝e x
(ax ＋a ＋b )－2x －4．…………………………………2分
由得f (0)＝4，f ′(0)＝4．
故b ＝4，a ＋b ＝8． …………………………………4分 从而a ＝4，b ＝4． …………………………………5分 (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2
－4x ，
所以4e x (x ＋1)－x 2
－4x x x m x e x 2)2()1(42
-+-+>，
即02)2(2
2>--+x x x m 对任意实数),0(+∞∈m 恒成立．…… 6分 令x x m x m g 2)2()(2
2
--+=，
如此函数)(m g 是关于m 的一次函数， ……………………………8分 由022
>+x ，故)(x g 在),0(+∞上为增函数．
只需,02)0(2≥--=x x g ……………………………10分 得02≤≤-x ，
故使原不等式恒成立的x 的取值范围是[]0,2-．……………………12分
22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G ．
由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE ．
而∠ABE ＝∠CBE ，
故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE ．……… 2分 又因为DB ⊥BE ，
所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，…… 4分 由勾股定理可得DB ＝DC ．…… 5分 (2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，
故DG 是BC 的中垂线，
所以BG
＝
2
．……… 7分 设DE 的中点为O ，连结BO ，如此∠BOG ＝60°． 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，……… 9分 故Rt△BCF
10分 23．解：〔１〕设点),(y x M 是Ｃ上任意一点，如此由2cos ρθ=可得Ｃ的普通方程为：
x y x 222=+，即)10(1)1(22≤≤=+-y y x ……… 2分
所以C 的参数方程为)0,(,sin cos 1πββββ
≤≤⎩
⎨
⎧=+=是参数y x ．… 5分
〔2〕设点D 的坐标为()ββsin ,cos 1+， ……… 6分
由〔1〕知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆， 因为C 在D
处的切线与直线:2l y =+垂直，
所以直线GD 与l 的斜率一样， ……… 8分
所以3tan =
β，3
π
β=
， ……… 9分
故点D 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin ,3cos 1ππ，即⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,23． ……… 10分
24．解：〔1〕解法一：当a =2时，244x x -+-≥，
利用几何意义可知不等式表示数x 到2与4的距离之和大于等于4，… 1分 又2和4之间的距离为2，
即数x 可以2和4为标准分别向左或者向右移1各单位. ……… 3分 故不等式的解集为：{}|15x x x ≤≥或. ……… 5分
〔1〕解法二：当a =2时，26,2
()42,2426,4x x f x x x x x -+≤⎧⎪
+-=<<⎨⎪-≥⎩
2()44264,1x f x x x x ≤≥--+≥≤当时，由得-解得
2()44x f x x <<≥--当2时，由得无解，
4()44264,5x f x x x x ≥≥---≥≥当时，由得解得……… 3分
故不等式的解集为：{}|15x x x ≤≥或. ……… 5分
〔2〕令)(2)2()(x f a x f x h -+=，如此⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<-≤-=a x a a x a x x a x h ,20,240,2)(
由2)(≤x h 解得
2
1
21+≤
≤-a x a ， ……… 8分
又知2)(≤x h 的解集为{}21|≤≤x x ，
所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-22
112
1
a a 解得3=a ． ……… 10分。