最新初中数学圆的技巧及练习题附解析

最新初中数学圆的技巧及练习题附解析
一、选择题
1．如图，弧 AB 等于弧CD ，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，下列结论中错误．．的是（ ）
A ．OE=OF
B ．AB=CD
C ．∠AOB =∠CO
D D ．O
E ＞OF
【答案】D
【解析】
【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确，根据垂径定理和勾股定理可得A 正确，D 错误．
【详解】
解：∵»»AB CD =，
∴AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ，
∵OE AB ⊥，OF CD ⊥，
∴BE ＝12AB ，DF ＝12
CD ， ∴BE ＝DF ，
又∵OB ＝OD ， ∴由勾股定理可知OE ＝OF ，
即A 、B 、C 正确，D 错误，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本性质定理是解题的关键．
2．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D 是BC 边上动点，连接AD 交以CD 为直径的圆于点E ，则线段BE 长度的最小值为( )
A ．1
B ．32
C ． 3
D ．52
【答案】A
【解析】
【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC 为直径的圆的圆心为O ，若BE 最短，则OB 最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
OE=
12
AC=4，在Rt △OBC 中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】
解：连接CE ，
∵E 点在以CD 为直径的圆上，
∴∠CED=90°，
∴∠AEC=180°-∠CED=90°，
∴E 点也在以AC 为直径的圆上，
设以AC 为直径的圆的圆心为O ，若BE 最短，则OB 最短，
∵AC=8， ∴OC=12
AC=4， ∵BC=3，∠ACB=90°，
∴OB=22OC BC +=5，
∵OE=OC=4，
∴BE=OB-OE=5-4=1.
故选A.
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理.
3．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为直径的圆交CP 于点Q ，若线段AQ 长度的最小值是3，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．18
B ．27
C ．36
D ．54
【答案】B
【解析】
【分析】 如图，取BC 的中点T ，连接AT ，QT ．首先证明A ，Q ，T 共线时，△ABC 的面积最大，设QT=TB=x ，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，QT ．
∵PB 是⊙O 的直径，
∴∠PQB=∠CQB=90°，
∴QT=
12
BC=定值，AT 是定值， ∵AQ ≥AT-TQ ， ∴当A ，Q ，T 共线时，AQ 的值最小，设BT=TQ=x ，
在Rt △ABT 中，则有（3+x ）2=x 2+62，
解得x=
92
， ∴BC=2x=9，
∴S △ABC =12•AB•BC=12
×6×9=27， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有中考选择题中的压轴题．
4．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于
点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．13π
B ．1324π+
C ．1324π-
D ．524π+
【答案】C
【解析】
【分析】 先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解．
【详解】
解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==⨯⨯，S 扇形EAD 2
40360
94ππ==⨯⨯，S 矩形ABCD 6424=⨯=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ）
＝9π﹣（24﹣4π）
＝9π﹣24+4π
＝13π﹣24
故选：C ．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键．
5．如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF=EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF=40°，则∠F 的度数是（ ）
A ．20°
B ．35°
C ．40°
D ．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】
连接FB，
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝1
2
∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
6．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC ∥DI ，
∴∠CAI=∠AID ，
∴∠BAI=∠AID ，
∴AD=DI ，
同理可得：BE=EI ，
∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B ．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
7．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作»AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．20833
π- B ．20833π+C ．20833π D ．20433
π 【答案】A
【解析】
【分析】 如图，连接CE ．图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE ．根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝3，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
【详解】
解：如图，连接CE ．
∵AC⊥BC，AC＝BC＝8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，
∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．
又∵OE∥AC，
∴∠ACB＝∠COE＝90°．
∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8，
∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝43，
∴S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE
＝
2
2
60811
-4-443 36042
π
π
⨯
⨯⨯⨯
=20
-83 3
π
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
8．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）
A．3
4
B．
1
3
C．
1
2
D．
1
4
【答案】C
【解析】
【分析】
算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】
解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．
Q圆的直径正好是大正方形边长，
∴根据勾股定理，其小正方形对角线为2，即圆的直径为2，∴大正方形的边长为2，
则大正方形的面积为222
⨯=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为1
2
．
故选：C．
【点睛】
概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.
9．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）
A．25°B．27.5°C．30°D．35°
【答案】D
【解析】
分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故选D．
点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．
10．已知某圆锥的底面半径为3 cm，母线长5 cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．30 cm2B．15 cm2C．30π cm2D．15π cm2
【答案】D
【解析】
试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：
S＝RL
π＝15π
故选D.
11．如图，⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC ＝3：5，则AB 的长为（ ）
A ．91cm
B ．8cm
C ．6cm
D ．4cm
【答案】B
【解析】
【分析】 由于⊙O 的直径CD ＝10cm ，则⊙O 的半径为5cm ，又已知OM ：OC ＝3：5，则可以求出OM ＝3，OC ＝5，连接OA ，根据勾股定理和垂径定理可求得AB ．
【详解】
解：如图所示，连接OA ．
⊙O 的直径CD ＝10cm ，
则⊙O 的半径为5cm ，
即OA ＝OC ＝5，
又∵OM ：OC ＝3：5，
所以OM ＝3，
∵AB ⊥CD ，垂足为M ，OC 过圆心
∴AM ＝BM ，
在Rt △AOM 中，22AM=5-3=4，
∴AB ＝2AM ＝2×4＝8．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，是解题的关键.
12．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323
y x =
+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )
A ．3
B ．2
C 3
D 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意，画出图形，令直线y= 3x+ 23与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH ⊥CD于H，作OH⊥CD于H；
然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C、D两点的坐标值；
再在Rt△POC中，利用勾股定理可计算出CD的长，并利用面积法可计算出OH的值；
最后连接OA，利用切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POH中，利用勾股定理，得到21
PA OP
=-，并利用垂线段最短求得PA的最小值即可.
【详解】
如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y=3D（0，3
当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），
∴22
2(23)4
CD=+=，
∵1
2
OH•CD=
1
2
OC•OD，
∴223
3⨯
=
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴2221 PA OP OA OP
=-=-当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，
∴PA22
(3)12
-=
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
13．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）
A ．302，
B ．602，
C ．360，
D ．603， 【答案】C
【解析】
试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠33AB=2BC=4，
∵△EDC 是△ABC 旋转而成，
∴BC=CD=BD=
12AB=2， ∵∠B=60°，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，
∴DE ∥BC ，
∵BD=12
AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线，
∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=12
×23=3， ∴S 阴影=12DF×CF=12×3=3． 故选C ．
考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．
14．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）
A ．BCE ∆
B ．AB
C ∆ C ．AB
D ∆ D ．AB
E ∆
【答案】A
【解析】
【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．
【详解】
解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠
ADE BCE ∴∆∆∽，
故选：A ．
【点睛】
考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．
15．如图，抛物线y ＝ax 2﹣6ax+5a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C 点．以C 点为圆心，半径为2画圆，点P 在⊙C 上，连接OP ，若OP 的最小值为3，则C 点坐标是（ ）
A ．5252(,)22-
B ．（4，﹣5）
C ．（3，﹣5）
D ．（3，﹣4）
【答案】D
【解析】 【分析】
首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标，再由当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，列出关于a 的方程，即可求解．
【详解】
∵2650y ax ax a a +-=（
＞） 与x 轴交于A 、B 两点， ∴A （1，0）、B （5，0），
∵226534y ax ax a a x a =+=---（
） ， ∴顶点34C a （，-）
， 当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，
∴OC ＝OP+2＝5，
∴29165(0)a a +=> ，
∴1a = ，
∴C （3，﹣4），
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．
16．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A ．50cm 2
B ．50πcm 2
C ．52
D ．5cm 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：如图所示，
∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm，
∴等腰三角形的斜边长＝22
105
+＝55，即圆锥的母线长为55cm，圆锥底面圆半径为5，
∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝
1
2
×10π×55＝255πcm2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
17．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）
A．8
83
3
π-B．
16
83
3
π-C．
16
43
3
π-D．
8
43
3
π-
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．
【详解】
连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为4，
OB=OA=OC=4，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD=1
2
OB=2，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=22
4223,243
AC CD
-===,
∵sin∠COD=
3
, CD
OC
=
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S菱形ABCO=11
44383 22
OB AC
⨯=⨯⨯=,
∴S扇形=
2 120416
3603
π
π
⨯⨯
=,
则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=16
83 3
π-.
故选B.【点睛】
考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=1
2
a•b（a、b是两条
对角线的长度）；扇形的面积=
2 360 n r π
.
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是¶CD上一点，且¶¶
DF BC
=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵»»
DF BC
，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】B
【解析】
分析：接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°，再由圆周角定理即可得出结论．
详解：连接OB，OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=1
2
∠BOC=45°．
故选B．
点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
20．如图，在扇形OAB中，120
AOB
∠=︒，点P是弧
AB上的一个动点（不与点A、B
重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33
CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH⊥AB于H．
∵C、D分别是弦AP、BP的中点．
∴CD是△APB的中位线，
∴AB＝2CD＝63
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝33
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝
AH
AO
，
∴AO＝
33
6
sin3
AH
AOH
==
∠，
∴扇形AOB的面积为：
2
1206
12
360
π
π
=
g g
，
故选：A．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。