2020学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修2-1(2021-2022学年)

模块综合检测
（时间:120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“(2x－１)x=０”是“x=0"的()
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选B.由（2x－１）x＝0可得x＝错误!未定义书签。

或ｘ＝0。

因为“x＝错误!未定义书签。

或x=0”是“x=0”的必要不充分条件，所以“（2ｘ-1）x=０”是“x＝0”的必要不充分条件.
２.命题“对任意的x∈Ｒ，2x3-3ｘ2+１≤0”的否定是(）
A．不存在x０∈R,２x错误!未定义书签。

－3x错误!＋1≤０
Ｂ.存在x０∈R,2x错误!未定义书签。

－3x错误!+1≤０
Ｃ.存在x０∈R，2x错误!-3x错误!+1>0
D.对任意的ｘ∈R,２ｘ3-3x2+1〉０
解析：选Ｃ。

先变换量词,再否定结论，即“存在x0∈Ｒ，2x错误!-3x错误!+１>0"．
3．下列命题中是假命题的是（）
A．∀x∈错误!,x>sin x
Ｂ．∃x0∈R,sｉn x0+ｃｏs x０=2
C．∀x∈R,3x〉0
D.∃ｘ0∈R,lg x0＝0
解析：选Ｂ。

因为sin x0+cos x0=错误!未定义书签。

sin错误!未定义书签。

≤错误!,所以Ｂ错误,选B．
４.已知空间四边形ABCD,连接ＡC、BＤ,设G是ＣD的中点,则错误!＋错误!未定义书签。

（错误!+错误!未定义书签。

）等于（)
A。

错误!ﻩ B.错误!
C.错误!D．错误!错误!
解析:选Ａ.如图所示.因为G是CＤ的中点，所以错误!未定义书签。

（错误!＋错误!)＝错误!未定义书签。

,所以错误!未定义书签。

＋＼f（1，２)（错误!未定义书签。

＋错误!）＝错误!.
5.与双曲线＼f(y2,5）-ｘ2＝1共焦点，且过点（1,2)的椭圆的标准方程为（）
Ａ。

错误!未定义书签。

＋y 22=1 ﻩ B.x 210＋ｙ2２
=1 Ｃ。

错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

＝1 D ．错误!＋错误!未定义书签。

=1 解析:选C 。

由题知,焦点在y 轴上，排除A ，B,将（1,2）代入Ｃ,D 可得C 正确.故选Ｃ.
6.抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝２,则a 的值为( ）
A 。

错误! ﻩ B.-错误!
C ．8 ﻩ D.－８
解析：选B ．由y ＝ax ２得x 2＝错误!ｙ,所以错误!=－8，所以ａ=-错误!。

7．已知条件p ：ｘ2+2x －3〉0，条件q :５x －6>x 2，则綈ｐ是綈ｑ的( )
A.充分不必要条件 ﻩ
B.必要不充分条件
C.充要条件 ﻩ
D.既不充分也不必要条件
解析：选A 。

设满足条件綈p 的集合为Ｐ，满足条件綈q 的集合为Ｑ,则P ={ｘ|-3≤x ≤1},Ｑ={x ｜x ≥３或x ≤2｝,所以P
Q ,故綈p 是綈ｑ的充分不必要条件. 8．若椭圆＼f （x 2,a 2）+＼f （y 2,ｂ2)=1(ａ>b ＞0)的离心率为错误!未定义书签。

，则双曲线
＼ｆ(ｘ2,a ２）-＼f (y ２，b ２)＝1(a ＞0,ｂ＞0）的渐近线方程为（ )
A.y ＝±错误!未定义书签。

x ﻩＢ．y ＝±2x
C.y =±4x ﻩD ．y ＝±错误!未定义书签。

x
解析：选 A.由椭圆的离心率e =错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

,可知错误!=错误!=错误!，所以错误!=错误!，故双曲线错误!未定义书签。

-错误!=1的渐近线方程为ｙ=±错误!未定义书签。

x .
9.已知命题ｐ：若方程ａx 2+ｘ-1=０有实数解，则a ≥-错误!且a ≠０;命题q :函数ｙ=x ２－2x 在［0,3］上的最大值与最小值之和为2。

则下列为真命题的是( )
A ．p 且q ﻩ B.p 且綈ｑ
ﻬC ．ｐ或綈q Ｄ.p 或q
解析：选D 。

由于当a =０时,方程ax 2+x -１=0有实数解ｘ=1,故ｐ是假命题;函数ｙ=x 2－2x 在
[０,3]上的最小值为－1,最大值为3,最大值与最小值之和为2,故ｑ是真命题，在四个选项中，只有p 或q 是真命题．
10.设斜率为２的直线l 过抛物线y ２=a ｘ(ａ≠０)的焦点F ，且和y 轴交于点A ,若△OAF (Ｏ为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为（ )
A ．y ２＝±4x
Ｂ．y 2＝±８x C.y ２＝4x ﻩD ．y 2＝8x
解析：选B ．由已知可得，抛物线的焦点坐标为错误!。

又直线l 的斜率为2，故直线ｌ的方程为y ＝２错误!未定义书签。

,则|OA |＝错误!,故S △ＯＡF =错误!未定义书签。

·错误!未定义书
签。

·错误!未定义书签。

=４，解得a＝±8,故抛物线的方程为y2=±8x．
１１．已知ａ，b是两异面直线,A,Ｂ∈a,C,D∈b，AC⊥b，BＤ⊥ｂ且AＢ=2,CD＝１,则直线a,b 所成的角为( )
A.30° Ｂ．60°
Ｃ．９０°D．45°
解析：选Ｂ。

由于错误!＝错误!+错误!未定义书签。

+错误!，则错误!未定义书签。

·错误!未定义书签。

＝(错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

＋错误!)·错误!＝错误!未定义书签。

2=1,由coｓ〈错误!,错误!未定义书签。

〉＝错误!=错误!,得〈错误!，错误!〉＝６０°,故直线a，b所成的角为60°.
12.Ｐ是长轴在x轴上的椭圆＼ｆ(ｘ２，a2）＋＼f（y２,b2)＝1上的点，Ｆ1，F２分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PＦ1｜·|PF2|的最大值与最小值之差一定是（ ) A．1 B.a2
Ｃ．b2 D.c2
解析:选Ｄ.由椭圆的几何性质得a－c≤|PＦ1｜≤ａ+c,｜PF1|+｜ＰF２|=2a，所以|PF1|·｜ＰＦ错误!未定义书签。

=a2，当且仅当｜PF1|=|PＦ２|时取等号.
2|≤错误!
｜ＰF1|·｜PF2|=|PＦ１|·（2a－｜PF１|)＝-|PF1｜２＋２a｜ＰF１|＝－(|PF1|－a）2＋ａ2≥-c2+a2=ｂ２，所以|PF１｜·|PF2｜的最大值与最小值之差为a2－b2=c2。

二、填空题:本题共４小题，每小题5分．
１3．已知点A(－1,－2)在抛物线C：y2=2px(p〉０）的准线上，记C的焦点为Ｆ,过点F且与ｘ轴垂直的直线与抛物线交于M,N两点,则｜MN｜＝_＿_＿___＿．
解析:因为点A（-１,-2)在抛物线C：ｙ2＝2ｐx(ｐ>0）的准线上，所以-错误!未定义书签。

=-1,p=２，抛物线的方程为y２=4x，焦点F（1,0)，当ｘ=1时,y＝±2，则Ｍ(1,２),N(1,-2)或N(１，２）,M(１,－２）,所以|MＮ｜=２－（-２)=4。

答案：4
1４.已知点P是平行四边形ABＣD所在平面外的一点,如果错误!未定义书签。

＝(2，－1，-4)，错误!未定义书签。

＝(4,2,0)，错误!未定义书签。

＝（－１,2，－1).对于下列结论:①AP⊥AB；②AP⊥ＡD;③错误!未定义书签。

是平面ＡBCD的一个法向量;④错误!未定义书签。

∥错误!未定义书签。

．其中正确的是_____＿_＿（填序号).
解析:因为错误!未定义书签。

·错误!=－2－2＋4=0，所以错误!未定义书签。

⊥错误!,即AP⊥AB，①正确;因为错误!·错误!未定义书签。

＝-４＋4＝0,所以错误!未定义书签。

⊥错误!，即AP⊥AD,②正确；由①②可得错误!未定义书签。

是平面ABＣD的一个法向量,③正确;由③可得错误!⊥错误!,④错误．
答案：①②③
15．若命题“∃x０∈R,2x错误!－3ａx0＋9〈０”为假命题，则实数ａ的取值范围是________．解析：因为∃x0∈Ｒ,2x错误!－3ａx0＋9〈0为假命题，所以∀x∈R,2x2-3aｘ＋9≥0为真命题,所以Δ＝9ａ2－4×2×9≤0,即a2≤8,所以-22≤a≤2错误!未定义书签。

.
答案:［－2错误!未定义书签。

，2错误!未定义书签。

]
16.若双曲线错误!-错误!＝1（a〉0,b>0)的渐近线与抛物线x2=４y的准线所围成的三角形的面积为2，则该双曲线的离心率为_＿___＿__．
解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是y＝±错误!x,抛物线的准线方程是y=－１,因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是错误!,错误!,(０,０),该三角形的面积等于2×错误!未定义书签。

×a
b
×1＝错误!未定义书签。

＝2，因此该双曲线的离心率e＝＼f（c，ａ）=错误!未定义书签。

＝
错误!=错误!未定义书签。

ﻬ答案：错误!
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分1０分)已知命题p:方程错误!＋错误!=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题ｑ:∀x∈R,４x2-4mx＋4ｍ－３≥０.若(綈p）∧q为真,求m的取值范围.
解：p真时,m＞2.
q真时,4ｘ2－4mx+4ｍ－3≥0在Ｒ上恒成立．
Δ=16ｍ2-16（4ｍ-３)≤0，
解得1≤m≤3。

因为（綈ｐ)∧ｑ为真,所以p假,q真．
所以错误!即１≤m≤２.
所以所求m的取值范围为[1，2]．
1８．(本小题满分１2分)已知椭圆C：ｘ2+2y2=4。

(1)求椭圆C的离心率；
(2）设O为原点,若点A在直线y＝２上，点B在椭圆C上,且OA⊥ＯＢ,求线段AB长度的最小值．
解:(1）由题意，得椭圆Ｃ的标准方程为错误!未定义书签。

+＼ｆ（y2,2）=1,所以a2＝4，b2＝2,
从而ｃ２＝a2-b2＝2,因此a＝2，c=错误!。

故椭圆C的离心率e=错误!＝错误!未定义书签。

（２)设点A,B的坐标分别为(ｔ,2)，(x０，y0)，其中x0≠0。

因为OA⊥ＯＢ，
所以错误!·错误!=0，即ｔx0+2ｙ0＝0，
解得t＝-错误!未定义书签。

.又x错误!＋2y错误!=４，
所以|AＢ|２＝（ｘ0－t）2+(ｙ0-2)２
＝错误!未定义书签。

＼s＼uｐ12(2）+（y0－2)２=x＼o＼ａl（２，0)＋y错误!+错误!未定义书签。

+4=
x错误!未定义书签。

＋错误!＋错误!＋4=错误!＋错误!＋４(0<x错误!≤4).
因为错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

≥4（０〈x错误!≤4)，当且仅当x错误!=4时等号成立,
所以|AB｜2≥8．故线段AＢ长度的最小值为２错误!。

1９。

(本小题满分１2分）如图,在四面体P 。

AB Ｃ中，PA ,PB ,PC 两两垂直,ＰA ＝P Ｂ=2,ＰC =4，E 是AB 的中点，F 是CE 的中点.
(１)建立适当的直角坐标系,写出点B ,Ｃ,E ，Ｆ的坐标;
（2)求BF 与平面ＡB Ｐ所成的角的余弦值．
解:
(１)以P Ａ所在直线为ｘ轴,PB 所在直线为ｙ轴，P Ｃ所在直线为z 轴，P 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B 点坐标为（0，2,０),Ｃ点坐标为（0,0，4),A 点坐标为(2,0，0）.
因为E 为AB 的中点,所以E (1，1，0).
因为F 为CE 的中点，所以F 错误!未定义书签。

(２）连接PE ,设Ｇ为PE 的中点,连接FG ，B Ｇ,则Ｇ错误!未定义书签。

因为ＰA ，PB ,ＰC 两两互相垂直,所以ＰC ⊥平面ABP .
因为F ,G 分别为CE ,PE 的中点，
所以ＦG ∥ＰＣ，所以FG ⊥平面ABP 。

故∠FBG 为BF 与平面ABP 所成的角.
又因为cos∠ＦBG =cos<错误!，错误!〉，
错误!＝错误!未定义书签。

,错误!=错误!未定义书签。

.
所以c ｏｓ〈错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

＞＝错误!=错误!＝错误!未定义书签。

,
即ＢF 与平面AB Ｐ所成的角的余弦值为＼ｒ(65)13
. 20.(本小题满分１2分）
ﻬ
如图，在四棱锥Ｐ.ABCD 中,ＰＡ⊥平面ABCD ,底面ABC Ｄ是菱形,AB ＝2,∠BAD =60°。

（１）求证：BD ⊥平面PA Ｃ；
(2）若PA＝4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．
解：（1)证明:因为底面ABCＤ是菱形,所以BD⊥AC。

又PA⊥平面ＡＢCD,
所以BD⊥PＡ.又PA∩AC=A，所以ＢＤ⊥平面ＰＡC。

(２)
以BD与AC的交点O为坐标原点,OB,OC所在直线为ｘ轴，y轴,过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得,AＯ=ＯC=错误!未定义书签。

,OD=OＢ＝1,所以Ｐ（０,-错误!，4),B(1,０,０）,C(０,＼r（３），0),D(－1,0,0),错误!=(0，2错误!,-4),错误!=（－1,错误!未定义书签。

,0),错误!未定义书签。

＝(-１，-＼r(3),０）．
设平面PBＣ的法向量为ｎ1=(x1,ｙ１，ｚ1），平面PDC的法向量为n2=(x2，ｙ2，ｚ２),
由错误!未定义书签。

可得错误!令x1=错误!未定义书签。

，可得n1=错误!.同理,由错误!可得n2＝错误!未定义书签。

,
所以coｓ〈n1，ｎ2>=＼f（n1·ｎ2,|n1|｜n2｜)=－错误!，又平面ＰBC与平面ＰDC所成的角为锐角,所以平面PＢC与平面PDC所成角的余弦值为错误!.
21.(本小题满分12分)
如图,已知抛物线Ｃ:y2＝４x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线Ｃ交于A(x1,y1)(y１>0)，B(
x２,y2）两点,T为抛物线的准线与x轴的交点．
（1）若错误!·错误!未定义书签。

＝１，求直线l的斜率;
（2)求∠ATＦ的最大值．
解：（1)由题意得F（1,０),T(－1，0）,当直线l与x轴垂直时,A(１,2)，B（1，－2）,
此时错误!·错误!＝(2，2)·(2,-2)=0,这与错误!未定义书签。

·错误!=1矛盾.
故直线l与x轴不垂直.
设直线ｌ的方程为y＝k(x－1).①
将①代入ｙ2=４x整理得
ｋ2x２－(2k2＋4)ｘ＋k2=0。

所以x1+x2＝错误!未定义书签。

,ｘ１x2＝1．
所以ｙ1ｙ2＝ｋ2(x1-1)(ｘ2－1）＝k２[x1x２－(x1＋x2)＋1］＝－4，
所以错误!未定义书签。

·错误!＝(x1＋1，y1）·(x2＋1，ｙ2)
＝x1ｘ２+（x1＋ｘ2)＋1+y1y２
＝1+＼f（２k2+4，k2)+１-4=错误!未定义书签。

＝1.
解得k=±２。

故直线l的斜率为±2。

（2)因为y1〉0,
所以tan∠ＡTF=错误!未定义书签。

=错误!＝错误!未定义书签。

≤１.
当且仅当y1=错误!，即y1=２时取等号．
故∠ATF的最大值为错误!未定义书签。

2２．(本小题满分12分）已知椭圆E:错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

＝1(a>ｂ〉0）过点（0,1),且离心率为错误!未定义书签。

（１)求椭圆E的标准方程；
(2）设直线l：y＝错误!未定义书签。

x＋m与椭圆E交于A,Ｃ两点,以AＣ为对角线作正方形ＡＢCD,记直线l与x轴的交点为N，求证|BN|为定值．
解:(1)由题意,可知椭圆的焦点在x轴上,且b＝1,
由椭圆的离心率ｅ=错误!＝错误!＝错误!未定义书签。

，得ａ=２，
所以椭圆E的标准方程为错误!未定义书签。

+ｙ2=１。

(２)证明：设A(x1,y1）,C(x2,ｙ2），线段ＡC的中点为M，
由错误!整理得x2＋2mx+２m2－2＝0,
由Δ=（2m）2－4(２m２-2）=8-４m2>0,解得－错误!〈m〈错误!未定义书签。

,
则x1＋x２=－2m,x1x2＝2m2-2，y１＋ｙ2=错误!未定义书签。

(x1＋x2)+２m=m,则M错误!。

|AＣ｜=错误!未定义书签。

·｜x１－x2｜=错误!·错误!＝错误!未定义书签。

·错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

.
由ｌ与ｘ轴的交点N(－2m,0),得|MN|＝错误!＝错误!未定义书签。

.
所以｜BN|2＝|BM｜２+｜MN｜2＝错误!｜AC|2＋｜ＭＮ|２＝错误!,所以|ＢN｜为定值.
ﻬ。