日历查询的算法如何计算某一天是星期几

⽇历查询的算法如何计算某⼀天是星期⼏
—— 蔡勒（Zeller）公式
历史上的某⼀天是星期⼏？未来的某⼀天是星期⼏？关于这个问题，有很多计算公式（两个通⽤计算公式和⼀些分段计算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。

即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
公式中的符号含义如下，w：星期；c：世纪-1；y：年（两位数）；m：⽉（m⼤于等于3，⼩于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2⽉要看作上⼀年的13、14⽉来计算，⽐如2003年1⽉1⽇要看作2002年的13⽉1⽇来计算）；d：⽇；[ ]代表取整，即只要整数部分。

(C是世纪数减⼀，y是年份后两位，M是⽉份，d是⽇数。

1⽉和2⽉要按上⼀年的13⽉和 14⽉来算，这时C和y 均按上⼀年取值。

)
算出来的W除以7，余数是⼏就是星期⼏。

如果余数是0，则为星期⽇。

以2049年10⽉1⽇（100周年国庆）为例，⽤蔡勒（Zeller）公式进⾏计算，过程如下：
蔡勒（Zeller）公式：w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1
=49+[12.25]+5-40+[28.6]
=49+12+5-40+28
=54 (除以7余5)
即2049年10⽉1⽇（100周年国庆）是星期5。

你的⽣⽇（出⽣时、今年、明年）是星期⼏？不妨试⼀试。

不过，以上公式只适合于1582年10⽉15⽇之后的情形（当时的罗马教皇将恺撒⼤帝制订的儒略历修改成格⾥历，即今天使⽤的公历）。

星期制度是⼀种有古⽼传统的制度。

据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝⽤了六天时间创世纪，第七天休息，所以⼈们也就以七天为⼀个周期来安排⾃⼰的⼯作和⽣活，⽽星期⽇是休息⽇。

从实际的⾓度来讲，以七天为⼀个周期，长短也⽐较合适。

所以尽管中国的传统⼯作周期是⼗天（⽐如王勃《滕王阁序》中说的“⼗旬休暇”，即是指官员的⼯作每⼗⽇为⼀个周期，第⼗⽇休假），但后来也采取了西⽅的星期制度。

在⽇常⽣活中，我们常常遇到要知道某⼀天是星期⼏的问题。

有时候，我们还想知道历史上某⼀天是星期⼏。

通常，解决这个⽅法的有效办法是看⽇历，但是我们总不会随时随⾝带着⽇历，更不可能随时随⾝带着⼏千年的万年历。

假如是想在计算机编程中计算某⼀天是星期⼏，预先把⼀本万年历存进去就更不现实了。

这时候是不是有办法通过什么公式，从年⽉⽇推出这⼀天是星期⼏呢？
答案是肯定的。

其实我们也常常在这样做。

我们先举⼀个简单的例⼦。

⽐如，知道了2004年5⽉1⽇是星期六，那么2004年5⽉31⽇“世界⽆烟⽇”是星期⼏就不难推算出来。

我们可以掰着指头从1⽇数到31⽇，同时数星期，最后可以数出5⽉31⽇是星期⼀。

其实运⽤数学计算，可以不⽤掰指头。

我们知道星期是七天⼀轮回的，所以5⽉1⽇是星期六，七天之后的5⽉8⽇也是星期六。

在⽇期上，8-1=7，正是7的倍数。

同样，5⽉15⽇、5⽉22⽇和5⽉29⽇也是星期六，它们的⽇期和5⽉1⽇的差值分别是14、21和28，也都是7的倍数。

那么5⽉31⽇呢？31-1=30，虽然不是7的倍数，但是31除以7，余数为2，
这就是说，5⽉31⽇的星期，是在5⽉1⽇的星期之后两天。

星期六之后两天正是星期⼀。

这个简单的计算告诉我们计算星期的⼀个基本思路：⾸先，先要知道在想算的⽇⼦之前的⼀个确定的⽇⼦是星期⼏，拿这⼀天做为推算的标准，也就是相当于⼀个计算的“原点”。

其次，知道想算的⽇⼦和这个确定的⽇⼦之间相差多少天，⽤7除这个⽇期的差值，余数就表⽰想算的⽇⼦的星期在确定的⽇⼦的星期之后多少天。

如果余数是0，就表⽰这两天的星期相同。

显然，如果把这个作为“原点”的⽇⼦选为星期⽇，那
么余数正好就等于星期⼏，这样计算就更⽅便了。

但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。

⽐如1982年7⽉29⽇和2004年5⽉1⽇之间相隔7947天，就不是⼀下⼦能算出来的。

它包括三段时间：⼀，1982年7⽉29⽇以后这⼀年的剩余天数；⼆，1983-2003这⼆⼗⼀个整年的全部天数；三，从2004年元旦到5⽉1⽇经过的天数。

第⼆段⽐较好算，它等于21*365+5=7670天，之所以要加5，是因为这段时间内有5个闰年。

第⼀段和第三段就⽐较⿇烦了，⽐如第三段，需要把5⽉之前的四个⽉的天数累加起来，再加上⽇期值，即
31+29+31+30+1=122天。

同理，第
⼀段需要把7⽉之后的五个⽉的天数累加起来，再加上7⽉剩下的天数，⼀共是155天。

所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。

仔细想想，如果把“原点”⽇⼦的⽇期选为12⽉31⽇，那么第⼀段时间也就是⼀个整年，这样⼀来，第⼀段时间和第⼆段时间就
可以合并计算，整年的总数正好相当于两个⽇⼦的年份差值减⼀。

如果进⼀步把“原点”⽇⼦选为公元前1年12⽉31⽇（或者天⽂学家所使⽤的公元0年12⽉31⽇），这个整年的总数就正好是想算的⽇⼦的年份减⼀。

这样简化之后，就只须计算两段时间：⼀，这么多整年的总天数；⼆，想算的⽇⼦是这⼀年的第⼏天。

巧的是，按照公历的年⽉设置，这样反推回去，公元前1年12⽉31⽇正好是星期⽇，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期⼏。

那么现在的问题就
只有⼀个：这么多整年⾥⾯有多少闰年。

这就需要了解公历的置闰规则了。

我们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。

置闰的⽅法是能被4整除的年份在2⽉加⼀天，但能被100整除的不闰，能被400整除的⼜闰。

因此，像1600、2000、2400年都是闰年，⽽1700、1800、1900、2100年都是平年。

公元前1年，按公历也是闰年。

因此，对于从公元前1年（或公元0年）12⽉31⽇到某⼀⽇⼦的年份Y之间的所有整年中的闰年数，就等于
[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]，
[...]表⽰只取整数部分。

第⼀项表⽰需要加上被4整除的年份数，第⼆项表⽰需要去掉被100整除的年份数，第三项表⽰需要再加上被400整除的年份数。

之所以Y要减⼀，这
样，我们就得到了第⼀个计算某⼀天是星期⼏的公式：
W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (1)
其中D是这个⽇⼦在这⼀年中的累积天数。

算出来的W就是公元前1年（或公元0年）12⽉31⽇到这⼀天之间的间隔⽇数。

把W ⽤7除，余数是⼏，这⼀天就是星期⼏。

⽐如我们来算2004年5⽉1⽇：
W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] +(31+29+31+30+1)= 731702，
731702 / 7 = 104528……6，余数为六，说明这⼀天是星期六。

这和事实是符合的。

上⾯的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太⼤了，使⽤起来很不⽅便。

仔细想想，其实这个间隔天数W的⽤数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。

这启发我们是不是可以简化这个W值，只要找⼀个和它余数相同的较⼩的数来代替，⽤数论上的术语来说，就是找⼀个和它同余的较⼩的正整数，照样可以计算出准确的星期数。

显然，W这么⼤的原因是因为公式中的第⼀项(Y-1)*365太⼤了。

其实，
(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)
= (Y-1) * (7*52+1)
= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，
这个结果的第⼀项是⼀个7的倍数，除以7余数为0，因此(Y-1)*365除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。

这个关系可以表⽰为：
(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．
其中，≡是数论中表⽰同余的符号，mod 7的意思是指在⽤7作模数（也就是除数）的情况下≡号两边的数是同余的。

因此，完全可以⽤(Y-1)代替(Y-1)*365，这样我们就得到了那个著名的、也是最常见到的计算星期⼏的公式：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2)
这个公式虽然好⽤多了，但还不是最好⽤的公式，因为累积天数D的计算也⽐较⿇
烦。

是不是可以⽤⽉份数和⽇期直接计算呢？答案也是肯定的。

我们不妨来观察⼀下各
个⽉的⽇数，列表如下：
⽉份：1⽉ 2⽉ 3⽉ 4⽉ 5⽉ 6⽉ 7⽉ 8⽉ 9⽉ 10⽉ 11⽉ 12⽉
--------------------------------------------------------------------------
天数： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
如果把这个天数都减去28（=4*7），不影响W除以7的余数值。

这样我们就得到另⼀张
表：
⽉份：1⽉ 2⽉ 3⽉ 4⽉ 5⽉ 6⽉ 7⽉ 8⽉ 9⽉ 10⽉ 11⽉ 12⽉
------------------------------------------------------------------------
剩余天数： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
平年累积： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29
闰年累积： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30
仔细观察的话，我们会发现除去1⽉和2⽉，3⽉到7⽉这五个⽉的剩余天数值是3,2,3,2,3；8⽉到12⽉这五个⽉的天数值也是3,2,3,2,3，正好是⼀个重复。

相应的累积天数中，后⼀⽉的累积天数和前⼀⽉的累积天数之差减去28就是这个重复。

正是因为这种规律的存在，平年和闰年的累积天数可以⽤数学公式很⽅便地表达：
╭ d；（当M＝1）
D = { 31 + d；（当M＝2） (3)
╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i．（当M≥3）
其中[...]仍表⽰只取整数部分；M和d分别是想算的⽇⼦的⽉份和⽇数；平年i=0，闰年 i=1。

对于M≥3的表达式需要说明⼀下：[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上⾯第⼆个表中的平年累积值，再加上(M-1)*28就是想算的⽇⼦的⽉份之前的所有⽉份的总天数。

这是⼀个很巧妙的办法，利⽤取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。

⽐如，对2004年5⽉1⽇，有：
D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1
= 122，
这正是5⽉1⽇在2004年的累积天数。

假如，我们再变通⼀下，把1⽉和2⽉当成是上⼀年的“13⽉”和“14⽉”，不仅仍然符合这个公式，⽽且因为这样⼀来，闰⽇成了上⼀“年”（⼀共有14个⽉）的最后⼀天，成了d的⼀部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成：
D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d．（3≤M≤14） (4)
上⾯计算星期⼏的公式，也就可以进⼀步简化成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d．
因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变，公式变成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d．(5)
当然，要注意1⽉和2⽉已经被当成了上⼀年的13⽉和14⽉，因此在计算1⽉和2⽉的⽇⼦的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减⼀。

⽐如，2004年1⽉1⽇是星期四，⽤这个公式来算，有：
W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]
+ 1
= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
= 2524；
2524 / 7 = 360……4．这和实际是⼀致的。

公式(5)已经是从年、⽉、⽇来算星期⼏的公式了，但它还不是最简练的，对于年份的处理还有改进的⽅法。

我们先来⽤这个公式算出每个世纪第⼀年3⽉1⽇的星期，列表如下：
年份： 1(401,801,...,2001) 101(501,901, (2101)
--------------------------------------------------------------------
星期： 4 2
==============================================
年份：201(601,1001,...,2201) 301(701,1101, (2301)
--------------------------------------------------------------------
星期： 0 5
可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复⼀次。

假如我们把301(701,1101,…,2301)年3⽉1⽇的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是⼀个4,2,0,-2的等差数列。

据此，我们可以得到下⾯的计算每个世纪第⼀年3⽉1⽇的星期的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6)
式中，C是该世纪的世纪数减⼀，mod表⽰取模运算，即求余数。

⽐如，对于2001年3⽉1⽇，C=20，则：
W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
= 8 - 4
= 4．
把公式(6)代⼊公式(5)，经过变换，可得：
(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1
(mod 7)． (7)
因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项，在计算每个世纪第⼀年的⽇期的星期时，可以⽤(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。

这个公式写出来就是：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8)
有了计算每个世纪第⼀年的⽇期星期的公式，计算这个世纪其他各年的⽇期星期的公式就很容易得到了。

因为在⼀个世纪⾥，末尾为00的年份是最后⼀年，因此就⽤不着再考虑“⼀百年不闰，四百年⼜闰”的规则，只须考虑“四年⼀闰”的规则。

仿照由公式(1)简化为公式(2)的⽅法，我们很容易就可以从式(8)得到⼀个⽐公式(5)更简单的计算任意⼀天是星期⼏的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9)
式中，y是年份的后两位数字。

如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进⼀步改写成只含四则运算的表达式。

因为世纪数减⼀C 除以4的商数q和余数r之间有如下关系：
4q + r = C，
其中r即是 C mod 4，因此，有：
r = C - 4q
= C - 4 * [C/4]． (10)
则
(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
＝ 8 - 2C + 8 * [C/4]
≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11)
把式(11)代⼊(9)，得到：
W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12)
这个公式由世纪数减⼀、年份末两位、⽉份和⽇数即可算出W，再除以7，得到的余数是⼏就表⽰这⼀天是星期⼏，唯⼀需要变通的是要把1⽉和2⽉当成上⼀年的13⽉和14⽉， C和y都按上⼀年的年份取值。

因此，⼈们普遍认为这是计算任意⼀天是星期⼏的最好的公式。

这个公式最早是由德国数学家克⾥斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller's Formula）。

为⽅便⼝算，式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。

现在仍然让我们来算2004年5⽉1⽇的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代⼊蔡勒
公式，有：
W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
= -15．
注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。

为了⽅便计算，我们可以给它加上⼀个7的整数倍，使它变为⼀个正数，⽐如加上70，得到55。

再除以7，余6，说明这⼀天是星期六。

这和实际是⼀致的，也和公式(2)计算所得的结果⼀致。

最后需要说明的是，上⾯的公式都是基于公历（格⾥⾼利历）的置闰规则来考虑的。

对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是：
W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13)
这样，我们终于⼀劳永逸地解决了不查⽇历计算任何⼀天是星期⼏的问题。